0.   引　言

波浪中船舶操纵运动预报对船舶航行安全、有效控制及舰船作战能力提升等具有重要意义。相对于静水情况，波浪中船舶的受力更加复杂，操纵运动受随机波浪的干扰，往往会与耐波运动耦合，对其的预报一直以来都是研究的热点与难点。

传统的波浪中操纵运动预报方法主要包括数学模型方法、计算流体力学（CFD）方法和模型试验方法3种。其中 ，数学模型方法是应用泰勒级数展开来表达黏性水动力，大多采用势流理论预报波浪力。该模型又可以分为整体模型（将操纵运动与耐波运动作为整体同时预报）^[1]和双时间尺度模型（根据响应频率的不同分别预报操纵运动与耐波运动）^[2-3]，预报精度受理想化假设和水动力系数影响较大，预报效率与势流求解器优化程度相关。CFD方法^[4-6]可以充分考虑流体的黏性，探究船−桨−舵及波浪之间的相互干扰，预报精度相对较高，但预报效率低。模型试验方法^[7-9]通常被认为是最可靠的，但成本较高，且应用试验结果预报实船运动存在尺度效应的问题。

总体来讲，传统的预报方法主要应用于船舶设计阶段的操纵性能评估，其对于波浪中典型运动的宏观特征参数，如战术直径和超调角等的预报精度满足工程要求。随着海上安全避碰和最优操控策略等问题越来越受到重视，船舶操纵运动预报的目的已经由服务于设计阶段的性能评估向支撑实航阶段的最优操控扩展。然而，传统方法的预报效率和预报精度很难同时满足实航过程对操纵运动预报的实时性以及对运动速度等微观时序变量的准确性要求。

除上述传统方法外，系统辨识方法是预报船舶操纵运动的另一种有效手段，尤其是近年来，人工智能技术的蓬勃发展进一步促进了其在船舶工程领域的应用，系统辨识方法再次引起了广泛关注。系统辨识方法的核心思想是基于大量的测量数据建立动态系统模型，以使动态系统模型的输出与实际系统的输出误差最小。该方法可以根据实际测量数据更新动态系统模型，这为船舶操纵运动的实时准确预报带来了新的希望。

目前，已有较多关于系统辨识在静水中船舶操纵运动预报方面的研究，主要分为白箱建模、黑箱建模和灰箱建模3种。其中，白箱建模是直接假设操纵运动参数化模型，其根据操纵运动数据，采用回归方法，直接辨识模型中的参数。Ravisekhar Radhakrishna等^[10-12]采用不同的数据回归方法开展了白箱建模研究，包括扩展卡尔曼滤波法（EKF）、最大似然函数法、最小二乘法、神经网络方法以及支持向量机（SVM）等。白箱建模是直接基于运动数据辨识参数，方法简便且能提高预报精度，然而白箱建模一般以传统的数学模型作为参数化模型，不能避免数学模型中水动力理想近似表达存在误差的缺点，当考虑波浪等环境条件时，参数模型更加复杂，辨识难度增大，同时，大多参数辨识方法还存在参数漂移的问题，需要辨识的参数越多，辨识结果偏移到错误值的现象越明显。黑箱建模是根据操纵运动数据直接建立输入输出非参数化模型^[13-17]，由于其不考虑操纵运动背后的物理意义，一方面可以使黑箱建模不受数学方程的约束，具有灵活易实施的优点，另一方面由于缺少物理含义，往往存在泛化能力差的问题。灰箱建模是针对部分机制和结构已知的系统，利用已知的运动机理、经验或系统辨识技术来确定系统未知的内部结构和参数^[18-24]，其通过系统结构已知的部分保障模型泛化能力，通过补充建立未知结构的模型来提高预报精度，融合了白箱建模与黑箱建模的优点，近年来，受到越来越多的关注。

