Numerical investigation of PPTC propeller cavitation noise characteristics and sound generation mechanism
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摘要:目的
旨在有效抑制螺旋桨空化噪声，研究螺旋桨空化噪声特性及空化发声机理。
方法基于大涡模拟（LES）与可渗透的FW-H （PFW-H）方程远场解相结合的方法，对PPTC螺旋桨空化流场和声场进行高精度仿真，重点研究空化对远场噪声频谱分布特性的影响及其发声机制。
结果模拟的水动力场结果与试验数据吻合较好。研究发现，螺旋桨周围片空化（SC）和梢涡空化（TVC）的演变过程均存在显著的周期性特征，均贡献了高强度的主频噪声。其中，片空化的初生和溃灭演变过程伴随着高强度的瞬时空化体积变化，导致高频宽带噪声加剧；梢涡空化演变时出现体积回弹行为，诱发了高强度的连续声压脉动，导致在高于主频的频率处产生显著的噪声峰值。
结论研究结果可为工程中螺旋桨空化噪声控制策略的提出和实现提供理论依据。
Abstract:ObjectivesCavitation, as one of the most important noise sources around propellers, significantly enhances far-field radiated noise and brings many adverse effects. To effectively suppress propeller cavitation noise, it is necessary to carry out research on its noise characteristics and sound generation mechanism.
MethodIn this study, the cavitation noise around a PPTC propeller is simulated using a large eddy simulation (LES) combined with the permeable Ffowcs Williams and Hawkings (PFW-H) equation, focusing on the effect of cavitation on the spectral characteristics of far-field noise and the cavitation noise generation mechanism.
ResultsThe predicted hydrodynamic results agree well with the experimental data. It is found that there is a significant periodicity in the evolution of both the sheet cavity (SC) and tip vortex cavity (TVC) around the propeller, thus both contribute high intensity dominant frequency noise. SC evolves with incipient and collapsing processes which are accompanied by transient cavity volume variations, leading to an intensification of high-frequency broadband noise. TVC evolves with a volume rebound behavior which induces high-intensity continuous acoustic pressure pulsations and thus induces significant noise peaks at frequencies above the dominant frequency.
ConclusionThis paper provides a theoretical basis for the proposal and implementation of propeller cavitation noise control strategies in engineering.
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0. 引 言
随着现代舰船向高航速、大型化方向发展，其推进器的转速和载荷不断增加，导致空化现象在螺旋桨等舰船推进器周围越来越普遍[1-3]。空化作为绕螺旋桨流动的主要噪声源之一，会显著提升远场辐射噪声[4]。这种噪声不仅危害到船员和海洋生物的健康，还在军事领域显著限制了舰船声隐身性能的提升。因此，研究螺旋桨空化噪声特性及其发声机理，对于工程中空化噪声控制提供理论依据具有重要意义。
试验和数值模拟是目前研究空化流动噪声的主要方法。试验通过高速摄影仪和声信号测量仪对空化流动和噪声进行直接观测和测量，能够得到令人信服的噪声数据。然而，声信号测量对试验条件要求很高，背景噪声、水质和尺度效应等因素都会显著影响噪声测量结果的准确性[5-7]。
随着计算机技术的快速发展和数值计算理论的逐步完善，计算水声（CHA）方法为预报和研究空化流动噪声提供了可行手段。计算水声方法主要包括3类，分别为直接法[8-9]、声比拟法[10-11]和半经验法[12]，其中声比拟法凭借具有足够计算精度且资源消耗相对较低的优势成为目前实际工程中最受欢迎的方法。在众多声比拟法中，应用较为广泛的是Ffowcs Williams 和 Hawkings[13]提出的FW-H声比拟法，其全面描述了湍流、固体边界和流体位移带来的声学效应。该声比拟方程已成功地应用于无空化条件下船舶螺旋桨的水声预报研究中，结果显示，预测的辐射噪声和试验数据高度吻合[14-15]。
