0.   引　言

船舶轴系是船舶推进系统的重要组成部分，在实际工作中会受到不平衡力或力矩，从而产生扭转振动。船舶轴系的扭振会危害轴系设备的安全与稳定^[1]，当扭转振动较大时，会发生轴断裂、弹性联轴器连接螺栓断裂及局部轴段发热等。由机械振动理论^[2]可知，可以通过降低自身刚度来降低固有频率，从而远离激励频率，实现隔振的目的，但刚度过低又会导致承载能力不足，而具有高静低动刚度特性的隔振技术却可以突破这一瓶颈问题，既能隔离低频振动，同时又能承载较高的静载荷^[3-4]。

针对传统线性隔振装置在低频隔振上不足的问题，许多学者开展了高静态刚度和低动态刚度特性的隔振理论分析及试验研究，相关的研究主要集中于平动式高静低动隔振器，而对于扭转式高静低动隔振器的研究则相对较少。目前，扭转式高静低动隔振器主要采用正负刚度并联结构方式。例如，Zheng等^[5]设计了一种具有高静低动刚度特性的扭转联轴器，其机构中永磁弹簧所产生的负刚度可以用来抵消橡胶弹簧提供的正刚度；张春松等^[6]提出了一种具有适应负载变化的高静低动扭振隔振器，其正、负刚度分别由弹簧片与扭磁弹簧提供，该隔振器通过调节扭磁弹簧的位置参数与弹簧片的长度来适应负载变化，从而实现较好的低频隔振。如上所述，磁力式隔振器具有较好低频隔振效果，但易受电流和磁场影响从而导致非线性刚度不稳定，因此其应用范围有限。此外，为了同时满足低频隔振和较好的非线性刚度，相关学者尝试通过采取结构非线性或材料非线性研制了隔振装置。例如，Zhan等^[7]提出了一种由屈曲杆变形产生负刚度的扭转隔振器，该隔振器结构简单、紧凑；Zhou等^[8]设计了一种高静低动扭振隔振装置，该装置的负刚度由弹簧、凸轮和滚子组成，与之并联的正刚度则由硫化橡胶提供；Wang等^[9]在文献[8]的基础上，用扭转弹簧代替硫化橡胶，研究了机构参数误差对动态刚度的影响；刘辉等^[10]和王晓杰等^[11]提出了一种由连杆弹簧机构并联形成的高静低动扭振隔振器，并从动力矩传递率和功率流这2个角度验证了隔振系统具有较好的低频隔振效果。

然而，以上关于对高静低动隔振装置的研究并未结合船舶轴系的特点进行针对性的设计，且传统的船舶弹性联轴器又存在着隔离低频扭振与传递大静扭矩的矛盾问题。为此，本文拟提出基于正、负刚度弹簧元件并联的方法，首先，设计并研制一种具有高静低动刚度特性的船舶轴系扭振隔振装置，分析其高静低动刚度特性，建立其无量纲动力学模型并推导其扭振传递率；然后，研究刚度比、阻尼比和激励幅值等隔振装置参数对隔振效果的影响，并与传统线性隔振装置的扭振传递特性进行对比分析；最后，进行高静低动刚度仿真与扭转试验的对比验证。

1.   隔振装置结构设计

1.1   高静低动刚度基本理论

如图1所示，高静低动刚度特性是通过正负刚度并联来实现，也即选用合适的负刚度元件与正刚度元件进行并联，以使刚度数值相互抵消，其中总的动态刚度在静力平衡位置范围内趋近于0，以降低固有频率而实现低频隔振效果，同时在静平衡位置具有较高的静刚度，使得隔振系统具有较好的承载能力。

图  1  高静低动刚度特性原理示意图

Figure  1.  Schematic diagram of high-static-low-dynamic stiffness principle

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1.2   正负刚度元件的结构设计

高静低动隔振的原理是通过正负刚度并联相互抵消从而形成高静低动刚度。其中正刚度指形变大小与施加的载荷大小正相关，反之，为负刚度。

本文所设计的隔振装置采用SolidWorks软件进行建模，其负刚度元件主要由弹簧、连杆和推杆组成，如图2（a）所示，3对弹簧连杆元件沿传动轴方向周向阵列，如图2（b）所示。其中，弹簧作用力由推杆传递到传动轴上，连杆之间铰接相接。为满足隔振系统的结构紧凑与稳定，同时考虑到在扭转时正刚度元件需要在任意方向弯曲变形时刚度都相等，因此正刚度元件采用圆截面柔性杆，沿轴中心线环绕阵列3个，并通过圆盘与轴系从动轴相连。圆截面柔性杆的另一端与壳体相连，壳体与轴系主动轴相连。正刚度的柔性杆与负刚度的3对弹簧连杆元件轴向并联，从而形成高静低动扭振隔振器。

