Research on Smith's method of hull girder ultimate strength based on elastic shakedown limit state
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摘要:目的
为准确评估船体梁的极限强度，考虑循环载荷下船体加筋板的弹性安定特性。
方法基于非线性有限元数值模拟结果，对Rahman梁−柱法中加筋板单元的平均应力−平均应变关系进行修正，并充分考虑弹性安定状态、加筋板类型和失效模式，提出一种适用于弹性安定临界状态下加筋板平均应力−平均应变关系的修正方法，编制基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法程序，并与非线性有限元数值模拟结果进行对比。
结果结果显示，所提方法能够有效评估弹性安定临界状态下船体梁的极限强度，且相比非线性有限元方法更具计算优势。
结论基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法有助于船体梁极限强度准确且高效的评估。
Abstract:ObjectiveTo accurately assess the ultimate strength of a hull girder, this study analyzes the elastic shakedown characteristics of hull stiffeners under cyclic loading.
MethodsBased on the results of nonlinear finite element numerical simulation, the average stress-average strain relationship of the stiffened plate element in Rahman's Beam-Column Method is corrected with full consideration of the elastic shakedown state, type of stiffened plate, and failure mode. A correction method applicable to the average stress-average strain relationship of the stiffened plate in the elastic shakedown limit state is proposed, and a program for Smith’s method for the ultimate strength of hull girders based on the elastic shakedown limit state is compiled and compared with the results of nonlinear finite element numerical simulation.
ResultThe results show that the proposed method can effectively evaluate the ultimate strength of a hull girder in the elastic shakedown limit state with greater efficiency than the nonlinear finite element method.
ConclusionThe application of Smith’s method for the ultimate strength of hull girders based on the elastic shakedown limit state can contribute to the accurate and efficient evaluation of the ultimate strength of hull girders.
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Keywords:
- hull girders /
- ultimate strength /
- Smith's method /
- elastic shakedown /
- cyclic load
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0. 引 言
船体梁的总纵强度是保障船体结构安全最关键的强度指标。目前，船体梁极限强度计算分析中最常用的是逐步破坏法，包括非线性有限元法（NFEM）、简化逐步破坏法（Smith法）和理想结构单元法（ISUM）等。
数值模拟是预测船体梁极限承载能力的有效方法，自Chen等[1]首次应用NFEM以来，已成为分析船舶结构崩溃行为的常用方法。Yang等[2]通过NFEM研究船体梁的极限强度以及弯矩与转角之间的非线性关系，分析了集装箱船弯矩作用下的极限强度。1977年，Smith[3]首次提出简化逐步破坏法，用于评估船体梁的极限强度。