原始（不可渗透）的FW-H声比拟法将声源面设置在固体边界表面，固体边界外部的噪声源需要通过Lighthill方程进行体积积分求解。然而，当分散相位于固体边界外部时，该方法会消耗大量的计算资源，因此不适合用于求解空化诱发的噪声问题[16]。为解决上述问题，Di Francescantonio[17]将FW-H方程改写为新的边界积分方程，即可渗透的FW-H（PFW-H）方程。在PFW-H声比拟法中，FW-H积分曲面应包围所有不可忽视的噪声源，被包围的声源诱发的噪声均由曲面积分计算。这使得原本由昂贵的体积积分计算的分散相噪声所消耗的计算资源减少。当积分曲面足够大，能够包围全部空化影响区域时，空化诱发的噪声也包含在曲面积分中。Bensow 和 Liefvendahl[18]使用大涡模拟（LES）和PFW-H方程预测了存在船体和轴倾角时的螺旋桨空化辐射噪声。结果表明，频率大于1 kHz 的模拟信号与试验数据吻合较好。Hallander 等[19]使用雷诺时均（RANS）方法结合PFW-H方程研究一艘液化天然气船在非空化和空化条件下存在船体尾流时的螺旋桨辐射噪声，研究发现，数值模拟得到的200 Hz以下的噪声数据与试验结果显示出良好的一致性。然而，由于RANS 模型在捕捉空化动力学行为和湍流结构的能力不足，数值模拟对非线性声源贡献的宽带噪声部分预测不足。为此，Li等[20]使用更先进的 CFD 方法——分离涡模拟（DDES）结合PFW-H 声比拟法，进行模型和全尺寸的螺旋桨空化辐射噪声计算。结果表明，随着 DDES 方法的应用，模拟无法准确预测非线性噪声源贡献的问题得到相当程度的解决，且模拟结果与试验和海试数据在中频区域表现出较好的一致性。
综上可知，PFW-H声比拟法已广泛应用于螺旋桨空化流动噪声的研究中，其预测结果的可靠性得到了相当程度的验证。但现有相关研究大多止步于复现试验中的噪声水平，有关螺旋桨空化噪声特性和空化发声机理的研究有限，螺旋桨空化噪声特性与空化动力学行为的内在联系尚不清晰。为此，本文将采用LES结合PFW-H声比拟法对斜入流中PPTC螺旋桨的空化流场和声场开展高精度仿真，重点关注空化对远场流动噪声频谱分布特性的影响，研究并揭示螺旋桨周围片空化（SC）和梢涡空化（TVC）的发声机制。
1. 数值计算方法
本文采用LES结合PFW-H声比拟法对斜入流中绕PPTC螺旋桨空化流动及其辐射噪声进行预报。本章主要介绍全文流场和声场仿真应用的数值模型。
1.1 流场模拟方法
1.1.1 控制方程
采用基于均相流模型的Navier−Stokes（N−S）方程对空化流动进行模拟。该模型认为流场中的各相流体为均匀的连续介质，共享一个压力场和速度场。此时，忽略汽液两相之间的滑移速度，通过体积分数来描述两相流体的分布情况。基于均相流模型的控制方程为：
∂ρm∂t + ∂(ρmuj)∂xj = 0 (1) ∂(ρmui)∂t + ∂(ρmuiuj)∂xj = −∂p∂xi+∂∂xj[μm(∂ui∂xj+∂uj∂xi−23∂uk∂xkδij)] (2) 式中：p表示流场中的压力；ui和uj分别表示i，j方向的速度分量；μm和ρm表示混合物的动力黏度和密度，这两项可由蒸汽和液体的体积分数表示如下：
μm=αvμv+αlμl (3) ρm=αvρv+αlρl (4) 其中，α表示两相流体在混合物中所占的体积分数，下标v和l分别表示蒸汽相和液相。
1.1.2 LES方法
LES通过滤波函数对流场进行尺度滤波，直接求解大尺度湍流结构，并通过亚格子尺度应力（SGS）模型对小尺度湍流结构进行模化，滤波后的控制方程为：
∂ρm∂t+∂(ρm˜uj)∂xj=0 (5) \begin{split} & \quad \frac{{\partial ({\rho _{\text{m}}}{{\tilde u}_i})}}{{\partial t}}{\text{ + }}\frac{{\partial ({\rho _{\text{m}}}{{\tilde u}_i}{{\tilde u}_j})}}{{\partial {x_j}}}{\text{ = }} - \frac{{\partial \tilde p}}{{\partial {x_i}}} +\\& \frac{\partial }{{\partial {x_j}}}\left[ {{\mu _{\text{m}}}\left( {\frac{{\partial {{\tilde u}_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {{\tilde u}_j}}}{{\partial {x_i}}} - \frac{2}{3}\frac{{\partial {{\tilde u}_k}}}{{\partial {x_k}}}{\delta _{ij}}} \right)} \right] - \frac{{\partial {{\boldsymbol{\tau}} _{ij}}}}{{\partial {x_j}}} \end{split} (6) 其中， \tilde u 和 \tilde p 分别为滤波速度和滤波压力。可见，经过滤波处理后，N−S方程引入亚格子应力 {{\boldsymbol{\tau}} _{ij}} 这一未知项，其定义为
{{\boldsymbol{\tau}} _{ij}} = {\rho _{\text{m}}}(\widetilde {{u_i}{u_j}} - {\tilde u_i}{\tilde u_j}) (7) 根据Boussinesq假设，亚格子应力可表示为变形速度张量 {\tilde {\boldsymbol{S}}_{ij}} 和亚格子湍流黏度μSGS的组合：
{{\boldsymbol{\tau}} _{ij}} - \frac{1}{3}{\tau _{kk}}{\delta _{ij}} = - 2{\mu _{{\text{SGS}}}}{\tilde {\boldsymbol{S}}_{ij}} (8) 其中，亚格子湍流黏度需要通过SGS模型求解。本文采用LES壁面自适应局部涡黏度（wall-adapting local eddy-viscosity，WALE）模型[21]对其进行求解，因为该模型求解多类型的空化湍流流动具有良好效果[22-23]，此时亚格子湍流黏度可表示为：
\mu_{\text{SGS}}=\rho_{\text{m}}L_{\text{s}}^2\frac{\left({\boldsymbol{S}}_{ij}^{\mathrm{d}}{\boldsymbol{S}}_{ij}^{\mathrm{d}}\right)^{3\mathord{\left/\vphantom{32}\right.}2}}{\left(\tilde{{\boldsymbol{S}}}_{ij}^{ }\tilde{{\boldsymbol{S}}}_{ij}^{ }\right)^{5\mathord{\left/\vphantom{52}\right.}2}+\left({\boldsymbol{S}}_{ij}^{\mathrm{d}}{\boldsymbol{S}}_{ij}^{\mathrm{d}}\right)^{5\mathord{\left/\vphantom{54}\right.}4}} (9) {\tilde {\boldsymbol{S}}_{ij}} = \frac{1}{2}\left(\frac{{\partial {{\tilde u}_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {{\tilde u}_j}}}{{\partial {x_i}}}\right) (10) {\boldsymbol{S}}_{ij}^{\mathrm{d}}=\frac{1}{2}\left(\tilde{g}_{ij}^2+\tilde{g}_{ji}^2\right)-\frac{1}{3}\delta_{ij}\tilde{g}_{kk}^2 (11) {\tilde g_{ij}} = \frac{{\partial {{\tilde u}_i}}}{{\partial {x_j}}},{L_{\text{s}}} = \min \left( {\kappa y,{{{C}}_{\text{s}}}{V^{{1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 3}} \right. } 3}}}} \right) (12) 式中：κ为von Karman常数；Ls为SGS的长度尺度； V为局部网格体积；Cs=0.325，为WALE常数。
