Hydrodynamic coefficients identification of ship simplified modular model based on support vector regression
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摘要:目的
为解决船舶分离型（MMG）模型水动力系数辨识存在的共线性和参数漂移问题，提出一种基于支持向量回归（SVR）的三自由度简化分离型模型建模方法。
方法首先，在样本数据的基础上提出一种数据预处理策略，以提升样本的有效性；然后，通过Lasso回归算法筛选对模型影响较显著的水动力系数，以减小多重共线性的程度；接着，针对分离型模型推导水动力系数辨识的回归模型，通过SVR进行水动力系数辨识；最后，采用差分法和数据中心化重构回归模型，以削弱参数漂移对水动力辨识误差的影响。
结果试验结果显示，水动力系数预报值与数值模拟结果吻合较好，均方根误差（RMSE）和相关系数（CC）的计算结果均在良好范围内。
结论通过SVR算法可以成功辨识出分离型模型的水动力导数，辨识得到的水动力系数精度较高，并且所建立的模型具有较好的预报能力和鲁棒性。
Abstract:ObjectivesTo address the issue of multicollinearity and parameter drift in the identification of hydrodynamic coefficients in ship separated-type models, this paper proposes a method for modeling simplified three-degree-of-freedom modular models based on support vector regression (SVR).
MethodsInitially, a processing strategy is introduced to enhance the effectiveness of the sample data. Further, Lasso regression is introduced to select the most influential hydrodynamic coefficients and alleviate multicollinearity. Subsequently, a regression model for the identification of hydrodynamic derivatives is derived for the MMG model. A data centralization and differencing method is then employed to reconstruct the regression model, mitigating the impact of parameter drift on hydrodynamic derivative identification errors.
ResultsSimulation experiments demonstrate good agreement between the hydrodynamic coefficient forecast values and numerical simulation results. The calculated values of root mean square error (RMSE) and correlation coefficient (CC) fall within a favorable range.
ConclusionsThe SVR algorithm successfully identifies the hydrodynamic derivatives of the modular model, the identified hydrodynamic coefficients exhibit high accuracy, and the established model demonstrates good predictive capability and robustness.
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0. 引 言
船舶操纵性是船舶重要的水动力性能之一，船舶操纵运动数学模型中的水动力系数是其中非常重要的一个环节，常见的方法主要有经验公式、基于计算流体动力学（CFD）的数值模拟以及模型试验结合回归分析的方法。此外，系统辨识的方法也逐步应用于该领域的研究，传统的辨识方法主要有最小二乘法[1]、扩展的 卡尔曼滤波法[2]和极大似然估计[3]等。随着人工智能的发展，人工神经网络因其非线性拟合性能在船舶与海洋工程领域得到广泛应用。Haddara和Wang[4]应用人工神经网络对船舶操纵运动进行了参数辨识建模研究；范佘明等[5]和Zhang等[6]分别应用BP神经网络和Chebyshev神经网络对船舶操纵运动进行了辨识建模预报；Ueno等[7]应用遗传算法辨识了渔船非线性横摇运动方程的阻尼系数和回复力矩系数，并将辨识结果与传统能量法的结果进行了比较。但是，采用神经网络方法需要的样本量较大，需采集较多的输入与输出数据进行训练方可获得准确的辨识结果；而应用小尺度样本进行训练学习又容易出现过拟合现象，从而降低辨识模型的准确性和泛化性。
支持向量机（SVM）是基于结构风险最小化原则的机器学习算法，适用于处理非线性、小样本、高维度及局部极值问题，已在船舶参数辨识研究中取得积极的效果。Luo和Zou[8]基于最小二乘支持向量机（least squares support vector machine，LSSVM）的方法辨识了船舶整体型模型的水动力系数，并采用粒子群优化（PSO）算法[9]和人工蜂群（ABC）算法[10]寻找了最优参数；王雪刚[11]基于LS-SVM的方法对四自由度船舶操纵运动分别进行了黑箱建模、灰箱建模和白箱建模并进行了对比评价，随后，又通过ε-SVR对三自由度整体型操纵模型进行了参数辨识[12]，结果显示参数辨识结果与真实值仍存在差距，即存在参数漂移现象。为减小参数漂移现象，Hwang[13]提出了分批辨识、并行处理、放大−缩小估计及参数估计等方法，但只针对非线性水动力系数； Rhee等[14]采取通过修改输入来减缓参数漂移现象；Luo和Li[15]通过对输入引入附加激励来减小多重共线性程度；罗伟林[16]采取在船舶整体型模型参数辨识中使用附加激励法来重建样本，以减缓参数漂移现象。
SVM多被用于整体型模型的参数辨识问题，以对船舶操纵性能进行评估；分离型（MMG）模型由于是将船体的受力分离处理，可用于船舶的航速航向控制，但目前采用MMG模型进行参数辨识的情况较少。本文拟基于SVM模型开展船舶MMG模型的水动力参数辨识研究，然后结合数据清洗、Lasso回归算法、差分法及数据中心化有效削弱参数漂移问题，最后，进行对比以验证所提方法的准确性。
1. 三自由度船舶操纵运动模型
1.1 船舶分离型数学模型
为准确描述船舶的运动，采用了2个右手直角坐标系：地球固定坐标系${o_0} - {x_0}{y_0}{{\textit{z}}_0}$和随船运动坐标系$o - xy{\textit{z}}$，如图1所示。