Rahman等[4]基于梁−柱理论给出简化平均应力−平均应变关系，并将其运用到Smith法中。Kaminski等[5]在2000年国际船舶与离岸结构大会上建议优先采用Smith法评估船体梁的极限强度。骆文刚等[6]基于NFEM建立加筋板单元的平均应力−平均应变数据库，开发了内河船舶极限强度计算的逐步破坏法程序。李陈峰等[7]设计了考虑非对称面中和轴偏转的Smith法程序，实现对非对称剖面船体梁极限承载能力的分析。
然而，在实际航行中，船舶承受持续的波浪冲击，外载荷呈现循环特性。上述船体梁极限研究均是基于一次性静力极限强度评估理念，未考虑循环弯矩作用下的响应特性。因此，有必要从循环载荷的角度出发，合理评估船体梁的极限强度，进一步了解其真实的破坏机理。
Zhang等[8]的研究表明，即使船体梁所受循环弯矩小于单调弯矩作用下的极限强度，船体梁也有可能在多次循环后发生断裂。Liu等[9]采用NFEM分析集装箱船在单调和循环弯矩作用下的极限强度，结果显示，与单调增加弯矩相比，船体梁在循环载荷下的极限强度会降低。Deng等[10]通过试验并采用NFEM研究循环弯矩下箱型船体梁的逐步破坏行为，结果显示船体梁在塑性变形的累积下最终会崩溃。喻霁等[11]以Smith法为基础，通过递增塑性法模拟循环加载带来的影响，并采用Fortran语言设计开发了可以得到循环载荷下船体梁承载能力的计算程序。Cui等[12]采用NFEM修正加筋板单元的平均应力−平均应变关系，并基于Smith法研究循环载荷作用下船体梁的剩余极限强度，结果显示，与NFEM预测的结果一致性很好。Li等[13-14]采用类似的方法构建循环载荷下加筋板的平均应力−平均应变关系，并通过Smith法预测了多次极端载荷作用下船体梁的逐步破坏行为。
NFEM作为可准确预测船体梁极限强度的可靠手段，虽然能够提供精确的结果，但其庞大的工作量限制了其在工程实际中的应用。在此方面，Smith法的研究对于提高船体梁极限强度的评估效率具有重要意义。值得一提的是，循环弯矩下船体梁的极限强度研究对于确保船舶安全航行至关重要。然而，目前的相关研究在考虑循环载荷下船体梁的弹性安定特性和焊接残余应力方面并不全面，有必要进一步深入探讨。
精确表征船体加筋板的平均应力−平均应变关系是确保Smith法计算精度的关键。当循环载荷幅值位于弹性安定区间时，船体结构会在最初的若干次循环中发生有限的塑性变形，并在后续的循环中呈弹性响应。加筋板作为船体梁的基本组成构件，当船体梁处于弹性安定状态时，可以近似认为组成船体梁的船体加筋板也处于弹性安定状态。根据两者间的联系，本文拟结合已开展的循环载荷下基于弹性安定临界状态的船体板[15]、船体加筋板[16]极限强度研究的基本思路和方法，通过非线性有限元数值模拟结果，对Rahman梁−柱法[4]中所提的加筋板平均应力−平均应变关系进行修正。分析中，仔细考虑焊接制造过程产生的初始变形与残余应力、循环压缩拉伸载荷下船体加筋板结构单元的弹性安定特性、加筋板的类型及失效模式，通过引入弹性安定临界状态下船体加筋板的平均应力−平均应变关系，编制考虑设计基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法程序。
1. 加筋板单元平均应力−平均应变关系
1.1 Rahman梁−柱法
Rahman等[4]基于梁−柱法将受压加筋板理想化为由单根加强筋和带板组合而成的梁−柱模型，并将其失效模式分为板失效和筋失效两种。同时，还提供一种简单且理论明晰的平均应力−平均应变关系表征方法，通过采用分段函数描述稳定阶段、非卸载阶段和卸载阶段这3个区域，如图1所示。对于受拉加筋板单元和硬角单元，其平均应力−平均应变关系遵循理想弹塑性力学响应。图1中：σxu/σYeq为平均应力；εxu/εYeq平均应变；σult，εult，εpl分别为受压单元的极限应力、极限应变和塑性临界应变，其详细推导过程参见文献[4]。
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图 1 Rahman梁−柱法加筋板平均应力−平均应变关系Figure 1. Average stress-average strain relationship of stiffened plate in Rahman's beam-column method1.2 NFEM
本文中用于开展非线性有限元数值模拟的船体加筋板模型由单根加强筋与带板组成。为扩展研究的适用范围，扩充ISSC 2012[17]标定计算中的船体加筋板模型。选择1.11 ≤ β ≤ 3.49和0.21 ≤ λ ≤ 1.90（λ，β分别为梁柱系数和板柔度系数）范围内共200个T型加筋板与扁钢加筋板作为研究对象。仔细考虑载荷的循环属性及完整焊接初始缺陷（包括焊接初始变形和残余应力），采用考虑各向同性强化和随动强化的Chaboche材料模型。有限元模型如图2所示，更详细的说明参见文献[16]。
1.3 Rahman梁−柱法与NFEM对比
选择4块船体加筋板（Case 1～Case 4），分别采用Rahman梁−柱法与NFEM获得其平均应力−平均应变关系，如图3所示。由图可看出，通过Rahman梁−柱法得到的加筋板平均应力−平均应变关系在稳定阶段的曲线与NFEM在加载阶段的非常吻合，同时，其在卸载阶段的曲线与NFEM在极限强度阶段的趋势也相近。