图  2  高静低动隔振器结构示意图

Figure  2.  Structural diagram of high-static-low-dynamic vibration isolator

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2.   高静低动刚度特性分析

正刚度元件中，截面柔性杆的一端与壳体相连，另一端连接轴系从动轴。当发生扭转时，壳体与轴系从动轴会发生小角度的位移偏转，从而使得圆截面柔性杆一端相对于另一端产生一定的偏转角位移$\theta$，偏转的端面从位置A到位置$A'$，横向产生挠度w，如图3所示。

图  3  柔性杆轴向受力示意图

Figure  3.  Axial force diagram of flexible rod

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在发生扭转时，外输入扭矩${M_{\rm{W}}}$、使柔性杆产生的轴向挠度w，以及与运动半径的垂直作用力${F_{\rm{W}}}$如下所示：

式中： F为产生挠度的有效作用力；E为弹性模量；${r_{1}}$为圆杆在轴向变形端的径向运动半径；L为圆杆长度；${I_{\rm{P}}}$为圆杆的惯性矩；d为圆杆的直径；$\theta$为圆杆绕轴中心线的转角位移。

将式（2）和式（3）代入式（1）后，在静载荷下，输出扭矩的大小与外输入扭矩相同，得到输出扭矩${M_{\rm{r}}}$如下：

式中，${n_{1}}$为圆截面柔性杆的数量。

将输出扭矩${M_{\rm{r}}}$对角位移$\theta$求偏导，可得刚度${K_{\rm{r}}}$的表达式为

图4所示为负刚度弹簧连杆机构在静平衡位置和受外力作用下发生扭转的示意图。记静平衡位置时弹簧和连杆的总长度为a，弹簧原长为${L_{\rm{SO}}}$，弹簧刚度为${K_{\rm{S}}}$，弹簧的压缩量为$\delta$，连杆长度为b。在外力${F_{\rm{W}}}$的作用下，连杆发生偏转后（图中虚线所示），将与原静平衡位置形成夹角$\varphi$。

图  4  弹簧连杆机构受力示意图

Figure  4.  Stress schematic diagram of rod-spring

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当发生扭转时，推杆在扭矩的作用下，与轴中心线的径向运动半径为${r_2}$,此时，连杆受到垂直于弹簧运动方向的力，产生的位移x为连杆长度b与$\sin \varphi$的乘积，同时也等于推杆轴向角位移$\theta$与径向运动半径${r_{2}}$的乘积。记此时弹簧连杆的输出扭矩表达式为

将式（4）和式（6）相加，即可得出正负刚度并联后的扭矩表达式为

式中：在小角度位移下，$\tan {\theta / 2}$可近似等于${\theta / 2}$，其中$\dfrac{{{3}E{{\text{π}} }{d^{4}}}}{{{64}{L^{3}}}}$是与圆截面柔性杆有关的常系数，记作${K_{\rm{r}}}$，简化后的扭矩表达式如下：

引入无量纲参数：$\dfrac{M}{{{n_1}{K_{\rm{r}}}{r_1}{L_{\rm{SO}}}}} = \hat M$，$\dfrac{{{r_1}\theta }}{{{L_{\rm{SO}}}}} = \hat \theta$，$\dfrac{{{n_2}}}{{{n_1}}} = {n_0}$，$\dfrac{{{K_{\rm{S}}}}}{{{K_{\rm{r}}}}} = {K_{0}}$，$\dfrac{a}{{{L_{\rm{SO}}}}} = {a_0}$，$\dfrac{b}{{{L_{\rm{SO}}}}} = {b_0}$，$\dfrac{{{r_2}}}{{{r_1}}} = {r_0}$，$\dfrac{\delta }{{{L_{\rm{SO}}}}} = {\delta _0}$，$1 = {a_0} - {b_0} + {\delta _0}$，则回复扭矩表达式无量纲化后的表达式为：

式中：${n_0}$为弹簧对数${n_{2}}$与柔性圆杆个数${n_{1}}$的比值；${K_0}$为弹簧刚度${K_{\rm{S}}}$与柔性杆扭转刚度${K_{\rm{r}}}$的比值；${r_0}$为负刚度结构运动半径${r_2}$与正刚度结构的运动半径${r_1}$的比值；${a_0}$为静平衡位置弹簧和连杆的总长a与弹簧原长${L_{\rm{SO}}}$的比值；${b_0}$为连杆长b与弹簧原长${L_{\rm{SO}}}$的比值。