在进行船舶操纵控制研究时，通过简化自由度可以减少控制系统的复杂性，提高控制效率，因此通常只关注纵荡、横荡和艏摇这3个对船舶位置影响较大的自由度。分析喷水推进无人艇的运动特性，建立喷水推进艇水面三自由度运动的动力学模型，如图1所示。图中：u，v，r分别为前进速度、横移速度和转艏角速度；$\psi $为艏向角；V为对地运动速度；${V_x}$和${V_y}$分别为V在船坐标x轴和y轴的分量；U为无人艇在水平面对水流的速度；${U_{\text{c}}}$为均匀流的流速；${\psi _{\text{c}}}$为均匀流的方向；δ为喷口角度。
取船舶重心为原点，建立随船运动坐标系下的船舶三自由度运动方程，并假设船舶左右对称，建立船舶水平面三自由度MMG运动模型[17]如下：
$$ \left\{ \begin{aligned} & {\dot x = u{\mathrm{cos}}\varphi - v{\mathrm{sin}}\varphi } \\& {\dot y = u{\mathrm{sin}}\varphi + v{\mathrm{cos}}\varphi } \\& {\dot \varphi = r} \\& {\dot u = \left( {{1/{m + {m_x}}}} \right)\left[ {\left( {m + {m_y}} \right)rv + {X_{\mathrm{H}}} + {X_{\mathrm{P}}}} \right]} \\& {\dot v = \left( {{1 / {m + {m_y}}}} \right)\left[ { - \left( {m + {m_x}} \right)rv + {Y_{\mathrm{H}}} + {Y_{\mathrm{P}}}} \right]} \\& {\dot r = {1 / {{I_{{\mathrm{{\textit{z}}{\textit{z}}}}}} + {J_{{\mathrm{{\textit{z}}{\textit{z}}}}}}}}\left( {{N_{\mathrm{H}}} + {N_{\mathrm{P}}}} \right)} \end{aligned}\right. $$ (1) 式中：$ {X_{\rm{H}}} $，${Y_{\rm{H}}}$，${N_{\rm{H}}}$为作用于船体上的流体动力和力矩；${X_{\rm{P}}}$，${Y_{\rm{P}}}$和${N_{\rm{P}}}$分别为喷水推进器产生的推力和力矩；x，y为船舶在地球固定坐标系下的位置；m为船体质量；${m_x}$，$ {m_y} $分别为纵向和横向附加质量；${I_{{\text{{\textit{z}}{\textit{z}}}}}}$为偏航惯性矩；${J_{{\text{{\textit{z}}{\textit{z}}}}}}$为偏航中的附加惯性矩。
作用于船舶上的流体水动力可表示为[3]
$$ \left\{ \begin{split} &{X_{\mathrm{H}}} = {X_{uu}}{u^2} + {X_{vv}}{v^2} + {X_{rr}}{r^2} \\ &{Y_{\mathrm{H}}} = {Y_v}v + {Y_r}r + {Y_{vv}}v\left| v \right| + {Y_{rr}}r\left| r \right| + {Y_{vr}}\left| v \right|r \\ &{N_{\mathrm{H}}} = {N_v}v + {N_r}r + {N_{rr}}r\left| r \right| + {N_{vrr}}v{r^2} + {N_{vvr}}{v^2}r \\ \end{split} \right. $$ (2) 式中：$ {X_{uu}} $，$ {X_{vv}} $，$ {X_{rr}} $为纵向水动力系数；$ {Y_v} $，$ {Y_r} $，$ {Y_{vv}} $，$ {Y_{vr}} $，$ {Y_{rr}} $为横向水动力系数；$ {N_v} $，$ {N_r} $， $ {N_{rr}} $，$ {N_{vrr}} $，$ {N_{vvr}} $为转艏水动力系数。
本文所采用喷水推进器包括进水管、喷水泵、传动轴系、控制单元、转向和倒车装置，依靠喷水产生反作用力推进船舶，并通过转向喷口实现舵向控制。参考曾薄文[17]提出的喷水推进艇的水面三自由度运动的动力学模型，该模型分析了因推进器喷口转动造成的无人艇速度的损失，考虑了推进器内部损失、船−泵之间的相互作用，以及诸如船体边界层、推进器进流横截面面积、推进器进口的形状、喷口形状、管道转角的度数、弯管曲率半径大小、前后管段的面积比例和弯管截面形状等因素对船体与喷水推进器之间相互作用的影响。
无人艇产生的横向推力、纵向推力和回转力矩简化处理的计算公式可表示为[17]
$$ \left\{ \begin{aligned} & {{X_{\mathrm{p}}} = \rho {A_{\mathrm{j}}}{v_{\mathrm{j}}}\left( {{v_{\mathrm{j}}} - \alpha u} \right){\text{cos}}\delta } \\ & {{Y_{\mathrm{p}}} = \rho {A_{\mathrm{j}}}{v_{\mathrm{j}}}\left( {{v_{\mathrm{j}}} - \alpha v} \right){\text{sin}}\delta } \\& {{N_{\mathrm{p}}} = {Y_{\mathrm{p}}}{x_{\mathrm{T}}}} \end{aligned} \right. $$ (3) 式中：$\rho $为水的密度；$\alpha $为动量利用因子；${x_{\text{T}}}$为推力作用点在艇体坐标系下的坐标；$ {v_{\text{j}}} $为喷口速度；$ {A_{\text{j}}} $为喷嘴面积。
1.2 样本处理
根据式（1），连续进行10°/10°，15°/15°，20°/20°，25°/25°和30°/30°的Z形试验数值模拟，每进行5次操舵后就变换最大舵角，并以初始速度0.8 m/s获取后续开展白箱辨识的数据样本。该试验为连续运动且包含大量数据点，间隔较短运动过程中的运动参数变化很小，样本在3个自由度的状态差别也较小，因而可通过间隔提取精简数据集。本文将采样间隔设定为0.1 s，采样时间为2 100 s，初始样本个数为21 000。
由于样本数据可能存在误差，不利于后续构建训练模型，为提高模型准确性，对样本数据进行预处理，其过程分为3个步骤：数据清洗、数据变换和数据划分。
在Z形试验的数值模拟中，由于喷角、横向速度、横向加速度及航向角等状态会在零值附近进行过渡，因此有可能导致相关特征值非常接近于0或是趋近于无穷大。在数据处理阶段，在涉及到乘法和除法运算的时候，这些小数值和过渡情况可能会产生零值、无穷值、异常值和冗余值。其中，异常值可能会导致模型过于敏感，使模型难以精准反映真实系统的行为；冗余数据会引起模型过度拟合训练数据，导致泛化性不佳。因此，需要进行数据清洗，需在保持数据整体结构不变的前提下标准化数据格式，清除异常数据和冗余数据，并剔除存在缺失值的样本。具体计算如下所示。
假设数据集Z = $({{\textit{z}}_1}, {{\textit{z}}_2}, \cdots , {{\textit{z}}_n})$，标准化数据格式可以表示为
$$ {{\textit{z}}_{i'}} = f({{\textit{z}}_i}) $$ (4) 式中：$i = 1,2, \cdots n$；$ f(·) $为一个函数。可以将数据点${{\textit{z}}_i}$转换为标准化后的值${{\textit{z}}_{i'}}$。