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图 3 NFEM和Rahman梁−柱法的加筋板平均应力−平均应变关系Figure 3. Average stress-average strain relationship for stiffened plates by NFEM and Rahman's beam-column method需要指出的是，Rahman梁−柱法最初的设计目的是提高分析计算的效率，其对各区域的划分以及平均应力−平均应变关系的处理并不完全符合结构的真实情况。例如，在非卸载阶段，结构应力保持不变，然而在实际结构响应分析中，这种情况并不存在。另外，尽管NFEM能够很好地模拟结构的逐步破坏行为，但需要花费大量时间进行建模分析，计算效率较低，并且不便于采用统一的显式公式表达和应用于Smith法中。
2. 弹性安定修正法
2.1 修正方法
Smith法将船体梁横截面离散为加筋板单元和硬角单元，各单元的平均应力−平均应变关系将直接影响船体梁极限强度计算结果的准确性。本文重新绘制加筋板单元的平均应力−平均应变曲线，通过基本结构单元描述船体梁达到弹性安定临界状态的响应特性。
结合弹性安定临界状态下加筋板非线性有限元数值模拟，对Rahman梁−柱法中加筋板单元的平均应力−平均应变关系进行修正，简称弹性安定修正法（elastic shakedown correction method，ESCM）。修正方法如下：将极限应力、应变分别乘以相应的修正系数，并将卸载区曲线平移至稳定区压缩极限应力点，以消除非卸载阶段。修正后的加筋板平均应力−平均应变关系如图4所示，图中ξ，η分别为极限应力修正系数和极限应变修正系数，控制方程如式（1）～式（6）所示。
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图 4 ESCM计算的加筋板平均应力−平均应变关系Figure 4. Average stress-average strain relationship of stiffened plate calculated by ESCM板失效时加筋板的极限应力、极限应变：
σult=σup×ξp,εult=σup/E×A/Ae×ηp (1) 筋失效时加筋板的极限应力、极限应变：
σult=σuf×ξf,εult=σuf/E×ηf (2) ESCM稳定阶段平均应力−平均应变关系为
σ={E×εx/ηp,ifσult=σup×ξpE×εx/ηf,ifσult=σuf×ξf (3) ESCM卸载阶段平均应力−平均应变关系为
σ={Mp/AewT,ifσult=σup×ξpMp/AwT,ifσult=σuf×ξf (4) 其中：
wT=√(wult+wmax)2+a24[(1−εpl)2−(1−εx−Δ)2] (5) Δ=εpl−εult (6) 以上式中：σup，σuf分别为板失效和筋失效时加筋板的轴向应力；E为材料弹性模量；A，Ae分别为单元的总横截面积和有效横截面积；εx为施加载荷的纵向应变；Mp，wT分别为截面塑性弯矩和中点处的总挠度；ξp，ηp分别为板失效时加筋板的极限应力修正系数和极限应变修正系数；ξf，ηf分别为筋失效时加筋板的极限应力修正系数和极限应变修正系数；wult，wmax分别为非卸载阶段开始时的中点挠度与达到塑性临界应变时刻的最大附加挠度；a为加筋板纵向长度。
2.2 修正公式
本文以λ和β这2个最常用于表征加筋板极限强度的参数作为自变量，以ξ和η作为目标函数建立修正公式，如式（7）和式（8）所示。其中，C1～C6为待定系数，具体见表1和表2。
表 1 极限应变修正系数Table 1. Ultimate strain correction factors类型 失效形式 C1 C2 C3 C4 C5 C6 安定上限 T形 筋失效 2.686 4 −1.826 9 −0.402 1 0.381 1 0.422 6 0.047 6 板失效 3.085 3 −1.717 7 −1.017 5 −0.570 9 2.104 8 0.301 2 扁钢 筋失效 2.479 0 −1.680 6 −0.300 8 0.305 1 0.451 2 0.050 6 板失效 4.681 8 −4.057 7 −1.363 2 −1.046 2 3.988 0 0.434 9 安定下限 T形 筋失效 3.279 5 −3.208 0 −0.093 4 0.293 7 0.968 1 0.014 1 板失效 2.797 0 −0.964 6 −0.411 8 −0.717 7 1.207 1 0.194 1 扁钢 筋失效 2.945 7 −2.481 2 −0.161 6 0.299 8 0.701 4 0.022 8 板失效 4.129 4 −3.088 6 −0.791 3 −0.899 5 2.733 6 0.294 3 表 2 极限应力修正系数Table 2. Ultimate stress correction factor类型 失效形式 C1 C2 C3 C4 C5 C6 安定上限 T形 筋失效 1.277 9 −0.137 7 −0.100 7 0.019 5 0.014 2 0.002 9 板失效 0.986 9 0.323 6 −0.021 8 8.4×10−4 −0.450 8 0.001 4 扁钢 筋失效 1.154 5 −0.059 0 −0.067 9 0.003 6 0.009 8 0.002 9 板失效 0.952 8 0.287 4 −0.023 8 0.019 7 −0.483 0 9.5×10−4 安定下限 T形 筋失效 1.216 8 −0.121 1 −0.104 4 0.019 0 0.015 8 0.003 0 板失效 0.984 1 0.167 5 −0.023 0 −0.001 1 −0.355 7 0.001 5 扁钢 筋失效 1.090 8 −0.026 5 −0.073 6 0.003 7 0.006 1 0.003 0 板失效 0.978 1 0.069 1 −0.027 6 0.021 2 −0.381 1 0.001 2 η=C1+C2λ+C3β+C4λβ+C5λ2+C6β2 (7) ξ=C1+C2λ2+C3β2+C4λ2β2+C5λ4+C6β4 (8) 3. 结 果