将（9）式对无量纲角位移$\hat \theta$变量进行微分，可得无量纲刚度$\hat K$表达式如下：

表1所示为本文所设计高静低动扭振隔振装置的基本参数与尺寸。

表  1  隔振器模型的基本参数

Table  1.  Basic parameters of vibration isolator model

参数	数值
柔性圆杆个数n1	3
弹簧对数n2	3
弹簧刚度KS/(N·mm)	21.33
柔性杆扭转刚度Kr/(N·mm·rad−1)	41.58
静力平衡下连杆与弹簧的总长度a/mm	135
连杆长度b/mm	92
柔性圆杆长度L/mm	70
弹簧原长Lso/mm	65
正刚度元件运动半径r1/mm	24
负刚度元件运动半径r2/mm	50
轴径D/mm	50

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图5所示为根据式（9）画出的无量纲回复扭矩与弹簧预压缩变形量和角位移的关系图。由图可知，角位移与回复扭矩具有非线性关系，改变相关参数可得到对应的回复扭矩。图6所示为根据式（10）画出的无量纲刚度与弹簧预压缩变形量和角位移的关系图。由图可知，在一定的角位移与弹簧的预压缩量下，隔振装置具有高静低动刚度的特性。

图  5  无量纲回复扭矩图

Figure  5.  Schematic diagram of non-dimensional restoring torque

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图  6  无量纲刚度图

Figure  6.  Schematic diagram of non-dimensional stiffness

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3.   扭矩传递率特性分析

3.1   隔振装置参数对传递率的影响

对由式（9）得出的无量纲回复力矩$\hat M$在$\hat \theta = 0$处进行泰勒展开，其前2阶表达式为：

式中：${\hat k_1} = \left[ {\hat K\left( {\dfrac{{{a_0} - 1}}{{{b_0}}} - 1} \right) + 1} \right]$，为一阶刚度系数；${\hat k_3} = \hat K\dfrac{{{a_0} - 1}}{{2{b_0}^3}}$，为二阶刚度系数。

当隔振系统处于静平衡时，从系统输入端施加一个幅值为${M}_{\mathrm{e}}$的余弦激励，则系统的运动方程为：

式中：J为隔振系统的转动惯量；C为隔振系统的阻尼；M为隔振系统的弹性恢复力矩；${M_{\rm{e}}}$为隔振系统所受到的外力矩；$\omega$为外力矩的激励圆频率。

引入如下无量纲变量：

式中：${\omega _n}$为隔振系统固有圆频率；$\xi$为隔振系统阻尼比；$\varOmega$为隔振系统激励圆频率与固有圆频率之比，也即频率比；$\tau$为与隔振系统激励时间相关的无量纲。这样，系统的运动方程无量纲化后的表达式为

将式（11）代入式（13），可得

这里采用谐波平衡法进行求解，设$\hat \theta = {\hat \theta _{\text{f}}}\cos (\varOmega \tau + {\psi _{\text{f}}})$为稳定解，代入式（14），可得

式中：${\hat \theta _{\text{f}}}$为稳定解的幅值；$\varOmega$为稳定解频率；${\psi _{\text{f}}}$为稳定解与激励力矩的相位差；${\hat M_{\rm{e}}}$为激励力矩幅值。

忽略高阶的谐波项，整理可以得出幅频响应方程为：

由此可得隔振系统传递给轴系从动轴的扭矩${\hat M_{t}}$表达式为

由于弹性力矩与阻尼力矩相差$90{\text{°}}$相位，所以传递扭矩${\hat M_{t}}$的幅值等于弹性力矩与阻尼力矩的平方根：

则高静低动扭振隔振系统的扭矩传递率T可以写成分贝的形式：

3.1.1   刚度比对传递率的影响

当阻尼比$\xi$= 0.08、激励力矩幅值${\hat M_{\rm{e}}}$= 1时，不同刚度比${\hat k_3}$对隔振系统传递率T的影响如图7所示。由图可知，随着刚度比${\hat k_3}$的增大，隔振系统的共振频率及其对应的传递率也会增大，导致隔振效果变差。因此,可通过适当减小刚度比${\hat k_3}$来降低系统的隔振起始频率，提高系统在低频段的隔振性能。

图  7  不同刚度比${\hat k_3}$下的振动传递率（$\xi$= 0.08，${\hat M_{\rm{e}}}$= 1）

Figure  7.  The torque transmissibility affected by different stiffness ratio${\hat k_3}$ when $\xi$= 0.08，${\hat M_{\rm{e}}}$= 1

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3.1.2   阻尼比对传递率的影响

当刚度比${\hat k_3}$= 1、激励力矩幅值${\hat M_{\rm{e}}}$= 1时，不同阻尼比$\xi$下隔振系统的传递率如图8所示。由图可知，随着阻尼比$\xi$的增大，在共振峰处对应的振动传递率减小，但在高频段其振动传递率反而增大。因此，适当减小阻尼比$\xi$可以增大系统在高频段的隔振效果。

图  8  不同阻尼比$\xi$下的振动传递率（${\hat k_3}$= 1，${\hat M_{\rm{e}}}$= 1）

Figure  8.  The torque transmissibility affected by different damper ratio$\xi$ when ${\hat k_3}$= 1，${\hat M_{\rm{e}}}$= 1