$$ I = {{\left( {X - E(X)} \right)} \mathord{\left/ {\vphantom {{\left( {X - E(X)} \right)} {\sigma (X)}}} \right. } {\sigma (X)}} $$ (5) 式中：I为标准分数，表示某数据相对于该组数据平均值的偏离程度；$ E(X) $为数据集的期望值；$ \sigma (X) $为数据集的标准差。通过对样本数据标准化，可剔除数据集Z中I的绝对值较大的数据，减小各参数之间的变化范围。
剔除冗余数据可防止模型过度学习，具体可表示为
$$ {Z}^{\prime }=\left\{{{\textit{z}}}_{i}|{{\textit{z}}}_{i}\;\;不包含重复信息\right\} $$ (6) 识别存在缺失值的数据，删除包含缺失值的整个样本，具体可表示为
$$ Z' = \left\{ {\left. {{\textit{z}}_i} \right|\forall {{\textit{z}}_i} \ne missing} \right\} $$ (7) 式中：$ Z' $为Z剔除不良数据后的数据集；$ {{\textit{z}}_i} $为保留数据；$ missing $代表缺失值。
为避免过小数据的不良影响，设定一个阈值，剔除绝对值小于该阈值的样本数据，具体可表示为
$$ \left| {{{\textit{z}}_i}} \right| \geqslant \varLambda $$ (8) 式中，$\varLambda $为设定的阈值。
由于数据集中各变量之间量纲和数量级存在差异，因此将水动力系数转换成便于比较的无因次形式，运动变量保持为有因次形式。
接下来划分数据，假设一个数据集D，划分后的训练集样本个数M为
$$ \begin{array}{c}M = r \times N\end{array} $$ (9) 式中：N为样本总数；r为比例系数，$r \in ( {0,1} )$。训练集中的样本用$ D\_train = \{ ( {{x_1}, {y_1}} ), ( {{x_2}, {y_2}} ), \ldots , ( {{x_M}, {y_M}} ) \} $表示，其中${x_i}$为输入，${y_i}$为对应的输出。
测试集样本包含$ N - M $个样本，即$ D\_test{\text{ }} = {\text{ }}\left\{ {\left( {{x_{M + 1}},{\text{ }}{y_{M + 1}}} \right),...,{\text{ }}\left( {{x_N},{\text{ }}{y_N}} \right)} \right\} $。
本文取r = 0.8，按照8:2的比例将清洗后的数据划分为训练集和测试集。其中，训练集用于构建模型和参数辨识，测试集在已训练的模型中进行预测，以得到相应的预测值。通过比较测试集输出的真实值与预测值，评估模型的泛化性。
1.3 模型简化
1.3.1 Lasso回归
Lasso回归是一种稀疏回归方法，该方法引入了一个惩罚函数，通过调节正则化参数控制惩罚力度大小，然后将对预测结果影响较低的变量所对应的系数压缩至0，在避免过拟合问题的前提下实现变量筛选。
对于多元线性回归模型：
$$ Y = {\boldsymbol{X}}\beta + \varepsilon $$ (10) 式中：$Y = {({y_1},{y_2}, \cdots , {y_n})^{\rm{T}}}$，为响应变量；$X =({x_1},{x_2}, \cdots , {x_p})$，为协变量；$\beta = {({\beta _0},{\beta _1}, \cdots , {\beta _p})^{\rm{T}}}$，为回归系数；$\varepsilon = {({\varepsilon _1},{\varepsilon _2}, \cdots , {\varepsilon _n})^{\rm{T}}}$，为随机误差。
对于上述回归模型，对应的Lasso回归表达式为
$$ {\beta }_{{\mathrm{OLS}}}={\mathrm{argmin}}\sum _{i=1}^{N}{\left({y}_{i}-{\hat{y}}_{i}\right)}^{2}+\lambda \sum _{j=1}^{p}\left|{\beta }_{j}\right| $$ (11) 式中：p表示特征数量；$ {y_i} $为响应变量的原始值；$ {\hat y_i} $为响应变量的预测值；$ \lambda \displaystyle\sum _{j=1}^{p}\left|{\beta }_{j}\right| $为惩罚项，$\lambda > 0$是正则化参数，$\lambda $越大，表示对$\beta $的惩罚力度越大，导致越来越多的参数被缩小为0，从而减小参数漂移的风险，其中$\beta $为模型参数。
对上述训练集数据使用Lasso回归算法，响应变量为船舶受到水动力$ {X_{\rm{H}}},{Y_{\rm{H}}},{N_{\rm{H}}} $，协变量为运动参数：
$$\begin{gathered} {X_1} = \left[ {{u^2}\left( k \right),{v^2}\left( k \right),{r^2}\left( k \right)} \right]\\ {X_2} = \left[ {v\left( k \right),r\left( k \right),v\left( k \right)\left| {v\left( k \right)} \right|,} \right.\left. {\left| {v\left( k \right)} \right|r\left( k \right),r\left( k \right)\left| {r\left( k \right)} \right|} \right] \\ {X_3} = \left[ {v\left( k \right),r\left( k \right),r\left( k \right)\left| {r\left( k \right)} \right|,} \right.\left. {{v^2}\left( k \right)r\left( k \right),v\left( k \right){r^2}\left( k \right)} \right] \end{gathered} $$ 式中，k为采样时刻。
通过交叉验证，评估不同数值的模型性能。首先，采用10折交叉验证将数据集分为10个互斥的子集，每次将一个子集作为测试集，其余作为训练集，重复10次。在每次验证过程中，使用Lasso回归模型对训练集进行拟合，并用测试集评估模型性能。为了选择最优的正则化参数，在模型训练中使用不同的正则化参数值，生成一个如下包含n个正则化参数的数组K，其取值范围为10−6～106。
$$ K = \left[ {{\lambda _1},{\lambda _2},{\lambda _3}, \cdots ,{\lambda _n}} \right] $$ (12) 根据交叉验证的结果，从数组中选出性能最优的正则化参数，并基于Lasso回归的结果，筛选出对模型输出影响较显著的水动力系数用于构建水动力模型，用以降低该模型的多重共线性。最后，使用测试集验证简化后的水动力模型的预报性能。简化后的水动力计算公式为
$$ \left\{ \begin{split} &{X_{\rm{H}}} = {X_{uu}}{u^2} + {X_{vv}}{v^2} + {X_{rr}}{r^2} \\ &{Y_{\rm{H}}} = {Y_v}v + {Y_r}r + {Y_{vv}}v\left| v \right| + {Y_{rr}}r\left| r \right| + {Y_{vr}}\left| v \right|r \\ &{N_{\rm{H}}} = {N_v}v + {N_r}r + {N_{rr}}r\left| r \right| \end{split}\right. $$ (13) 1.3.2 灵敏度分析验证