1.1.3 Schnerr−Sauer（S−S）空化模型
在空化流动模拟中，空化模型的选择非常重要。为减少经验参数对模拟结果的影响，本文采用S−S空化模型[24]进行空化流动模拟，该模型除水质属性的选择外，没有引入任何经验参数。前人的研究表明，该模型在捕捉空化形态和非定常流动结构方面具有优越性[25-26]。
S−S空化模型利用蒸汽体积输运方程中的蒸发和凝结源项来模拟汽液转换过程。蒸汽体积输运方程的表达式如下：
\frac{{\partial \left( {{\rho _{\text{v}}}{\alpha _{\text{v}}}} \right)}}{{\partial t}} + \frac{{\partial \left( {{\rho _{\text{v}}}{\alpha _{\text{v}}}{u_i}} \right)}}{{\partial {x_i}}} = R (13) R{\text{ = }}{R_{\text{e}}} - {R_{\text{c}}} (14) 式（14）中的两个源项Re和Rc分别表示蒸发源项和凝结源项，在S−S空化模型中其表述为
\left\{ \begin{aligned} & {R_{\text{e}}} = \frac{{3{\alpha _{\text{v}}}(1 - {\alpha _{\text{v}}})}}{{{R_{\text{b}}}}}\frac{{{\rho _{\text{v}}}{\rho _{\text{l}}}}}{{{\rho _{\text{m}}}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{\left( {{p_{\text{v}}} - p} \right)}}{{{\rho _{\text{l}}}}}} , &&{p \leqslant {p_{\text{v}}}} \\ & {R_{\text{c}}} = \frac{{3{\alpha _{\text{v}}}(1 - {\alpha _{\text{v}}})}}{{{R_{\text{b}}}}}\frac{{{\rho _{\text{v}}}{\rho _{\text{l}}}}}{{{\rho _{\text{m}}}}}\sqrt {\frac{2}{3}\frac{{\left( {p - {p_{\text{v}}}} \right)}}{{{\rho _{\text{l}}}}}} , &&{p \geqslant {p_{\text{v}}}} \end{aligned} \right. (15) 式中：pv为饱和蒸气压；Rb为气泡半径，表达式为
{R_{\text{b}}} = {\left(\frac{{{\alpha _{\text{v}}}}}{{1 - {\alpha _{\text{v}}}}}\frac{3}{{4{\text{π}} }}\frac{1}{{{N_{\text{b}}}}}\right)^{1/3}} (16) 其中， {N_{\text{b}}} 为单位流体体积内的气泡数，在S−S空化模型中被设置为1013 m−3。
1.2 声场模拟方法
FW-H方程全面地描述由湍流、刚体和流体位移引起的噪声[13]，其表达式为
\begin{split} & \frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}{p'}}}{{\partial {t^2}}} - \frac{{{\partial ^2}{p'}}}{{\partial {x_i}^2}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[{\rho _0}{u_i}\delta (f)\frac{{\partial f}}{{\partial {x_j}}}\right] - \\&\qquad \frac{\partial }{{\partial {x_i}}}\left[{{\boldsymbol{P}}_{ij}}\delta (f)\frac{{\partial f}}{{\partial {x_j}}}\right] + \frac{{{\partial ^2}{{\boldsymbol{T}}_{ij}}}}{{\partial {x_i}\partial {x_j}}} \end{split} (17) 其中：c是远场声速； {p'} 表示远场声压； {\rho _0} 是远场无扰动介质的密度；f =0表示声源面，f <0表示声源面内部流动区域，f >0表示声源面外部流动区域； \delta (f) 是Dirac-δ函数； {{\boldsymbol{T}}_{ij}} 和 {{\boldsymbol{P}}_{ij}} 分别为Lighthill应力张量和压应力张量，其表达式如下：
{{\boldsymbol{T}}_{ij}} = {\rho _{\text{m}}}{u_i}{u_j} + {{\boldsymbol{P}}_{ij}} - {c^2}{\rho _{\text{m}}}{\delta _{ij}} (18) {{\boldsymbol{P}}_{ij}} = p{\delta _{ij}} - {\mu _{\text{m}}}\left(\frac{{\partial {u_i}}}{{\partial {x_j}}} + \frac{{\partial {u_j}}}{{\partial {x_i}}} - \frac{2}{3}\frac{{\partial {u_k}}}{{\partial {x_k}}}{\delta _{ij}}\right) (19) 利用自由空间格林函数对式（17）进行卷积求解后，空间中任意一点的声压可以写成3个声压项的和