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3.1.3   激励幅值对传递率的影响

当阻尼比$\xi$= 0.08、刚度比${\hat k_3}$= 1时，不同激励幅值${\hat M_{\rm{e}}}$对隔振系统的传递率如图9所示。由图可知，随着激励幅值${\hat M_{\rm{e}}}$的增大，系统的共振频率随之增大且隔振效果变差，这说明隔振系统在较小的激励幅值下具有更好的低频隔振效果。

图  9  不同激励幅值${\hat M_{\rm{e}}}$下的振动传递率（$\xi$= 0.08，${\hat k_3}$= 1）

Figure  9.  The torque transmissibility affected by different excitation torque${\hat M_{\rm{e}}}$ when $\xi$= 0.08，${\hat k_3}$= 1

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3.2   扭矩传递率对比分析

当隔振装置仅有正刚度元件时，此时系统为线性隔振系统,也即当式（11）中的${\hat k_1} = 1$，${\hat k_3} = 0$时，线性隔振系统的振动传递率为

当阻尼比$\xi$= 0.08、激励幅值${\hat M_{\rm{e}}} = 0.1$时，高静低动扭转隔振装置与相同阻尼、激励幅值参数下线性隔振装置传递率的比较如图10所示。从图中可以看出，与线性隔振系统的传递率相比，在外激励作用下，高静低动隔振装置的起始隔振频率更小，隔振范围更大，这说明其有更好的低频隔振性能。

图  10  高静低动隔振装置与线性隔振装置振动传递率对比

Figure  10.  Comparison of torque transmissibility between high-static-low-dynamic vibration isolator and linear vibration isolator

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4.   高静低动刚度的仿真与试验分析

图11所示为按照表1所示的尺寸及参数采用3D打印出的高静低动扭振隔振装置实物图。所采用的3D打印材料为ABS，该材料是一种由丙烯腈、丁二烯、苯乙烯共聚物制成的树脂材料，能同时具有耐化学腐蚀、耐热、高硬度、高弹性及韧性、可热塑加工等特点的新型3D打印材料，其材料物理属性如表2所示。该隔振器的输出端与船舶轴系的从动轴相连，壳体通过法兰与船舶轴系主动轴相连。

图  11  隔振装置3D打印实物

Figure  11.  3D printed prototype of vibration isolator

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表  2  3D打印材料ABS的基本参数

Table  2.  Basic parameters of 3D printing materials ABS

参数	数值
泊松比μ	0.39
弹性模量$E/\mathrm{G}\mathrm{P}\mathrm{a}$	2
密度$g/{\mathrm{c}\mathrm{m}}^{3}$	1.1
屈服强度${\sigma }_{\mathrm{s}}/\mathrm{M}\mathrm{P}\mathrm{a}$	50

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为研究扭振隔振装置在静载荷下输出的扭矩与角位移的关系，本文采用WNJ-200 微机控制扭转试验机开展了静态特性试验。为验证试验数据的合理性，在ANSYS Workbench软件中设置了与试验相同的边界条件和载荷条件，得到有限元仿真值。WNJ-200扭转试验机由计算机控制单元、扭矩检测单元、扭角检测单元以及电机系统单元组成，隔振装置静载荷扭矩试验平台如图12所示。

图  12  静载荷扭矩试验

Figure  12.  Static load torque test

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在试验过程中，试验机的一端固定，另一端对隔振装置施加恒定角速度为0.5 (°)/min、大小为160 N·mm的力矩。静载荷试验与仿真试验的扭矩曲线如图13所示。由图可见，试验值与有限元仿真值近似，验证了试验结果的合理性；隔振装置在−2°～2°转角范围内具有高静低动刚度特性，且能承载约150 N·mm的静扭矩。因此，本文所提的扭振隔振装置具备高静低动特性。

图  13  静载荷试验与仿真试验的扭矩曲线图

Figure  13.  Torque curves of static load test and simulation

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5.   结　论

本文建立了由连杆弹簧负刚度结构与圆截面柔性杆正刚度结构并联所组成高静低动扭振隔振装置的几何模型与力学模型，并对其进行了仿真分析和3D打印实物的静载扭转试验分析，研究显示，该装置能实现扭转方向的高静低动刚度特性，在轴向具有传递高静载扭矩的能力，能够隔离船舶轴系的低频扭转振动。通过对比分析不同高静低动扭振隔振装置参数对隔振系统振动传递率的影响，主要得到如下结论：

1）适当减小刚度比${\hat k_3}$，也即调整连杆弹簧机构中${a_0}$与${b_0}$的大小，可以提高隔振装置的隔振性能。

2）与线性隔振装置相比，高静低动扭振隔振装置的隔振起始频率更小，有更好的低频隔振性能。