由于船舶在波浪中的操纵运动具有环境干扰因素多、与随机波浪引起的耐波运动耦合特性强等特点，系统辨识应用于波浪中船舶操纵运动预报的研究较少且尚不成熟。张艳云等^[25]基于ν-SVM对船舶在波浪中的三自由度操纵运动进行了黑箱建模，受数据的限制，模型中并未考虑波浪特征参数的影响。综上分析，考虑到灰箱建模方法的优点，在前期已有静水中操纵运动灰箱建模工作^[24]的基础上，本文将继续对规则波中船舶操纵运动预报的灰箱建模方法开展研究。首先，建立船舶操纵运动方程以表征操纵运动机理。其次，应用泰勒级数展开方法近似静水水动力，采用经验公式估算规则波中二阶定常波浪漂移力，建立波浪中船舶三自由度操纵运动数学模型。受静水水动力的理想化近似表达（水动力泰勒展开、部分水动力导数未知、航速变化、环境干扰、尺度效应等），以及应用二阶定常波浪漂移力估算会引入计算误差的问题，提出基于试验数据和深度神经网络（DNN）技术，构建考虑环境干扰因素的静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力模型，然后采用傅里叶变换方法将低频操纵运动数据与高频耐波数据分离，为静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力模型的建立提供数据基础，形成融合机理与数据的规则波中船舶操纵运动预报灰箱模型。最后，以ONRT模型为研究对象，分别应用灰箱模型和数学模型预报规则波中船舶的操纵运动，并对比分析其预报精度，为真实海洋环境中船舶操纵运动的实时预报奠定基础。

1.   波浪中船舶操纵运动方程

定义船舶操纵运动大地坐标系$O-{x}_{0}{y}_{0}{\textit{z}}_{0}$和随船坐标系o-xyz如图1所示，其均满足右手定则。在随船坐标系o-xyz中，坐标原点o位于船舶重心处，ox轴沿船中线指向船首，oy轴指向右舷。Ox₀轴与ox轴之间的夹角$\psi$定义为艏向角，规定以Ox₀轴方向为起始位置按右手定则绕Oz₀轴转到ox轴方向是$\psi$的正方向，$\psi \in \left[0 , 2{\text{π}}\right)$；Ox₀轴方向与波浪传播方向的夹角定义为浪向角$\chi$，规定以Ox₀轴方向为起始位置按右手定则绕Oz₀轴转到波浪传播方向是$\chi$的正方向，$\chi \in \left[0,2{\text{π}}\right)$；定义相对浪向角为$\bar {\chi }=\chi -\psi$。航速U的方向与ox轴之间的夹角$\beta$定义为漂角，规定以速度矢量方向为起始位置按右手定则绕Oz₀轴转到ox轴方向是$\beta$的正方向；舵角$\delta$向船体右舷转动为正。

图  1  坐标系定义

Figure  1.  Definition of coordinate system

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由质心运动定理和相对质心运动的动量矩定理，船舶水平面三自由度操纵运动方程在随船平动坐标系中表达如下：

式中：m为船舶质量；${I}_{{\textit{z}}{\textit{z}}}$为船绕$o{\textit{z}}$轴的转动惯量，${I}_{{\textit{z}}{\textit{z}}}=m{L}^{2}/16$，其中L为船长；u，$v，r$分别为船沿$ox$轴的纵向速度、沿$oy$轴的横向速度和绕$o{\textit{z}}$轴的艏摇角速度；$\dot{u}$，$\dot{v}，\dot{r}$分别为纵向加速度、横向加速度和艏摇角加速度，其中$\dot{u}=\mathrm{d}u/\mathrm{d}t$，$\dot{v}=\mathrm{d}v/\mathrm{d}t， {r}=\mathrm{d}r/\mathrm{d}t；X，Y，N$分别为船受到沿$ox$轴的纵向力、沿$oy$轴的横向力和绕$o{\textit{z}}$轴的艏摇力矩，其主要由静水水动力（力矩）分量${X}_{\mathrm{c}}$，${Y}_{\mathrm{c}}，{N}_{\mathrm{c}}$及二阶定常波浪漂移力（力矩）分量${X}_{\mathrm{w}}$，${Y}_{\mathrm{w}}，{N}_{\mathrm{w}}$组成。