{p'} = p_{\text{T}}' + p_{\text{L}}' + p_{\text{Q}}' (20) 不可渗透的FW-H声比拟法的声源面设置在刚体表面，其中式（20）等号右侧3项声压的物理意义是明确的，分别为刚体运动导致流体质量扰动引起的厚度噪声声压 p_{\text{T}}' （单极子噪声）、刚体表面脉动力引起的负荷噪声声压 p_{\text{L}}' （偶极子噪声）和刚体周围湍流扰动引起的非线性噪声声压 p_{\text{Q}}' （四极子噪声）。厚度噪声声压和负荷噪声声压通过声源面的面积分计算，而非线性噪声声压通过声源面外部区域的体积分计算。为求解流场中分散相（如空化）诱发的噪声，di Francescantonio[17]将FW-H方程改写为新的边界积分方程，即PFW-H方程。PFW-H方程中式（20）的3个声压项表述如下：
p_{\text{T}}'=\frac{1}{4\text{π }}\frac{\partial}{\partial t}\int_{f=0}^{ }\left[\frac{\rho_0u_{\mathbf{\mathit{{\mathrm{{n}}}}}}+(\rho_{\text{m}}-\rho_0)(u{_{\mathrm{n}}}-v_{{\mathrm{{n}}}})}{r\left|1-M_{{\mathrm{{r}}}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}S (21) \begin{split} & p_{\text{L}}'=\frac{1}{4\text{π }c}\frac{\partial}{\partial t}\int_{f=0}^{ }\left[\frac{P\boldsymbol{_{\mathrm{\mathit{nr}}}}'+\rho_{\text{m}}u\mathit{_{\mathrm{\mathit{r}}}}(u_{\mathrm{\mathit{n}}}-v_{\mathrm{\mathit{n}}})}{r\left|1-M_{\mathrm{r}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}S+ \\ &\qquad\quad\frac{1}{4\text{π }}\int_S^{ }\left[\frac{P\mathit{\mathit{\mathit{_{\mathrm{\mathit{n}\mathit{r}}}}}}'+\rho_{\text{m}}u\mathit{_{\mathrm{\mathit{r}}}}(u_{\boldsymbol{\mathit{n}}}-v_{\mathrm{\mathit{n}}})}{r^2\left|1-M_{\mathrm{r}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}S \end{split} (22) \begin{split} & \qquad\quad p_{\text{Q}}'=\frac{1}{4\text{π}c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}\int_{f > 0}^{ }\left[\frac{T\boldsymbol{_{rr}}}{r\left|1-M_{\mathrm{r}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}V+ \\ &\frac{1}{4\text{π}c}\frac{\partial}{\partial t}\int_V^{ }\left[\frac{3T\boldsymbol{_{\mathit{rr}}}-T\mathit{\boldsymbol{_{\mathit{ii}}}}}{r^2\left|1-M\mathrm{\mathrm{\boldsymbol{_{\mathit{\mathrm{r}}}}}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}V+\frac{1}{4\text{π}}\int_V^{ }\left[\frac{3T\mathit{\boldsymbol{_{\mathit{rr}}}}-T\boldsymbol{_{\mathit{ii}}}}{r^2\left|1-M_{\mathrm{r}}\right|}\right]_{\text{ret}}\text{d}V \end{split} (23) 式中：r是声信号接收器和声源之间的距离；v和u分别为运动速度和流体的扰动速度，下标i，r和n分别表示声源入射方向、声辐射方向和声源面外法线方向； {M_{\text{r}}} 是声信号接收器方向的马赫数。
PFW-H方程用来预测噪声的声源面可以是可渗透面，此时可渗透声源面同时包围运动刚体及其周围的流体区域，声源面内各类声源诱发的噪声都包含在面积分 p_{\text{T}}' 和 p_{\text{L}}' 中。因此，PFW-H方程中的 p_{\text{T}}' 和 p_{\text{L}}' 的物理含义不再明确，此时，这两个声压分别被称为伪厚度噪声声压和伪负荷噪声声压。此外，PFW-H声比拟法的声源面通常会包围流场中所有不可忽略的声源，因此通过声源面外部区域体积分计算的 p_{\text{Q}}' 接近于0，后文的噪声计算不考虑这一项。
PFW-H声比拟法的可渗透声源面和声学监测点通常是静止的，故式（21）中的 v\boldsymbol{_{\mathit{n}}} 和 M_{\boldsymbol{\mathrm{r}}} 值为0。此外，相对于远场尺寸，声源面的尺寸足够小，所以声源面上的点和声学监测点之间的距离可以认为是相等的。因此，伪厚度噪声声压可以进一步简化为
p_{\text{T}}' = \frac{1}{{4{\text{π }}r}}\frac{\partial }{{\partial t}}{\int _S}{\rho _{\text{m}}}{u_n}{\text{d}}S = \frac{1}{{4{\text{π }}r}}\frac{{\partial Q}}{{\partial t}} (24) 其中，Q是通过声源面的质量流量。对于空化流动，声源面处质量流量的变化主要由空化体积演变导致。根据质量守恒定律，式（24）可以被改写为
p_{\text{T}}' = \frac{1}{{4{\text{π }}r}}\frac{{\partial Q}}{{\partial t}} = \frac{1}{{4{\text{π }}r}}\frac{\partial }{{\partial t}}\left(\frac{{{\text{d}}{\rho _{\text{l}}}{V_{\text{c}}}}}{{{\text{d}}t}}\right) = \frac{{{\rho _{\text{l}}}}}{{4{\text{π }}r}}\frac{{{{\text{d}}^2}{V_{\text{c}}}}}{{{\text{d}}{t^2}}} (25) 其中， {V_{\text{c}}} 为空化体积。式（25）表明，当流经声源面的流体密度为恒定值时，伪厚度噪声的强度与空化体积的二阶时间导数成正比。经过上述对伪厚度噪声的化简，伪厚度噪声的物理意义变得更加明确。