灵敏度分析用于评估水动力系数的微小变化对船舶操纵运动状态参数的影响程度。本节将基于徐锋等[18]提出的间接法计算每个水动力系数的灵敏度值。各水动力系数对纵向速度、横向速度、转艏角速度的灵敏度和总体灵敏度如图2所示[19]。
从图2中可以看出，${X_{uu}}$，${X_{rr}}$，${Y_{vv}}$，${Y_{rr}}$，${Y_v}$，${Y_r}$，${Y_{rr}}$，${N_v}$，${N_r}$，${N_{rr}}$的灵敏度值较大，而${X_{vv}}$，${N_{vvr}}$，${N_{vrr}}$的影响则较小。结果表明，筛选的重要参数均为灵敏度值较高的水动力系数，而对模型影响较小的系数，也即灵敏度值较低的水动力系数则被剔除，验证了Lasso回归对水动力模型简化结果的准确性，确保了模型的精确性与可靠性。
1.4 构造辨识模型
采用欧拉差分格式将三自由度分离型数学模型中的速度u，v和角速度r进行离散化[20]，获得三自由度分离型数学模型的辨识方程为
$$ \begin{split} &{{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}} \cdot {{\boldsymbol{X}}_{\mathrm{w}}} = \left( {m' + m_x'} \right)L\frac{{u\left( {k + 1} \right) - u\left( k \right)}}{h} - \\ &\left( {m' + m_y'} \right)v\left( k \right)r\left( k \right)L - {X_{\mathrm{p}}}\left( k \right)/\left( {0.5\rho Ld} \right) \\ &{{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}} \cdot {{\boldsymbol{Y}}_{\mathrm{w}}} = \left( {m' + m_y'} \right)L\frac{{v\left( {k + 1} \right) - v\left( k \right)}}{h} - \\ &\left( {m' + m_x'} \right)u\left( k \right)r\left( k \right)L - {Y_{\mathrm{p}}}\left( k \right)/\left( {0.5\rho Ld} \right) \\ &{{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}} \cdot {{\boldsymbol{N}}_{\mathrm{w}}} = \left( {I_{{\textit{z}}{\textit{z}}}' + J_{{\textit{z}}{\textit{z}}}'} \right){L^3}\frac{{r\left( {k + 1} \right) - r\left( k \right)}}{h} - \\ &\qquad\qquad{Y_{\mathrm{p}}}\left( k \right){x_{\rm{T}}}/\left( {0.5\rho {L^2}d} \right) \end{split} $$ (14) 式中：d为平均吃水；h为k时刻与$k + 1$时刻的时间间隔；水动力系数向量$ ({\boldsymbol{X}}_{\rm{w}}{,}_{ }{\boldsymbol{Y}}_{\rm{w}},{\boldsymbol{N}}_{\rm{w}}) $和运动状态变量向量$\left( {{{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}}} \right)$分别为
$$ {{\boldsymbol{X}}_{\rm{w}}} = {\left[ {{{X'}_{uu}},{{X'}_{vv}},{{X'}_{rr}}} \right]^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{Y}}_{\rm{w}}} = {\left[ {{{Y'}_v},{{Y'}_r},{{Y'}_{vv}},{{Y'}_{vr}},{{Y'}_{rr}}} \right]^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{N}}_{\rm{w}}} = {\left[ {{{N'}_v},{{N'}_r},{{N'}_{rr}}} \right]^{\text{T}}} $$ $$ {{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}} = \left[ {{u^2}\left( k \right),{v^2}\left( k \right),{r^2}\left( k \right){L^2}} \right] $$ $$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}} = \left[ {v\left( k \right)U\left( k \right),r\left( k \right)U\left( k \right)L,v\left( k \right)\left| {v\left( k \right)} \right|,} \right. \\ \left. {\left| {v\left( k \right)} \right|r\left( k \right)L,r\left( k \right)\left| {r\left( k \right)} \right|{L^2}} \right] \\ \end{gathered} $$ $$ {{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}} = \left[ {v\left( k \right)U\left( k \right),r\left( k \right)U\left( k \right)L,r\left( k \right)\left| {r\left( k \right)} \right|{L^2}} \right] $$ 根据辨识方程，样本的输入、输出向量如下：
$$ {\rm{Input}}：\left[ {{{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}}} \right] $$ $$ {\mathrm{Output}}： \left[ \begin{gathered} \left( {m' + m_x'} \right)L\frac{{u\left( {k + 1} \right) - u\left( k \right)}}{h} -\\ \left( {m' + m_y'} \right)v\left( k \right)r\left( k \right)L - {X_{\mathrm{p}}}\left( k \right)/\left( {0.5\rho Ld} \right), \\ \left( {m' + m_y'} \right)L\frac{{v\left( {k + 1} \right) - v\left( k \right)}}{h} -\\ \left( {m' + m_x'} \right)u\left( k \right)r\left( k \right)L - {Y_{\mathrm{p}}}\left( k \right)/\left( {0.5\rho Ld} \right), \\ \left( {I_{{\textit{z}}{\textit{z}}}' + J_{{\textit{z}}{\textit{z}}}'} \right){L^3}\frac{{r\left( {k + 1} \right) - r\left( k \right)}}{h} - \\ {Y_{\mathrm{p}}}( k ){x_{\mathrm{T}}}/\left( {0.5\rho {L^2}d} \right) \end{gathered} \right] $$ 为减缓参数漂移现象，本文采用差分法和数据中心化改进回归模型。