2.   规则波中船舶操纵运动数学模型

对于静水水动力（力矩）${X}_{\mathrm{c}}$，${Y}_{\mathrm{c}}$和${N}_{\mathrm{c}}$，参考Abkowitz操纵性方程^[26]，将船、桨、舵看成一个系统，在初始定常直线运动状态将静水水动力按泰勒级数展开，保留三阶项。同时，为提高计算效率，将二阶定常波浪漂移力（力矩）${X}_{\mathrm{w}}$，${Y}_{\mathrm{w}}$和${N}_{\mathrm{w}}$采用经验公式表达^[27]。代入式（1），可得规则波中船舶操纵运动数学模型如下：

其中：

式中：$\Delta u=u-{u}_{0}$，其中${u}_{0}$为初始纵向速度；${X}_{0}，{Y}_{0}$，${N}_{0}$分别为初始直航时的纵向水动力、横向水动力和艏摇力矩；各变量前的系数为水动力导数，其中${X}_{u}=\partial {X}_{\mathrm{c}}/\partial u$，${X}_{uu}={\partial }^{2}{X}_{\mathrm{c}}/\partial {u}^{2}$，其他各水动力导数的表达类似。二阶定常波浪漂移力（力矩）的经验公式如下：

1） 二阶定常波浪漂移纵向力系数${C}_{\mathrm{w}1}$：

如果$\left(-n{\text{π}}\right)/2 < \bar {\chi } < \left(n{\text{π}}\right)/2$，则

如果$\left(n{\text{π}}\right)/2 < \bar {\chi } < \left(3n{\text{π}}\right)/2$，则

2） 二阶定常波浪漂移横向力系数${C}_{\mathrm{w}2}$：

当$\lambda /{L}_{\mathrm{p}\mathrm{p}} < 0.3$时，

当$\lambda /{L}_{\mathrm{p}\mathrm{p}} > 1.5$时，

并且，若$0\le \bar {\chi } < {\text{π}}$，则

若${\text{π}}\le \bar {\chi } < 2{\text{π}}$，则

3） 二阶定常波浪漂移艏摇力矩系数${C}_{\mathrm{w}3}$：

并且${C}_{\mathrm{w}3}=-\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left(2\bar {\chi }\right)\left|{C}_{\mathrm{w}3}\right|$。以上式中：$\rho$为水的密度；g为重力加速度；B为型宽；a为规则波的波幅；${L}_{\mathrm{p}\mathrm{p}}$为船体垂线间长；$\lambda$为波长；T为吃水；n为任意正整数。

分析上述建立的规则波中船舶操纵运动数学模型，通过采用泰勒级数展开及经验公式表达等手段，虽然简化了相关计算，提高了计算效率，但同时也导致静水水动力（力矩）以及二阶定常波浪漂移力（力矩）存在误差，尤其是静水水动力（力矩）对水动力系数的依赖性强，二阶定常波浪漂移力（力矩）经验公式中未考虑船舶自身航速等特性，这些不足均进一步影响到规则波中船舶操纵运动预报的精度，无法应用于实际航行过程中的船舶操纵运动预报。

3.   规则波中船舶操纵运动灰箱建模

为了克服上述数学模型的不足，在原有静水水动力泰勒级数展开的基础上，提出基于操纵运动数据和DNN技术构建静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力统一模型（为表达方便，以下简称“水动力修正统一模型”）。该模型不仅与表征波浪特性的波长$\lambda$和波幅a有关，还与表征船体自身特性的相对浪向角$\bar {\chi }$、舵角$\delta$、纵向速度u、横向速度v和艏摇角速度r有关，可以表达为$\Delta \mathit{F}\left(\lambda ,a,\bar {\chi },\delta ,u,v,r\right)=\left(\Delta X,\Delta Y,\Delta N\right)$，用以克服泰勒级数展开及经验公式表达的缺点。将水动力修正统一模型代入表征操纵运动机理的式（1）中，形成融合机理与数据的规则波中船舶操纵运动预报灰箱模型，表达如下：