2. 数值求解设置
2.1 几何模型与计算域
本文的研究对象为PPTC螺旋桨，其主要的几何参数列于表1中。Potsdam Model Basin SVA于2015年对该桨进行了轴倾角为12°的斜入流试验测试[2]，其在试验中的放置位置如图1所示。此外，Potsdam Model Basin SVA还组织多家机构对该模型桨开展数值模拟研究，相关试验数据和数值模拟结果已公开，可在https://www.sva-potsdam.de/en/potsdam-propeller-test-case-pptc/[2]下载。
表 1 PPTC螺旋桨主要几何参数Table 1. Parameters for the PPTC propeller参数 符号/单位 数值 直径 D/m 0.25 设计螺距（r/R=0.7） P/D0.7R 1.635 弦长（r/R = 0.7） c0.7 /m 0.10417 侧斜 θEXT/ (°) 18.837 叶片数 Z 5 旋转方向 右旋 图2所示为本文的计算域和边界条件设置。计算域被划分为旋转域和静止域两部分。旋转域为包围螺旋桨，直径为1.2D的圆柱体。静止域为直径为8D的圆柱体，以尽可能减小静止域边界对声源面选择和螺旋桨周围流动的影响。静止域的进口和出口分别位于螺旋桨上游和下游3D和8D处，静止域的出口处螺旋桨的尾流已经得到充分的发展。
对于本研究的计算域边界条件设置，静止域壁面设置为自由滑移壁面来模拟无限水域自由来流，螺旋桨表面及其他壁面均设置为无滑移壁面。依据试验，进口设置为速度进口，出口设置为压力出口。船舶进速U和出口压力pout分别由试验中的进速系数J和空化数σ 计算得到。进速系数和空化数的表达式如下：
J = U/nD (26) \sigma = \left( {{p_{{\text{out}}}} - {p_{\text{v}}}} \right)/\left( {0.5{\rho _{\text{m}}}{n^2}{D^2}} \right) (27) 其中，n为螺旋桨的转速。本文选用片空化和梢涡空化均充分发展的工况（斜入流Case 2.1工况）作为噪声计算的基准工况，其相关参数设置展示在表2中。
斜入流工况 J n/ (s−1) σ Case 2.1 1.019 20 2.024 2.2 数值计算方法
本文基于有限体积法对绕PPTC螺旋桨的流动开展高精度数值计算。首先，采用SST k-ω湍流模型进行稳态全湿流场的模拟。接着，以稳态模拟的结果作为初场在计算设置中加入S−S空化模型并与LES耦合进行非稳态空化模拟。本文关于空化和噪声的研究均基于LES得到的非稳态结果开展。在非稳态计算过程中，对流项采用有界中心差分格式，时间相采用有界二阶隐式格式。前10个螺旋桨旋转周期的时间步长设置为5°每步，待计算稳定后将时间步长改为0.5°每步，该时间步长已被证明可以有效地捕捉螺旋桨周围的空化和其诱发的声压脉动[27]。
2.3 网格划分与细化
网格的质量和分辨率对空化流动预测结果的影响很明显，多面体网格具有生成简单、质量高和计算精度高的优点[28]。因此，本文的整个计算域均采用高质量的多面体网格。因为旋转域内包含螺旋桨周围主要的湍流结构，所以对旋转域内部网格进行加密。在此基础上，为有效捕捉叶片附近片空化和梢涡空化的演变过程，对叶片表面、叶片壁面边界层区域和梢涡空化发展区域的网格进一步细化，如图3所示。
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图 3 螺旋桨表面与旋转域的网格分布Figure 3. Mesh distributions of the propeller surface and the rotation domain首先生成一套数量约为850万的基础网格。图4显示的是斜入流Case 2.1工况下基础网格模拟的空化形态与试验结果[2]对比，图中红色结构为空化，其由蒸汽体积分数αv=0.1的等值面表示。结果表明，基础网格较好地捕捉到叶片表面的片空化。虽然模拟中由叶片导边产生的片空化被一定程度地高估，但根据相关经验可知，这很可能不是网格分辨率不足造成的，而是因为数值模拟和模型试验的流动状态没有达到完全一致[29]。结果还显示，与试验数据相比，数值模拟预测的梢涡空化明显被低估，这表明梢涡空化处网格分辨率不足。
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根据以上结果可知，基础网格在梢涡空化处需要被进一步细化，而在片空化周围则没有必要。为平衡计算资源消耗和模拟精度，本文只针对基础网格在梢涡空化区域进行3次细化，得到细化网格1～3。细化网格的相关信息如表3所示，其中每次细化后梢涡空化处网格的体密度为原来的2倍。
表 3 细化网格信息Table 3. Information on the refined grids网格方案 网格总数 TVC直径内的网格数 细化网格1 11484219 21 细化网格2 16492315 32 细化网格3 19724156 42 2.4 可渗透声源面与声学监测点设置
PFW-H声比拟法的可渗透声源面（PDS）既要尽可能大地包围绝大多数不可忽略的噪声源，又要足够小以确保其内部网格达到较高分辨率。基于以上考虑，本文声源面设置为包围并很靠近旋转域（网格加密区域）的可渗透面，如图5所示。图5中还展示了声源面与噪声源的相对位置和监测远场噪声的声学监测点的设置。可以看出，重要的声源都被声源面包围，表明所选取的声源面尺寸已足够。声学监测点位于螺旋桨桨盘平面上距离螺旋桨中心80D处。
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图 5 可渗透声源面与声学监测点设置Figure 5. Permeable data surface and the acoustic monitoring point settings需要重点关注应用PFW-H声比拟法时尾流结构穿越可渗透声源面所引发的虚假噪声问题。空化发生后，尾流结构变得更加复杂，虚假噪声的影响不可忽视[10]。前人已有研究证明，声源面下游开口可以一定程度地解决该问题[10]，本文也采用了此策略。图6所示为无空化和空化工况下，声源面下游有无开口时模拟的远场噪声频谱。噪声强度用声压级（SPL）表示，其计算式为