对某个线性回归模型，采用差分法的数学描述如下[16]：
$$ y\left( k \right) = {a_1}{x_1}\left( k \right) + {a_2}{x_2}\left( k \right) + \cdots + {a_n}{x_n}\left( k \right) $$ (15) 式中：$ y(k) $为输出；$ {x_1}(k),{x_2}(k), \cdots ,{x_n}(k) $为输入；${a_1}, {a_2}, \cdots ,{a_n}$为输入对应的系数，则在$ k - 1 $时刻，满足
$$ \begin{split} & y\left( {k - 1} \right) = {a_1}{x_1}\left( {k - 1} \right) + {a_2}{x_2}\left( {k - 1} \right) + \cdots + \\ &\qquad\qquad\qquad {a_n}{x_n}\left( {k - 1} \right) \end{split} $$ (16) 式（16）减去式（17）乘以常数$\rho $，可得
$$ \begin{split} &y\left( k \right) - \rho y\left( {k - 1} \right) = {a_1}\left[ {{x_1}\left( k \right) - \rho {x_1}\left( {k - 1} \right)} \right] + \\ &\qquad\quad{a_2}\left[ {{x_2}\left( k \right) - \rho {x_2}\left( {k - 1} \right)} \right] + \cdots + \\ &\qquad\quad\quad{a_n}\left[ {{x_n}\left( k \right) - \rho {x_n}\left( {k - 1} \right)} \right] \end{split} $$ (17) 通过上式重新定义$y\left( k \right) - y\left( {k - 1} \right)$为输出，$x\left( k \right) - \rho x\left( {k - 1} \right)$为输入，当$\rho = 1$时即为差分格式。应用差分法重新定义该回归模型的输入和输出，保持水动力系数向量$ ({\boldsymbol{X}}_{\rm{w}}{,}_{ }{\boldsymbol{Y}}_{\rm{w}},{\boldsymbol{N}}_{\rm{w}}) $不变，修正运动状态变量向量$\left( {{{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}},{{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}}} \right)$。
数据中心化是指某变量的所有样本数据都减去该组数据的均值，即
$$ \begin{split} & \;\;\;{x}_{i}^{\prime \prime }={x}_{i}-\mu \\& i=1,2,3,\dots ,n \end{split} $$ (18) 式中：$ {x_i}^{\prime \prime } $为中心化后的数据；${x_i}$为原始数据；$\mu $为样本数据均值。具体做法是，将差分后模型输入和输出向量中数据减去其向量均值。
通过采用上述差分法和数据中心化，重新定义回归模型的输入和输出为
$$ {\rm{Input}}：{\left[ {{{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}}^{\text{*}},{{\boldsymbol{C}}_{Y{\rm{w}}}}^{\text{*}},{{\boldsymbol{C}}_{N{\rm{w}}}}^{\text{*}}} \right]^{\prime \prime }} $$ $$ \begin{gathered} {{\boldsymbol{C}}_{X{\rm{w}}}}^{\text{*}} = \left[ {{u^2}\left( k \right) - {u^2}\left( {k - 1} \right),\;{v^2}\left( k \right) - {v^2}\left( {k - 1} \right),} \right. \\ \left. {{r^2}\left( k \right){L^2} - {r^2}\left( {k - 1} \right){L^2}} \right] \\ \end{gathered} $$ $$ \begin{gathered} {C_{Y{\rm{w}}}}^{\text{*}} = [ {v( k )U( k ) - v( {k - 1} )U( {k - 1} ),\;r( k )U( k )L} - \\ r( {k - 1} )U( {k - 1} )L,\;v( k )| {v( k )} | - v( {k - 1} ) \\ | {v( {k - 1} )} |,\;| {v( k )} |r( k )L - | {v( {k - 1} )} |r( {k - 1} )L, \\ {r( k )| {r( k )} |{L^2} - r( {k - 1} )| {r( {k - 1} )} |{L^2}} ] \\ \end{gathered} $$ $$ \begin{gathered} {C_{N{\rm{w}}}}^{\text{*}} = [ {v( k )U( k ) - v( {k - 1} )U( {k - 1} ),\;r( k )U( k )L} - \\ r( {k - 1} )U( {k - 1} )L,\;r( k )| {r( k )} |{L^2} - r( {k - 1} ) {| {r( {k - 1} )} |{L^2}} ] \end{gathered} $$ Output：