应用上述灰箱模型预报操纵运动，还需解决2个关键技术：一个是低频操纵运动数据与高频耐波运动数据的分离；另一个是水动力修正统一模型的建立。

3.1   不同频率操纵与耐波运动数据的分离

规则波中，船舶机动数据可以通过水池试验获取，直接测量得到的物理量包括：时刻t、浪向角$\chi$，波长$\lambda$，波幅a，横摇角$\varphi$、纵摇角$\theta$、艏向角$\psi$、横摇角速度p、纵摇角速度q、艏摇角速度r、舵角$\delta$，以及模型在大地坐标系中的位置坐标$\left({x}_{0},{y}_{0}\right)$。船舶的速度和加速度可以通过位置对时间进行微分计算得到。

经微分处理得到的水平面三自由度运动数据涉及低频操纵运动数据与高频耐波运动数据的耦合，低频操纵运动决定运动轨迹，耐波运动在低频操纵运动的基础上高频振荡，受与波浪相互作用时船体姿态和波浪相位的随机性的影响，耐波运动也表现出随机特性。为了更加准确地建立水动力修正统一模型，学习静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力特性，需要解决低频操纵运动数据的提取问题。本文提出采用傅里叶变换方法将时域信号转换为频域信号，并将操纵运动数据所对应的低频段信号转化为时域信号，实现操纵运动数据的提取。

不失一般性，以纵向速度时域信号$u\left(t\right)$为例，通过傅里叶变换得到频域信号$\tilde {u}\left(\omega \right)$：

式中，$\omega$为信号频率。以${\omega }_{0}$表示波浪频率，船舶在随浪航行时遭遇频率${\omega }_{\rm{e}}$最小，最小遭遇频率记为${\omega }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}={\omega }_{0}-{u}_{0}{\omega }_{0}^{2}/g$；船舶在迎浪航行时遭遇频率最大，最大遭遇频率记为${\omega }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}={\omega }_{0}+{u}_{0}{\omega }_{0}^{2}/g$。则低频操纵运动对应的频率区间大概为$\left(0，{\omega }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}}\right)$，高频耐波运动主要对应的频率区间为$\left[{\omega }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{n}},{\omega }_{\mathrm{e}}^{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}}\right]$。对频域信号做傅里叶逆变换，即可得到低频操纵运动纵向速度时域信号：

类似地，同样可以处理得到低频的横向速度数据$v\left(t\right)$和艏摇角速度数据$r\left(t\right)$。

将提取的低频操纵运动数据代入式（5），计算

即可得到反映变量$\lambda ,a,\bar {\chi },\mathrm{\delta },u,v,r$与$\Delta X,\;\Delta Y,\;\Delta N$的映射关系数据，可为建立水动力修正统一模型提供数据基础。

3.2   水动力修正统一模型的建立

水动力修正统一模型$\Delta \mathit{F} (\lambda ,a,\bar {\chi },\delta ,u,v,r )= (\Delta X, \Delta Y,\Delta N )$的内部结构和表达形式是未知的，其实质是反映多输入$\left(\lambda ,a,\bar {\chi },\delta ,u,v,r\right)$到多输出的$\left(\Delta X,\Delta Y, \Delta N\right)$映射空间。考虑到DNN对于多输入多输出非线性系统具有非常强的拟合能力，本文提出应用DNN建立水动力修正统一模型。下面，将首先介绍DNN的基本结构，然后应用DNN模型学习静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力的特性。