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图 6 声源面下游有无开口时预报的远场总噪声频谱Figure 6. Far-field total noise spectrum predicted with and without openings downstream of the data surfaceS_{\mathrm{PL}} = 10{\lg}\left( {\frac{{{S_{{\text{pp}}}}\left( f \right)}}{{p_{{\text{ref}}}^2}}} \right) (28) 其中：Spp是声压的功率谱密度；pref是水中噪声的参考声压，其值为10−6 Pa。可以发现，无空化工况下，由于穿越声源面的尾流结构较少，声源面下游开口前后预测的噪声频谱基本重合；而空化工况下，由于穿越下游声源面的尾流结构变得更加复杂，声源面下游开口前后模拟的噪声数据略有偏差，对声源面进行下游开口可以一定程度地过滤虚假噪声。综上所述，本文采用下游开口的圆柱形可渗透声源面计算流动噪声。
3. 结果与讨论
3.1 数值方法可靠性验证
3.1.1 网格无关性分析与可靠性验证
图7为斜入流Case 2.1工况下试验中的空化形态[2]和3套细化网格的模拟结果。结果表明，与试验观测值相比，细化网格1模拟的梢涡空化明显被低估，如图7中黑色线圈圈出区域所示。细化网格2和细化网格3更好地预测了梢涡空化的长度，其预测的梢涡空化形态相近并贯穿整个梢涡加密区域。图8进一步显示了3套细化网格计算的梢涡发展区域的压力分布情况。压力大小通过无量纲压力参数Kp[30]显示
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图 8 细化网格模拟的梢涡核心的压力Figure 8. Comparison of the predicted pressure distributions in tip vortex core by refined grid schemes{K_{\text{p}}} = {K_{\text{b}}}\frac{p}{{{\rho _{\text{m}}}{n^2}{D^2}}} (29) 其中，Kb表示固体边界因子，近似等于2。
从图8中可以看出，细化网格2和细化网格3都捕捉到梢涡核心处的低压，而细化网格1则高估了该处的压力，这是细化网格1低估梢涡空化的主要原因。综合以上结果可知，当网格密度达到细化网格2的密度时，随着网格数量的增多，网格捕捉流场中空化形态和压力的能力不再有明显的改善。因此，为平衡模拟精度和资源消耗，本文的计算选择细化网格2开展。
接下来主要对细化网格2模拟结果的可靠性进行验证，分别验证细化网格2应用LES的可行性，并预测螺旋桨水动力性能的能力。
本文采用LES结合壁面模型对螺旋桨空化流场进行预报，该方法已成功地应用于复杂空化流的模拟中[31]。细化网格2在叶片处的平均y+为14，平均无量纲网格间隔x+和z+分别为73和40，以上网格尺寸均符合壁面模化的LES对边界层网格的要求[32]。下面，继续评估细化网格2解析流场中湍流结构的能力。图9显示的是LES指数IQ (index of quality)在旋转域中的分布情况。该指数由Celik等[33]提出，用于反映网格对湍流结构的解析能力。模拟结果显示，旋转域内大部分区域的湍流结构解析率都超过80%，甚至集中在汽液界面的最小解析率也超过75%。对于大多数工程中应用的LES方法，可以认为当前的网格已经解析了足够的湍流脉动能量。
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图 9 细化网格2预测的LES指数IQ的分布Figure 9. Distribution of LES index IQ predicted by refined grid 2LES_{\mathrm{IQ}}=\frac{1}{1+0.05(1+\mu_{\text{SGS}}+\mu_{\text{m}})^{0.53}} (30) 上述讨论证明细化网格2的解析尺度满足LES的要求，接着，继续验证细化网格2预测螺旋桨空化和水动力性能的能力。图10所示为进速系数固定为1.019时改变空化数，细化网格2预测的水动力参数与试验值的[2]对比情况。图中KT为螺旋桨的推力T的无量纲系数，被称为推力系数，其表达为
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{K_{{T}}} = \frac{T}{{{\rho _{\text{l}}}{n^2}{D^4}}} (31) 结果表明，随着空化数的减小，推力系数的变化起初不明显，当空化数减小到一定程度后，推力断裂现象发生，表明此时流场中空化产生。空化产生后模拟结果与试验数据的误差相比无空化时有所增大，但在整个推进系数变化范围内最大的模拟误差不超过5%，满足本文对计算精度的要求。图11所示为叶片1旋转90°，180°和270°时试验中的[2]和细化网格2捕捉的空化形态对比，可以发现，数值模拟成功捕捉到梢涡空化、片空化和叶根空化的发展过程。
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综上所述，细化网格2的分辨率满足壁面模化LES的要求。此外，应用该网格可以在有限的计算资源下得到令人满意的螺旋桨空化和水动力性能结果。因此，本文将基于细化网格2的模拟结果开展空化流动和噪声预报等问题研究。
3.1.2 声场模拟方法可靠性验证
由于PPTC螺旋桨没有公开的噪声试验数据，本文借助绕串联双圆柱的流动案例对噪声预报方法的可靠性进行验证。美国宇航局兰利研究中心在空气动力学风洞中（basic aerodynamic research tunnel, BART）对该案例的流场进行了测量[34]，为消除背景噪声的影响，相应的声信号测量在消音风洞（quiet flow facility, QFF）中开展[35]。
本文对该案例的数值模拟设置尽可能与试验保持一致，相关的设定如图12所示，其中Dc为串联双圆柱的直径。图13所示为本文对串联双圆柱流动案例的网格划分策略，与本文模拟螺旋桨空化流动和噪声的网格划分方法一致，该案例的计算域采用的也是全局多面体网格，并对尾流结构较为丰富的区域进行局部加密，如图中红色线圈圈出区域所示。此外，为捕捉圆柱周围的边界层转捩过程，对双圆柱壁面边界层网格进一步细化，最终网格总数为660万。采用LES结合FW-H方程对远场流动噪声进行预报，数值求解格式的设置和2.2节中基本一致。
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图 12 串联双圆柱流动的计算域与边界条件Figure 12. Computational domain and boundary conditions for the tandem bicylindrical flows在验证噪声模拟结果的可靠性之前，首先对流场的模拟精度进行验证。图14为空气动力学风洞中测量的[34]和数值模拟的涡结构的对比。结果表明，模拟的涡结构形态和剪切层的长度与试验中的高度相似。接着，采用FW-H声比拟法对远场噪声进行预报，其中声源面设置在双圆柱的表面。图15所示为消音风洞中测量的[35]和数值模拟计算的远场噪声数据。可以发现，模拟的声信号在低频和中频段与试验数据吻合较好，试验中的涡脱落频率和数值模拟预报的噪声主频一致，都为178 Hz。以上结果说明，FW-H声比拟法在预报远场噪声方面具有一定的可靠性。