$$ {\left[ {\begin{gathered} {{{\left( \begin{gathered} {m' + m_x'} L\frac{{u\left( {k + 1} \right) + u\left( {k - 1} \right) - 2u\left( k \right)}}{h} - \\[-2pt] \left( {m' + m_y'} \right)L \left( {v\left( k \right)r\left( k \right) - v\left( {k - 1} \right)r\left( {k - 1} \right)} \right) -\\[-2pt] \left( {{X_{\rm{p}}}\left( k \right) - {X_{\rm{p}}}\left( {k - 1} \right)} \right) /\left({0.5\rho Ld} \right) \\[-2pt] \end{gathered} \right)}^{\text{*}}},} \\[-2pt] {{{\left( \begin{gathered} \left( {m' + m_y'} \right)L\frac{{v\left( {k + 1} \right) + v\left( {k - 1} \right) - 2v\left( k \right)}}{h} - \\[-2pt] \left( {m' + m_x'} \right)L \left( {u\left( k \right)r\left( k \right) - u\left( {k - 1} \right)r\left( {k - 1} \right)} \right) - \\[-2pt] \left( {{Y_{\rm{p}}}\left( k \right) - {Y_{\rm{p}}}\left( {k - 1} \right)} \right) /\left({0.5\rho Ld} \right) \\[-2pt] \end{gathered} \right)}^{\text{*}}},} \\[-2pt] {{{\left( \begin{gathered} \left( {I_{{\textit{z}}{\textit{z}}}' + J_{{\textit{z}}{\textit{z}}}'} \right){L^3}\frac{{r\left( {k + 1} \right) + r\left( {k - 1} \right) - 2r\left( k \right)}}{h} - \\[-2pt] \left( {{Y_{\rm{p}}}\left( k \right) - {Y_{\rm{p}}}\left( {k - 1} \right)} \right)Y{x_T}/\left( {0.5\rho {L^2}d} \right) \\[-2pt] \end{gathered} \right)}^{\text{*}}}} \end{gathered}} \right]^{\prime \prime }} $$ 2. 基于SVR的三自由度水动力模型白箱建模
2.1 SVR
SVR是通过映射训练样本至高维特征空间中，然后再利用回归函数$f\left( x \right) ={\boldsymbol{\omega}} \cdot {\varPhi} \left( x \right) + b$（其中$ {\boldsymbol{\omega}} $为权重向量，b为偏置）拟合。
关于SVR的数学描述如下：假设训练集合为$D = \left\{ {\left( {{x_1},{y_1}} \right),\left( {{x_2},{y_2}} \right), \cdots ,\left( {{x_n},{y_n}} \right)} \right\}$，根据结构风险最小化原则，确定目标函数和约束条件为
$$ \min _{{\boldsymbol{\omega}}, b, \xi, \xi^*}\left\{\frac{1}{2} {\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{T}} {\boldsymbol{\omega}}+C \sum_{i=1}^l\left(\xi_i+\xi_i^*\right)\right\} $$ (19) $$ {\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}} \;\;\left\{ \begin{split} & {{y_i} - \left[ {{{\boldsymbol{\omega}} ^{\mathrm{T}}}\varPhi \left( {{x_i}} \right) + b} \right] \leqslant \zeta + {\xi _i}} \\ & {{{\boldsymbol{\omega}} ^{\rm{T}}}\varPhi \left( {{x_i}} \right) + b - {y_i} \leqslant \zeta + \xi _i^*} \\ &{{\xi _i},\;\xi _i^* \geqslant 0} \end{split} \right. $$ (20) 式中：C为惩罚系数；$\zeta $为不敏感损失因子；${\xi _i}$和$\xi _i^*$为间隔松弛因子，用于保证在给定的约束条件下目标函数解的存在。
由于式（20）是一个凸二次规划问题，因此可以引入拉格朗日函数，得到
$$ \begin{split} & L\left({\boldsymbol{\omega}}, b, \xi, \alpha, \alpha^*, \eta, \eta^*\right)= \frac{1}{2} {\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{T}} {\boldsymbol{\omega}}+C \sum_{i=1}^l\left(\xi_i+\xi_i^*\right)- \\[-3pt] &\qquad\;\;\; \sum_{i=1}^l \alpha_i\left[\varepsilon+\xi_i-y_i+{\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{T}} \varPhi\left(x_i\right)+b\right]- \\[-3pt] & \sum_{i=1}^l \alpha_i^*\left[\varepsilon+\xi_i^*+y_i-{\boldsymbol{\omega}}^{\mathrm{T}} \varPhi\left(x_i\right)-b\right]- \sum_{i=1}^l\left(\eta_i \xi_i+\eta_i^* \xi_i^*\right) \end{split} $$ (21) 式中，$\alpha $，$ {\alpha ^ * } $，$ \eta $，${\eta ^*}$为拉格朗日乘子。分别对${\boldsymbol{\omega}} $，b，${\xi _i}$，$\xi _i^*$求偏导数，当偏导数为0时将其代入式（20），得到其对偶问题为
$$ \begin{split}& \qquad\qquad\quad \underset{\alpha ,{\alpha }^{*},\eta ,{\eta }^{*}}{\rm{max}}L\left({\boldsymbol{\omega}} ,b,\xi ,\alpha ,{\alpha }^{*},\eta ,{\eta }^{*}\right)= \\ &\qquad\qquad \underset{\alpha ,{\alpha }^{*}}{\rm{max}}\Bigg\{-\frac{1}{2}\displaystyle \sum _{i,j=1}^{I}\left({\alpha }_{i}-{\alpha }_{i}^{*}\right)\left({\alpha }_{j}-{\alpha }_{j}^{*}\right)\\ &\left(\varPhi \left({x}_{i}\right)\cdot \varPhi \left({x}_{j}\right)\right)-\varepsilon \displaystyle \sum _{i=1}^{I}\left({\alpha }_{i}+{\alpha }_{i}^{*}\right)+ \displaystyle \sum _{i=1}^{I}\left({\alpha }_{i}-{\alpha }_{i}^{*}\right){y}_{i} \Bigg\} \end{split} $$ (22) $$ \begin{split} &{\text{s}}{\text{.t}}{\text{.}} \;\;\sum\limits_{i = 1}^l {({\alpha _i}} - \alpha _i^*) = 0 \\ &\quad 0 \leqslant {\alpha _i}, \;\alpha _i^* \leqslant C \\ \end{split} $$ (23) 式（23）在求解过程中根据$ {\text{K - K - T}} $定理可得偏置b为