3.2.1   DNN基本结构

DNN是由多个神经元按照某种连接结构形成的网络，满足万能逼近定理，即其可以逼近任何函数。DNN的结构和神经网络节点分别如图2和图3所示。

图  2  深度神经网络结构图

Figure  2.  Architecture of DNN

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图  3  神经网络节点

Figure  3.  Nodes in neural network

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神经网络由输入层、隐含层（层数大于1）和输出层组成。设其共有n层，$l\in \left[1,n\right]$为任意层的编号。第l层具有${m}_{l}$个神经元，第l层的第i个神经元表示为${N}_{i}^{l}$，其阈值表示为${\theta }_{i}^{l}$，总输入信号和输出信号分别表示为${S}_{i}^{l}$和${y}_{i}^{l}$。类似地，第$\left(l-1\right)$层的第j个神经元表示为${N}_{j}^{l-1}$，输出表示为${y}_{j}^{l-1}$，${\omega }_{ij}^{l} \mathrm{为}{N}_{i}^{l}$与${N}_{j}^{l-1}$之间的连接权重，则

${S}_{i}^{l}$经过非线性活化函数$f\left(\cdot \right)$的作用，获得${N}_{i}^{l}$元的输出为

本文选取二进制Sigmoid函数$f\left({S}_{i}^{l}\right)=1/(1+{\mathrm{e}}^{-{S}_{i}^{l}})$作为活化函数，输出值的变化范围为$\left(0,1\right)$。

按照上述过程，信息由输入层输入，依次经过各层神经元的处理传递，最终在输出层输出。需注意，第1层对输入信号不进行活化作用，只进行数据分配，向前算法从l = 2开始，至l = N为止，得到输出。在DNN中，共存在${\displaystyle \sum _{l=2}^{N}{m}_{l}}$个未知阈值，${\displaystyle \sum _{l=2}^{N}{m}_{l}}\cdot {m}_{l-1}$个未知连接权重。神经网络的基本思想是，通过大量数据的训练，优化确定神经网络内部未知参数（连接权重和阈值），对于相同的输入信息，神经网络的输出与实际系统的输出误差最小。

3.2.2   应用神经网络建立水动力修正统一模型

应用神经网络学习静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力的特性，将$\left(\lambda ,a,\bar {\chi },\mathrm{\delta },u,v,r\right)$作为神经网络的输入，$\left(\Delta X,\Delta Y,\Delta N\right)$作为神经网络的输出，建立静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力的神经网络黑箱模型，如图4所示。

图  4  水动力修正项的神经网络黑箱模型

Figure  4.  DNN black-box model of hydrodynamic correction terms

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将静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力数据划分为训练集、验证集和测试集3类。首先，基于训练集数据训练神经网络模型，以各输出通道误差的加权平方和作为模型化的性能指标，采用反向回传（BP）算法^[28]确定神经网络参数。然后，应用验证集数据防止训练过程出现过拟合现象。最后，由测试集数据测试神经网络模型的精度。

采用DNN建立水动力修正统一模型的流程图如图5所示，图中E₁，E₂分别表示在训练集和验证集中神经网络各输出通道误差的加权平方和。当E₁和E₂同时减小时，继续循环训练神经网络；当E₁减小E₂增大时，表示发生了过拟合现象；或者当E₁和E₂趋于稳定时，表示采用DNN建立水动力修正统一模型的精度不再提高，训练结束。

图  5  采用深度神经网络建立水动力修正统一模型流程图

Figure  5.  Flow chart of the establishment of hydrodynamic unified correction model based on DNN

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综上，已成功建立水动力修正统一模型，将其代入式（5），应用四阶龙格−库塔法即可求解微分方程组，实现灰箱建模预报船舶操纵运动。