3.1 ESCM误差分析
为验证本文所提修正系数ξ与η的准确性，对通过ESCM和NFEM获得的极限应力与极限应变计算结果进行分析，并给出了分析拟合的R2值，如图5和图6所示。
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图 5 T形加筋板极限状态时刻误差分析Figure 5. Error analysis of ultimate limit state for T-stiffened plates图7～图10为部分T形加筋板和扁钢加筋板采用ESCM，基于弹性安定上限和下限修正后的平均应力−平均应变关系，并与NFEM的结果进行对比。结果显示，通过结合NFEM与Rahman梁−柱法，能够合理且有效地描述弹性安定临界状态下船体加筋板的平均应力−平均应变关系。
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图 6 扁钢加筋板极限状态时刻误差分析Figure 6. Error analysis of ultimate limit state for flat-bar stiffened plates![]()
图 7 基于弹性安定上限的T形加筋板平均应力−平均应变关系Figure 7. Average stress-average strain relationship of T-stiffened plates based on upper limit of elastic shakedown![]()
图 8 基于弹性安定下限的T形加筋板平均应力−平均应变关系Figure 8. Average stress-average strain relationship of T-stiffened plates based on lower limit of elastic shakedown![]()
图 9 基于弹性安定上限的扁钢加筋板平均应力−平均应变关系Figure 9. Average stress-average strain relationship of flat-bar stiffened plates based on upper limit of elastic shakedown![]()
图 10 基于弹性安定下限的扁钢加筋板平均应力−平均应变关系Figure 10. Average stress-average strain relationship of flat-bar stiffened plates based on lower limit of elastic shakedown3.2 船体梁极限强度
本文基于组成船体梁的基本构件——船体加筋板在循环载荷下处于弹性安定状态时，船体梁也处于弹性安定状态的假设[8]，通过ESCM对加筋板单元平均应力−平均应变关系进行修正，提出基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法程序，简称为弹性安定Smith法，其流程如图11所示。图中，XF为中止曲率。
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图 11 基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法流程图Figure 11. Flow chart of the Smith's method of hull girder ultimate strength based on elastic shakedown limit state以某苏伊士型双壳油轮船体舱段为例，对弹性安定Smith法进行评估和验证，其截面尺寸及材料参数如图12所示。采用不同的方法分别计算船体梁在中垂和中拱状态下的极限强度，结果如图13和图14所示。图中，Mu为船体梁极限弯矩。
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图 13 中垂状态下苏伊士型双壳油轮船体梁极限强度Figure 13. Ultimate strength of Suezmax class double hull oil tanker hull girder under sagging condition![]()
图 14 中拱状态下苏伊士型双壳油轮船体梁极限强度Figure 14. Ultimate strength of Suezmax class double hull oil tanker hull girder under hogging condition从计算精度的角度来看，由于未将焊接残余应力考虑在内，故采用Cui等[12]提出的未考虑弹性安定的循环Smith法计算结果最大。采用弹性安定Smith法计算得到的苏伊士型双壳油船的极限垂向弯矩与采用NFEM所得结果相比，在中垂状态下基于弹性安定上限与下限的极限弯矩分别降低6.64%和12.11%，而在中拱状态下分别降低2.99%和3.98%。采用NFEM与弹性安定Smith法在评估结果上的差异主要源于评估理念和材料模型的不同。NFEM未考虑外载荷的循环属性，采用理想弹塑性材料模型来分析单调弯矩作用下船体梁的逐步破坏行为；而弹性安定Smith法则通过引入循环载荷下弹性安定临界状态的加筋板平均应力−平均应变关系，考虑了实际船体梁在循环弯矩下的弹性安定特性，并采用了考虑反向加载鲍辛格效应的Chaboche材料本构关系，能更为准确地模拟材料性能。此外，弹性安定Smith法将船体梁横截面划分为独立的单元，忽略了单元之间的相互作用。