$$ \begin{split} &b=-E+y_i-\sum_{j=1}^l\left(\alpha_i-\alpha_i^*\right)\left(\varPhi\left(x_i\right) \cdot \varPhi\left(x_j\right)\right) \\ &\quad\quad\quad\quad\forall \alpha_i=0,\;\;0＜\alpha_i^*＜C \end{split} $$ (24) 式中：E为预测值与真实值间的差异；将所求得的${\alpha _i}$，$\alpha _i^*$代入式（20），求出权重向量${\boldsymbol{\omega}} $，然后再将${\boldsymbol{\omega}} $，b代入回归函数中，采用线性核函数得到最终的函数模型为
$$ f(\boldsymbol{x})=\sum_{i=1}^m\left(\alpha_i-\alpha_i^*\right) K\left(\boldsymbol{x}_i, \boldsymbol{x}\right)+b $$ (25) 式中 ，xi和x为核函数K输入空间的2个向量。
2.2 参数辨识
通过SVR算法辨识水动力系数时，需对训练样本建立回归模型[21]。SVR的回归公式可以改写为
$$ y=\sum_{i=1}^{n} \beta_{i} x_{i} x+b $$ (26) 当回归预测与目标函数吻合较好，也即偏置b接近于0时，${\beta _i}{x_i}$为水动力系数的辨识结果[22]。
采用SVR算法的白箱建模流程如图3所示。图中，$\phi $为航向角。
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图 3 基于SVR的白箱建模和运动预报过程Figure 3. Process of white-box modeling and motion prediction using SVR3. 仿真验证
本文的研究对象为一艘喷水推进无人艇，其主要参数如表1所示。
表 1 喷水推进艇的参数Table 1. Parameters of waterjet propulsion vessel参数 数值 船长L/m 9.8 船宽B/m 3.17 方形系数Cb 0.251 平均吃水d/m 0.71 质量m/kg 5 540 3.1 参数辨识结果
将由原始、改进模型辨识得到的水动力系数与CFD试验值进行对比，结果如表2所示。
表 2 SVR参数辨识结果Table 2. Identification results of parameters by using SVR水动力系数 CFD试验值 原始模型辨识值 改进模型辨识值 纵向水
动力系数$ X_{uu} $ −0.031 25 −0.030 2 −0.031 4 $ X_{vv} $ 0.046 57 0.069 3 0.047 0 $ X_{rr} $ 0.004 14 0.027 7 0.003 1 横向水
动力系数$ Y_v $ −0.276 70 −0.030 9 −0.253 4 $ Y_r $ 0.088 11 0.092 0 0.086 1 $ Y_{vv} $ −1.007 40 −0.086 0 0.608 3 $ Y_{vr} $ −0.164 37 −0.015 1 −0.033 1 $ Y_{rr} $ −0.070 20 −0.097 3 −0.069 9 转艏水
动力系数$ N_v $ 0.170 80 0.150 6 0.170 1 $ N_r $ −0.052 40 −0.051 1 −0.052 1 $ N_{rr} $ −0.043 50 −0.041 4 −0.043 0 表2所示结果显示，由改进模型辨识得到的水动力系数与由CFD试验得到的水动力系数更为接近，说明差分法和数据中心化在一定程度上能有效解决参数漂移现象。
将上述原始和改进模型辨识值分别代入原操纵模型中进行试验预报，其运动参数的预报值、改进后的预报值及参考值的对比如图4所示。
根据运动参数的预报值、改进后的预报值和参考值，计算得到纵向力、横向力和转艏力矩的对比如图5所示[23]。
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图 5 20°/20° Z形试验力和力矩的预报Figure 5. Prediction of force and moment in 20°/20° zigzag test图4和图5表明，改进后模型的运动参数和力的预报效果有显著提升，与模拟结果吻合较好，说明改进后的水动力模型很有效。但是，仍有部分水动力系数的辨识值与CFD试验值存在误差，本文将从多重共线性方面对误差进行分析。
3.2 多重共线性分析
通过计算辨识方程的相关系数矩阵及其条件数，判断简化后模型的多重共线性程度。相关系数矩阵非对角元素的绝对值越接近于1，表明涉及的2个变量相关性越大[24-25]。计算纵向、横向和转艏方程中水动力系数之间的相关系数，令系数向量分别为$ {{\boldsymbol{X}}_{\rm{w}}} = \left[ {{a_1},{a_2},{a_3}} \right] $，${{\boldsymbol{Y}}_{\rm{w}}} = \left[ {{b_1},{b_2},{b_3},{b_4},{b_5}} \right]$，${{\boldsymbol{N}}_{\rm{w}}} = \left[ {{c_1},{c_2},{c_3}} \right]$，计算结果如图6所示。
矩阵条件数用于判断矩阵是否病态，其与矩阵的奇异值有关。矩阵A的条件数计算公式为
$$ {\text{Con}}{{\text{d}}_{\text{p}}}\left( {\boldsymbol{A}} \right) = \parallel {\boldsymbol{A}}{\parallel _{\text{p}}} \cdot {\boldsymbol{A}}^{ - 1}_{\text{p}} $$ (27) 式中，${\left\| \blacktriangle \right\|_{\mathrm{p}}}$为矩阵A的某种范数，当A为正定矩阵时，其2-范数的条件数公式为
$$ {\text{Cond}}\left( {\boldsymbol{A}} \right) = {{{\lambda _{{\text{max}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\lambda _{{\text{max}}}}} {{\lambda _{{\text{min}}}}}}} \right. } {{\lambda _{{\text{min}}}}}} $$ (28) 式中，${\lambda _{{\text{max}}}}$和${\lambda _{{\text{min}}}}$分别为矩阵A的最大、最小奇异值。设方程${\boldsymbol{A}}x = b$，当矩阵A的最大奇异值较大且最小非零奇异值较小时，条件数较大，表示矩阵病态；反之，条件数较小，表示矩阵相对良好。如果矩阵A病态，A或者方程右端项b有很小的扰动时，会造成解的较大差异。