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3.2 空化对噪声频谱分布的影响
图16为斜入流Case 2.1工况下有无开启空化模型时远场噪声频谱的分布情况。结果表明，空化时叶频噪声（频率位于低频和中频）和宽带噪声（频率位于高频）相比无空化时均有明显提升，特别是低频噪声。因此，有必要研究空化对远场噪声的具体贡献及其原因。在斜入流Case 2.1工况下，流场中存在的空化类型主要包括片空化和梢涡空化，这两种空化的形态和演化过程存在明显差别，两者对流动噪声的贡献很可能不同。本文分别探究片空化和梢涡空化对流动噪声的贡献及其发声机制。
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图 16 有无空化时远场总噪声频谱分布Figure 16. Spectral distribution of the total noise with and without cavitation本研究绘制了两套网格：一套网格为细化网格2，另一套网格不对梢涡区域进行细化。两套网格除了在梢涡区域的密度不同，其余区域均分布一致。在斜入流Case 2.1工况下，两套网格模拟得到显示了不同的空化形态，如图17所示。可以发现，梢涡区域不加密的网格捕捉到片空化，梢涡空化只在产生部位被捕捉，因此主要能反映了片空化对流动和噪声的影响。相比之下 ，采用梢涡区域加密的网格能够捕捉到显著的梢涡空化和片空化，揭示了两类空化对流动和噪声的共同作用。通过对比两套网格的计算结果，可以看出梢涡空化对流动和噪声的影响。
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图 17 梢涡区域网格加密和不加密时计算的空化形态Figure 17. Cavities predicted with and without mesh refinement in the tip vortex region图18为两套网格计算的远场空化总噪声频谱分布。结果表明，两套网格预报的空化总噪声频谱分布在高频段差距不大，表明高频段噪声主要由片空化贡献。然而，这一现象与普遍认知不符——梢涡空化会导致高频噪声增强。这可能由于梢涡区域加密网格在梢涡空化处的分辨率不足以捕捉梢涡空化处的小气泡，导致小气泡生长和溃灭诱发的高频噪声未能在模拟中体现。从图18中还可以观察到，两套网格预报的空化总噪声频谱都存在很明显的主频（一次叶频，1BPF）特征，但能够捕捉到梢涡空化网格预报的主频噪声更大，并且其还在高于主频的频率处捕捉到显著的噪声峰值，如图中蓝色线框位置所示。上述结果表明，在片空化和在梢涡空化的作用下主频噪声均会被增强，片空化演变对高频宽带噪声产生重要贡献，梢涡空化演变则会在高于主频的频率处诱发出明显的噪声峰值。
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图 18 梢涡区域网格加密和不加密时计算的空化总噪声频谱分布Figure 18. Spectral distribution of total cavitation noise predicted with and without mesh refinement in the tip vortex region3.3 空化发声机理
已有研究表明，空化工况下伪厚度噪声会对空化总噪声起到主导作用[10,36]。因此，本文从伪厚度噪声入手，进一步研究梢涡空化和片空化影响流动噪声频谱分布的原因。图19（a）和图19（b）分别为梢涡区域加密网格预报的螺旋桨两个典型旋转周期（T0）内片空化和梢涡空化的总体积与其诱发的伪厚度噪声声压随时间的变化过程。结果显示，片空化和梢涡空化的总体积演变均具有显著的周期性特征，演变周期均为一个叶片的通过时间（1/5 T0）。这种周期性演变诱发出与其演变周期相同的伪厚度噪声，其声压演变在噪声频谱中表现为主频噪声的增强。因此，两类空化演化都在主频处诱发了高强度的噪声峰值。继续观察两类空化诱发的伪厚度噪声声压还可以发现：片空化诱发的伪厚度噪声声压在一个演变周期内存在大量瞬时毛刺脉冲，从而导致高频噪声的提升；而梢涡空化诱发的伪厚度噪声声压在每个演化周期内毛刺脉冲相对较少，但存在2~3个不规则的小幅度连续脉动，这有利于在高于主频的频率处产生显著噪声峰值。
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图 19 片空化与梢涡空化的总体积和诱发的伪厚度噪声声压的变化Figure 19. Variations in total volume and induced pseudo-thickness noise sound pressure for sheet cavity and tip vortex cavity为进一步研究两类空化诱发的伪厚度噪声声压存在上述差别的原因，本文从空化形态演变过程入手进行分析。图20为在斜入流Case 2.1工况下空化形态的演变过程，图中5片桨叶按逆时针顺序依次命名为叶片1～5，空化形态通过蒸汽体积分数αv=0.1的等值面显示。结果表明，片空化在周期性演变时呈现出先产生、再发展、最后溃灭的过程。空化产生和溃灭伴随的瞬时高强度体积变化很可能与瞬时声压脉冲的产生有关。梢涡空化在周期性演变时不存在产生和溃灭过程，但出现明显的体积回弹行为，如叶片1上梢涡空化的演变行为所示。梢涡空化体积回弹时的连续体积脉动有利于形成连续空化体积加速度脉动，这很可能与梢涡空化诱发的伪厚度噪声声压出现连续脉动有关。
为验证上述推测，图21进一步展示了相同时间段内一个叶片上的片空化和梢涡空化体积及其诱发的伪厚度噪声声压随时间的变化。结果表明，片空化体积演变诱发的声压在大部分时间内较为平稳，但在片空化初生和溃灭的阶段，出现显著的脉冲峰值。这表明片空化初生和溃灭时的瞬时空化体积变化是诱发瞬时声压脉冲的原因。梢涡空化在演化过程中不存在初生和溃过程，但其体积变化稳定性较差，在体积接近最大值和最小值时，出现显著的体积回弹行为，而梢涡空化体积演变诱发的声压随时间的变化高度不稳定，并在体积回弹时段出现高强度的连续脉动。以上现象表明，上文推测合理。综合上述分析可知，片空化和梢涡空化的体积演变诱发出不同频谱特性的噪声，与两类空化在演变过程中不同的动力学行为密切相关。
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图 21 一个叶片上的片空化和梢涡空化的体积和诱发的伪厚度噪声声压的变化Figure 21. Variations in the volume and induced pseudo-thickness noise sound pressure for sheet cavity and vortex cavity on a blade4. 结 论