4.   船舶操纵运动预报误差评估

本文选用平均角度测量值（AAM）法^[29]评估船舶操纵运动预报误差。AAM是为了量化（使用单个数字）预报时间序列相对于实际测量时间序列的精度而提出，定义如下：

其中：

式中，s和r分别为操纵运动测量值与预报值。如果预报是完美的，则点$\left(s,r\right)$将落在从原点延伸的45°线上，其与原点的距离取决于试验值s 以及预报值r。如果$r\ne s$, 该点将落在45°线的一侧或另一侧。如果一条线从原点延伸，穿过该点，可以考虑从45°线测得的这条新线与45°线之间的夹角，该角度即为预报误差的度量。将此误差度量扩展到一组点的集合上，计算集合的平均角度，并根据每个点到原点的距离对平均过程进行加权。随后，对统计数据进行归一化，得到一个介于−1与1之间的值，其中1对应于完美的幅度和相位相关性，−1表示完美的幅度相关性，0表示没有幅度或相位相关性。

AAM法可以用于评估纵向速度、横向速度和艏摇角速度的预报精度。为了从整体的角度综合评估操纵运动预报误差，将纵向速度、横向速度和艏摇角速度的AAM加和，记为Q。如果预报值与测量值完全相同，则Q = 3，那么，相对精度R为

5.   结果与分析

为了验证本文用灰箱建模方法预报规则波中船舶操纵运动的正确性，选取ONRT标模作为研究对象，其缩尺比为1∶36，主尺度如表1所示。

表  1  ONRT主尺度

Table  1.  Principal particulars of ONRT

名称	实船	模型
垂线间长/m	154.000	4.278
船宽/m	18.800	0.522
吃水/m	5.494	0.153
排水体积/m3	8 507.000	0.178

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参考文献[30-31]，获得部分水动力系数，为运用数学模型和灰箱模型预报操纵运动提供支撑。同时，开展规则波迎浪条件下的回转试验，如图6所示。

图  6  ONRT自航模试验

Figure  6.  ONRT in the free-running model test

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自航模试验工况如表2所示，其中，L为模型船长。

表  2  ONRT自航模试验工况

Table  2.  Cases of ONRT in the free-running model test

工况号	工况名称
1	Turning-15 kn-(20º)-0.5L
2	Turning-15 kn-(25º)-0.5L
3	Turning-15 kn-(30º)-0.5L
4	Turning-15 kn-(35º)-0.5L
5	Turning-15 kn-(−20º)-0.5L
6	Turning-15 kn-(−25º)-0.5L
7	Turning-15 kn-(−30º)-0.5L
8	Turning-15 kn-(−35º)-0.5L
9	Turning-22.5 kn-(20º)-0.5L
10	Turning-22.5 kn-(25º)-0.5L
11	Turning-22.5 kn-(30º)-0.5L
12	Turning-22.5 kn-(35º)-0.5L
13	Turning-22.5 kn-(−20º)-0.5L
14	Turning-22.5 kn-(−25º)-0.5L
15	Turning-22.5 kn-(−30º)-0.5L
16	Turning-22.5 kn-(−35º)-0.5L
17	Turning-15 kn-(20º)-1.0L
18	Turning-15 kn-(25º)-1.0L
19	Turning-15 kn-(30º)-1.0L
20	Turning-15 kn-(35º)-1.0L
21	Turning-15 kn-(−20º)-1.0L
22	Turning-15 kn-(−25º)-1.0L
23	Turning-15 kn-(−30º)-1.0L
24	Turning-15 kn-(−35º)-1.0L
25	Turning-22.5 kn-(20º)-1.0L
26	Turning-22.5 kn-(25º)-1.0L
27	Turning-22.5 kn-(30º)-1.0L
28	Turning-22.5 kn-(35º)-1.0L
29	Turning-22.5 kn-(−20º)-1.0L
30	Turning-22.5 kn-(−25º)-1.0L
31	Turning-22.5 kn-(−30º)-1.0L
32	Turning-22.5 kn-(−35º)-1.0L