以上3个相关系数矩阵的条件数如表3所示。
表 3 相关系数矩阵的条件数Table 3. Condition numbers of correlation coeffcient matrix运动方程 条件数 横向 50.189 纵向 7 737.52 转艏 6 352.2 图6表明，部分水动力系数之间仍存在较严重的线性相关性。表3显示，相关系数矩阵的条件数越大，说明相关系数矩阵越接近奇异矩阵，造成该现象的原因是水动力系数之间存在线性相关性。综上所述，改进后的水动力模型仍存在多重共线性，参数漂移现象不可避免，尽管本次辨识结果中对部分水动力系数的预测存在一定的误差，但并不影响该模型的有效性。
3.3 泛化性验证
为检验所建立回归模型的泛化性，进行了35°/35° Z形试验和35°回转试验，其运动参数预报值与参考值的对比如图7所示[26]。
根据运动参数的预报值及参考值计算得到的纵向力、横向力和转艏力矩的对比如图8～图10所示。
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图 8 35°/35° Z形试验中力和力矩的预报Figure 8. Prediction of force and moment in 35°/35° zigzag test此外，均方根误差RMSE和相关系数CC是评价预报精度的重要指标[11]，RMSE越小，CC越接近于1，表示模型的预测效果越好。分别计算上述连续Z形试验、35°/35° Z形试验和35°回转试验的均方根误差与相关系数，并将结果列于表4中。
表 4 试验的预报精度Table 4. Prediction accuracy of experiments连续Z形试验 35°/35° Z形试验 35°回转试验 $RMSE$ u 0.018 9 0.033 5 0.016 4 v 0.009 0 0.085 3 0.015 1 r 0.008 9 0.095 7 0.002 3 $ CC $ u 0.989 0 0.985 3 0.999 7 v 0.994 7 0.994 1 0.998 4 r 0.995 5 0.993 8 0.999 6 综上所述，改进后的模型虽然辨识的部分水动力系数仍有误差，但运动参数预报值、力的预报值与参考值结果吻合较好，且预报精度较高，表明所建立的白箱模型具有良好的预报能力及泛化性。
4. 结 论
本文基于SVR算法，采用白箱辨识建模对三自由度MMG模型进行了研究。首先，通过10°/10°，15°/15°，20°/20°，25°/25°，30°/30°连续Z形试验的数值模拟获得原始训练样本数据，采用Lasso回归算法筛选对模型影响较显著的水动力系数以简化水动力模型，并通过灵敏度分析验证了简化结果的准确性；然后，通过SVR建立回归模型辨识得到水动力系数，为减缓参数漂移现象采用差分法和数据中心化重构了辨识方程并使用改进后的回归模型再次辨识出水动力系数；最后，通过使用改进后的模型，分别进行35°/35° Z形试验和35°回转试验，验证了模型的泛化性。主要得到如下结论：
1） 通过SVR算法，可以成功辨识出MMG模型的水动力导数，由于相对于整体型模型，MMG模型中的船舶航速可拓展至更广的区域，且其模型中包含分离的动力设备力学模型，故可以更广泛地应用于船舶运动预报与控制。
2） 在样本处理方面，充分的数据清洗可以剔除不良数据对参数辨识的影响，提高辨识精度。
3） Lasso回归削减重要性较低的水动力系数，可以减小多重共线性。
4） 采用差分法和数据中心化重构样本可以有效减缓参数漂移现象，提升水动力导数的辨识效果。
5） 辨识结果、灵敏度分析以及泛化性验证表明了所建模型的有效性。
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图 3 基于SVR的白箱建模和运动预报过程
Figure 3. Process of white-box modeling and motion prediction using SVR
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图 5 20°/20° Z形试验力和力矩的预报
Figure 5. Prediction of force and moment in 20°/20° zigzag test
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图 8 35°/35° Z形试验中力和力矩的预报
Figure 8. Prediction of force and moment in 35°/35° zigzag test
表 1 喷水推进艇的参数
Table 1 Parameters of waterjet propulsion vessel
参数 数值 船长L/m 9.8 船宽B/m 3.17 方形系数Cb 0.251 平均吃水d/m 0.71 质量m/kg 5 540 
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表 2 SVR参数辨识结果
Table 2 Identification results of parameters by using SVR
水动力系数 CFD试验值 原始模型辨识值 改进模型辨识值 纵向水
动力系数$ X_{uu} $ −0.031 25 −0.030 2 −0.031 4 $ X_{vv} $ 0.046 57 0.069 3 0.047 0 $ X_{rr} $ 0.004 14 0.027 7 0.003 1 横向水
动力系数$ Y_v $ −0.276 70 −0.030 9 −0.253 4 $ Y_r $ 0.088 11 0.092 0 0.086 1 $ Y_{vv} $ −1.007 40 −0.086 0 0.608 3 $ Y_{vr} $ −0.164 37 −0.015 1 −0.033 1 $ Y_{rr} $ −0.070 20 −0.097 3 −0.069 9 转艏水
动力系数$ N_v $ 0.170 80 0.150 6 0.170 1 $ N_r $ −0.052 40 −0.051 1 −0.052 1 $ N_{rr} $ −0.043 50 −0.041 4 −0.043 0
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表 3 相关系数矩阵的条件数
Table 3 Condition numbers of correlation coeffcient matrix
运动方程 条件数 横向 50.189 纵向 7 737.52 转艏 6 352.2
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表 4 试验的预报精度
Table 4 Prediction accuracy of experiments
连续Z形试验 35°/35° Z形试验 35°回转试验 $RMSE$ u 0.018 9 0.033 5 0.016 4 v 0.009 0 0.085 3 0.015 1 r 0.008 9 0.095 7 0.002 3 $ CC $ u 0.989 0 0.985 3 0.999 7 v 0.994 7 0.994 1 0.998 4 r 0.995 5 0.993 8 0.999 6
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