从计算效率的角度来看，采用弹性安定Smith法对船体梁极限强度进行评估具有显著的优势。相较于传统的NFEM，弹性安定Smith法的计算效率高，无须复杂的建模和调参过程，只需简单地输入文件即可较大程度地提高分析计算效率。此外，想要直接找到船体梁弹性安定临界状态的上限和下限非常困难，本文基于用局部构件反映整体结构响应的假设[8]，采取用加筋板等基本结构单元的弹性安定上限和下限来代表船体梁的弹性安定区间，省去了使用NFEM寻找船体梁弹性安定临界值的工作。
4. 结 论
本文考虑了循环载荷下船体加筋板的弹性安定特性，采取非线性有限元数值模拟对Rahman梁−柱法中的受压加筋板单元进行了修正，并在合理表征加筋板平均应力−平均应变关系的基础上，设计了基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法程序。主要得到如下结论：
1） 结合循环载荷下船体加筋板非线性有限元数值模拟与Rahman梁−柱法，提出适用于弹性安定临界状态的加筋板单元平均应力−平均应变关系修正方法，对比结果显示，本文所提弹性安定修正法能够有效考虑加筋板在循环载荷下的弹性安定临界状态。
2） 采用本文所提弹性安定Smith法程序所得结果与ISSC 2012给出的船体梁极限强度值之间的误差为6.64%，12.11%，2.99%，3.98%，结果表明采用基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法程序能够合理评估、分析弹性安定临界状态下船体梁的极限强度，且与NFEM相比计算更加高效。
本文是以循环载荷下处于弹性安定临界状态的船体加筋板为出发点，通过基本结构单元来反映实际船体梁循环弯矩下的弹性安定响应特性，未来可将弹性安定特性进一步拓展至其他结构单元，或是直接在循环Smith法中考虑弹性安定特性，将更加有益于精准评估船体梁在循环载荷下的极限强度。
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图 1 Rahman梁−柱法加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 1. Average stress-average strain relationship of stiffened plate in Rahman's beam-column method
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图 3 NFEM和Rahman梁−柱法的加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 3. Average stress-average strain relationship for stiffened plates by NFEM and Rahman's beam-column method
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图 4 ESCM计算的加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 4. Average stress-average strain relationship of stiffened plate calculated by ESCM
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图 5 T形加筋板极限状态时刻误差分析
Figure 5. Error analysis of ultimate limit state for T-stiffened plates
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图 6 扁钢加筋板极限状态时刻误差分析
Figure 6. Error analysis of ultimate limit state for flat-bar stiffened plates
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图 7 基于弹性安定上限的T形加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 7. Average stress-average strain relationship of T-stiffened plates based on upper limit of elastic shakedown