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表2中工况名称的命名规则为A-B-C-D。其中：A指操纵运动类型，turning表示回转运动；B指试验对应的实船航速；C表示模型回转运动的稳定舵角；D指规则波波长。以工况8“Turning-15 kn-(−35º)-0.5L”为例，其表示在波长为0.5倍模型船长的规则波中自航−35°舵角回转试验，航速对应15 kn实船航速。应用3.1节傅里叶变换方法提取低频操纵运动数据，结果如图7所示。从中可以看到，由于波浪的作用，船舶在回转过程中回转圈会发生漂移；由低频操纵运动数据反算得到的回转轨迹与试验数据轨迹吻合良好，表明数据处理方法有效。

图  7  工况8的数据处理结果

Figure  7.  The processing results of data of Case 8

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应用DNN学习静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力。目前，在深度学习理论研究中，神经网络层数和各层神经元个数的设置并没有严格的规定，依据万能逼近定理，只要神经网络层数和各层神经元个数设置合理或是足够多，即可逼近任何函数。本文参考前期的船舶静水中操纵运动灰箱建模工作^[24]并考虑学习效率，设置神经网络结构4层，输入层7个神经元，2个隐藏层各18个神经元，输出层3个神经元。表2中所有工况共包括21 502组数据，选取工况6作为验证集（包含761组数据），工况15和工况19作为测试集（包含1 271组数据），其余工况作为训练集（包含19 470组数据）。基于训练集和验证集，采用BP算法训练DNN，循环训练15 000次，训练结果基本稳定，训练用时约101 min。图8和图9所示分别为针对训练集和测试集，应用已经训练好的DNN的预报结果与试验数据对比。

图  8  训练集结果对比

Figure  8.  Comparisons of results for the training set

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图  9  测试集结果对比

Figure  9.  Comparisons of results for the test set

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由图8和图9可以看出，DNN基本成功学习了静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力的特性，在测试集数据上表现出良好的泛化性。对于预报结果与试验数据之间的误差，是DNN满足与训练集和验证集中所有数据误差最小的寻优结果。将建立的水动力修正统一模型代入式（5），即可实现用灰箱模型预报规则波中的船舶操纵运动。

针对表2中的所有工况，分别应用数学模型和灰箱模型开展仿真研究。

操纵运动预报的效率与计算机硬件条件、编程语言和算法等因素相关。本文在常规办公电脑（i7，8核处理器，16 GB内存）上应用python语言编程处理。设置仿真的单位时间步长为0.2 s，数学模型与灰箱模型的仿真单位时间步长耗时相近，平均约2～3 ms。分析本文数学模型与灰箱模型间的主要区别。数学模型是采用经验公式表达二阶定常波浪漂移力，灰箱模型是应用DNN建立水动力修正统一模型，在仿真过程中，这2种模型仅涉及常规的算术运算，所以均具有较高的效率，满足实时预报需求。

将仿真结果与试验结果进行对比，并使用第4节中的AAM方法评估其精度，结果如表3所示。

表  3  预报精度统计对比

Table  3.  Statistics and comparisons of the prediction accuracy

工况号	数学模型			灰箱模型		灰箱模型的R与 数学模型的R之差/%
	Q	R/%		Q	R/%
1	2.835	94.484		2.652	88.411	−6.073
2	2.811	93.714		2.759	91.967	−1.747
3	2.788	92.939		2.761	92.033	−0.905
4	2.683	89.433		2.931	97.710	8.277
5	2.807	93.569		2.770	92.326	−1.243
6	2.794	93.130		2.782	92.741	−0.388
7	2.719	90.629		2.853	95.109	4.480
8	2.621	87.364		2.869	95.634	8.270
9	2.732	91.083		2.932	97.727	6.644
10	2.694	89.803		2.875	95.836	6.033
11	2.619	87.291		2.832	94.400	7.109
12	2.541	84.707		2.821	94.025	9.318
13	2.866	95.544		2.884	96.127	0.583
14	2.755	91.833		2.931	97.693	5.860
15	2.670	89.002		2.908	96.922	7.921
16	2.527	84.250		2.943	98.109	13.859
17	2.741	91.382		2.846	94.881	3.498
18	2.719	90.622		2.780	92.656	2.034
19	2.713	90.419		2.909	96.981	6.562
20	2.660	88.654		2.854	95.133	6.479
21	2.811	93.714		2.716	90.531	−3.183
22	2.768	92.255		2.897	96.576	4.321
23	2.663	88.781		2.922	97.400	8.619
24	2.614	87.144		2.872	95.745	8.601
25	2.755	91.841		2.859	95.296	3.455
26	2.754	91.817		2.825	94.172	2.356
27	2.694	89.795		2.827	94.221	4.425
28	2.628	87.589		2.871	95.714	8.125
29	2.706	90.197		2.839	94.625	4.428
30	2.759	91.979		2.827	94.240	2.262
31	2.622	87.391		2.921	97.367	9.976
32	2.643	88.115		2.765	92.156	4.041
均值	2.710	90.330		2.845	94.830	4.500