空化作为绕螺旋桨流动中最主要的噪声源之一，会显著提升远场噪声。目前，螺旋桨空化噪声特性与空化动力学行为之间的内在联系尚不明晰，这很大程度上限制了舰船的海洋环境友好性和声隐身性能的提升。为此，本文采用LES结合PFW-H方程对PPTC螺旋桨空化流动及噪声进行高精度仿真，重点关注空化对远场流动噪声频谱分布特性的影响，揭示了螺旋桨周围片空化和梢涡空化的发声机制。本文得到如下主要结论：
1） 基于网格捕捉流场中空化形态和压力的能力，开展网格无关性检验与网格布置条件选择。将所选网格的模拟结果与试验数据对比，验证了网格分辨率满足LES要求，且能在有限的计算资源下准确模拟螺旋桨空化和水动力性能。因此，该网格可被用于本文的空化流动和噪声预报研究。
2）基于片空化和梢涡空化对远场噪声频谱分布的影响及其发声机理的研究表明，片空化和梢涡空化在演变过程中均表现出显著的周期性特征，因此均贡献了高强度的主频噪声。片空化在演变时存在初生和溃灭过程，伴随高强度的瞬时空化体积变化，从而加剧了高频宽带噪声；梢涡空化虽无初生和溃灭过程，但在体积接近最大值和最小值时出现显著的体积回弹行为，诱发高强度的连续声压脉动，导致在高于主频的频率处产生显著的噪声峰值。
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图 3 螺旋桨表面与旋转域的网格分布
Figure 3. Mesh distributions of the propeller surface and the rotation domain
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图 5 可渗透声源面与声学监测点设置
Figure 5. Permeable data surface and the acoustic monitoring point settings
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图 6 声源面下游有无开口时预报的远场总噪声频谱
Figure 6. Far-field total noise spectrum predicted with and without openings downstream of the data surface
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图 8 细化网格模拟的梢涡核心的压力
Figure 8. Comparison of the predicted pressure distributions in tip vortex core by refined grid schemes
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图 9 细化网格2预测的LES指数IQ的分布
Figure 9. Distribution of LES index IQ predicted by refined grid 2
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图 12 串联双圆柱流动的计算域与边界条件
Figure 12. Computational domain and boundary conditions for the tandem bicylindrical flows
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图 16 有无空化时远场总噪声频谱分布
Figure 16. Spectral distribution of the total noise with and without cavitation
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图 17 梢涡区域网格加密和不加密时计算的空化形态
Figure 17. Cavities predicted with and without mesh refinement in the tip vortex region
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图 18 梢涡区域网格加密和不加密时计算的空化总噪声频谱分布
Figure 18. Spectral distribution of total cavitation noise predicted with and without mesh refinement in the tip vortex region
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图 19 片空化与梢涡空化的总体积和诱发的伪厚度噪声声压的变化
Figure 19. Variations in total volume and induced pseudo-thickness noise sound pressure for sheet cavity and tip vortex cavity
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图 21 一个叶片上的片空化和梢涡空化的体积和诱发的伪厚度噪声声压的变化
Figure 21. Variations in the volume and induced pseudo-thickness noise sound pressure for sheet cavity and vortex cavity on a blade
表 1 PPTC螺旋桨主要几何参数
Table 1 Parameters for the PPTC propeller
参数 符号/单位 数值 直径 D/m 0.25 设计螺距（r/R=0.7） P/D0.7R 1.635 弦长（r/R = 0.7） c0.7 /m 0.10417 侧斜 θEXT/ (°) 18.837 叶片数 Z 5 旋转方向 右旋 
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斜入流工况 J n/ (s−1) σ Case 2.1 1.019 20 2.024
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表 3 细化网格信息
Table 3 Information on the refined grids
网格方案 网格总数 TVC直径内的网格数 细化网格1 11484219 21 细化网格2 16492315 32 细化网格3 19724156 42
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