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图 8 基于弹性安定下限的T形加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 8. Average stress-average strain relationship of T-stiffened plates based on lower limit of elastic shakedown
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图 9 基于弹性安定上限的扁钢加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 9. Average stress-average strain relationship of flat-bar stiffened plates based on upper limit of elastic shakedown
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图 10 基于弹性安定下限的扁钢加筋板平均应力−平均应变关系
Figure 10. Average stress-average strain relationship of flat-bar stiffened plates based on lower limit of elastic shakedown
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图 11 基于弹性安定临界状态的船体梁极限强度Smith法流程图
Figure 11. Flow chart of the Smith's method of hull girder ultimate strength based on elastic shakedown limit state
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图 13 中垂状态下苏伊士型双壳油轮船体梁极限强度
Figure 13. Ultimate strength of Suezmax class double hull oil tanker hull girder under sagging condition
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图 14 中拱状态下苏伊士型双壳油轮船体梁极限强度
Figure 14. Ultimate strength of Suezmax class double hull oil tanker hull girder under hogging condition
表 1 极限应变修正系数
Table 1 Ultimate strain correction factors
类型 失效形式 C1 C2 C3 C4 C5 C6 安定上限 T形 筋失效 2.686 4 −1.826 9 −0.402 1 0.381 1 0.422 6 0.047 6 板失效 3.085 3 −1.717 7 −1.017 5 −0.570 9 2.104 8 0.301 2 扁钢 筋失效 2.479 0 −1.680 6 −0.300 8 0.305 1 0.451 2 0.050 6 板失效 4.681 8 −4.057 7 −1.363 2 −1.046 2 3.988 0 0.434 9 安定下限 T形 筋失效 3.279 5 −3.208 0 −0.093 4 0.293 7 0.968 1 0.014 1 板失效 2.797 0 −0.964 6 −0.411 8 −0.717 7 1.207 1 0.194 1 扁钢 筋失效 2.945 7 −2.481 2 −0.161 6 0.299 8 0.701 4 0.022 8 板失效 4.129 4 −3.088 6 −0.791 3 −0.899 5 2.733 6 0.294 3 
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表 2 极限应力修正系数
Table 2 Ultimate stress correction factor
类型 失效形式 C1 C2 C3 C4 C5 C6 安定上限 T形 筋失效 1.277 9 −0.137 7 −0.100 7 0.019 5 0.014 2 0.002 9 板失效 0.986 9 0.323 6 −0.021 8 8.4×10−4 −0.450 8 0.001 4 扁钢 筋失效 1.154 5 −0.059 0 −0.067 9 0.003 6 0.009 8 0.002 9 板失效 0.952 8 0.287 4 −0.023 8 0.019 7 −0.483 0 9.5×10−4 安定下限 T形 筋失效 1.216 8 −0.121 1 −0.104 4 0.019 0 0.015 8 0.003 0 板失效 0.984 1 0.167 5 −0.023 0 −0.001 1 −0.355 7 0.001 5 扁钢 筋失效 1.090 8 −0.026 5 −0.073 6 0.003 7 0.006 1 0.003 0 板失效 0.978 1 0.069 1 −0.027 6 0.021 2 −0.381 1 0.001 2
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