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为了更加清晰、直观地反映预报结果的对比情况，以灰箱模型预报精度最低工况1和精度最高工况16为代表，给出预报结果的对比分别如图10和图11所示。

图  10  工况1的预报结果

Figure  10.  Prediction results of Case 1

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图  11  工况16预报结果

Figure  11.  Prediction results of Case 16

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由表3可以看到，采用灰箱模型预报测试集工况，其精度相对于训练集工况没有明显的降低，甚至是高于部分训练集工况。分析其原因，主要是在应用灰箱模型预报操纵运动时，即使针对训练集中的工况，每一个时刻所预报的速度分量与建立水动力修正统一模型时所学习的试验测量数据均不同，在仿真过程中，所有工况相对于水动力修正统一模型来讲都是测试集；其次，灰箱模型预报的相对精度均值为94.83%，与数学模型相比平均提高了4.5%，表明了本文灰箱建模方法的有效性。但是，同时仍存在部分工况的预报精度与数学模型相比有所降低的情况，其主要原因在于水动力修正统一模型目前并不完美，部分静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力预报偏差影响了后续仿真结果。进一步分析导致统一模型存在误差的原因，一方面是供学习的操纵运动数据量不足，在所有32组工况中，仅包含波长船长比为0.5和1.0这2种规则波，还不足以充分反映二阶定常波浪漂移力的特性，造成深度神经网络对二阶定常波浪漂移力特性的学习存在误差；另一方面是DNN对于具有不确定性特征数据的拟合能力不足。在将操纵运动数据从整体运动数据中分离提取的过程中，操纵运动会与耐波运动耦合，其并没有明确的高低频率边界，操纵运动数据对应低频区间并不是确定的，其在某一频带附近均是合理的，3.1节也仅分析了主要低频区间，自身数据的不确定特性是其固有属性。DNN将给定数据按照确定性方法学习，对数据不确定性的包容度较弱，导致在部分已经参与学习数据的附近区域，预报误差仍然较大。总体来讲，本文灰箱模型方法是有效的。

6.   结　语

本文开展了规则波中船舶操纵运动预报灰箱建模研究，基于DNN建立了静水水动力修正及二阶定常波浪漂移力模型，并结合波浪中船舶操纵运动方程，形成了融合机理与数据的规则波中船舶操纵运动预报灰箱模型。针对不同的回转运动工况开展了仿真研究，仿真单位时间步长耗时平均约2～3 ms，灰箱模型预报的相对精度均值为94.83%，与数学模型相比平均提高了4.5%。本文灰箱模型可以作为规则波中船舶操纵运动预报的有效方法，满足船舶操纵运动实时准确预报的需求，为实际海洋环境中船舶运动实时在线预报奠定了基础。

同时，分析也表明数据与智能算法是影响操纵运动预报精度的两个重要因素，未来可以从增加数据量和提高算法对数据不确定性的包容度两方面继续开展深入研究，提高灰箱模型预报精度。