Multi-state system reliability calculation considering probabilistic common cause failure
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摘要:目的 对于共因失效（CCF）的可靠性分析，现有研究基本上都假设发生共因失效事件必将导致相关单元失效。该假设对于电子元器件是准确的，但是对于可靠度高、结构复杂的机械设备会出现状态缺失的问题。为此，通过理论推导，提出一种考虑概率共因失效（PCCF）的多状态可靠度计算方法。方法 该方法将共因分为致命型和非致命型，且将每种共因的作用分解在各单元上，采用显式法建立各单元的通用生成函数（UGF）模型，分别采用现有方法和所提方法对单元独立失效与致命型概率及非致命型概率共因失效的计算结果进行对比。结果 结果表明对概率共因失效假设具有正确性，提出的可靠度计算方法有效。结论 相比传统的CCF分析法，采用PCCF分析法的可靠度计算结果准确度更高，能较好地解决单元和系统状态丢失的问题。Abstract:Objectives The previous researches into the reliability analysis on common cause failure mostly assume that the common cause failure event will necessarily cause the relevant unit to fail. This assumption is accurate for electronic components, but it can lead to state loss problems for mechanical equipment with high reliability and complex structure. Therefore, a multi-state reliability calculation method that considers the Probabilistic Common Cause Failure(PCCF) is proposed through theoretical derivation.Methods The common causes include fatal common cause and non-fatal common cause, and the effect of each common cause is applied to each unit, and the Universal Generating Function(UGF) model of each unit using explicit method is established. The existing method and the method of this paper are compared in terms of the calculation results of unit independent failure, fatal PCCF, and non-fatal PCCF.Results The results verify the validity of the hypothesis of probabilistic common cause failure and the validity of the proposed reliability calculation method.Conclusions Compared with the traditional common cause failure analysis method, if the analysis method of probabilistic common cause failure is used, the reliability calculation result is more accurate, which can solve the problem of unit and system state loss.
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0. 引言
共因失效（Common Cause Failure，CCF）是多个相关单元故障、某些共同原因（Common Cause，CC）作用下导致的结果。常见原因（也称“冲击”）可能是破坏、洪水、地震、雷击、停电、环境突变、设计缺陷或人为错误[1]。CCF经常发生在冗余系统中，这些系统通常涉及了多个相同的单元。很多可靠性研究表明，若存在CCF，一般都会增加系统的联合失效概率。k/n（G）系统是最典型的冗余系统，其由n个部件组成，其中至少有k个部件正常时系统才能正常工作。以1/2（G）系统为例，其系统可靠度大于1个单元独立失效时的可靠度，但是小于2个单元均独立失效时的系统可靠度。由此可见，CCF会显著影响复杂系统的整体不可靠性[2]，但在系统可靠性分析中不考虑CCF将导致系统可靠性结果存在较大误差或得出错误的结论。因此，在对存在CCF的系统进行可靠性分析时，准确建模非常重要。
CCF的系统可靠性研究方法主要有2种：隐式法[2-4]和显式法[3-5]。隐式法是首先不考虑系统存在CC就进行可靠性分析，再将CC的影响通过一定方法引入其中，最后得到系统考虑CC的可靠度；显式法是在单元层级时就考虑CC的影响，再分析系统的可靠性。具体方法模型主要有β因子模型[6]、α因子模型[7]、多希腊字母（Mutiple Greek Letter，MGL）模型[8]以及二项失效率（Biominial Failure Rate，BFR）模型[9]等。
受同一CC影响的单元形成一个共同失效组（Common Cause Group，CCG），即CCF对其CCG的影响可以是确定性的，也可以是概率性的。确定的CCF会导致CCG中所有组件失败。而概率共因失效（Probabilistic Common Cause Failure，PCCF）[10]会导致CCG中不同单元发生故障的概率不同。
当复杂系统失效与时间相关时，往往存在PCCF的情况，在传统的动态可靠性分析方法中，如马尔可夫状态转移法（Markov State transition Method）[11]、GO-FLOW法[12]等都很难处理PCCF失效行为。目前，考虑PCCF的动态可靠性分析方法主要是综合运用动态故障树（Dynamic Fault Tree）和二元决策图（Binary Decision Diagram，BDD）[2-5, 10, 13]。首先，采用动态故障树对复杂系统的动态失效行为进行建模，对失效事件进行有效分解结合后，再采用BDD进行系统静态可靠性分析，最后，采用马尔可夫链来描述系统和单元的动态行为，并计算状态概率[2]。
不论是独立失效还是PCCF，不同的失效状态会导致系统存在多个状态。以3/5（G）系统为例，当有3~5个单元正常工作时，都能满足工作需求，但输出性能大小不同，因此，需要使用多状态分析方法对系统进行可靠性分析。目前，采用较多的多状态系统可靠性分析方法包括布尔模型扩展法、随机过程（Markov过程和Semi-Markov过程）法、通用生成函数（Universal Generating Function，UGF）法[14-17]、随机仿真（Monte Carlo仿真）法以及贝叶斯网络法等。其中，UGF在处理复杂的多状态系统可靠性方面具有计算复杂程度小，处理离散随机变量组合简洁、高效等优点而被广泛运用。目前，国内外已有将UGF和CCF相结合进行可靠性分析[18-19]的相关研究，但以上研究均没有考虑系统存在PCCF的情况。
为了解决复杂系统中存在的PCCF问题，本文将提出改进UGF的多状态系统可靠性分析方法，结合该方法，采用显式法对CCG中的单元进行建模，最后结合算例，验证方法的正确性。
1. 多状态系统的状态定义
假设系统由n个单元组成，其中单元j（j=1，2，…，n）有kj个状态，包括正常状态1、失效状态kj及中间状态（2，…，kj-1）。则单元状态性能向量表示为{\mathit{\boldsymbol{g}}_j} = \left\{ {{g_{j1}}, {g_{j2}}, \cdots, {g_{j{k_j}}}} \right\}，对应的状态概率表示为{\mathit{\boldsymbol{p}}_j} = \left\{ {{p_{j1}}, {p_{j2}}, \cdots, {p_{j{k_j}}}} \right\}。单元的输出性能被看作为一个离散状态在连续时间内的随机过程Gj(t)，且pji(t)=Pr{Gj(t)=gji}，i=1，2，…，kj。
对于系统而言，系统输出性能由全部n个单元的性能状态决定，假设系统存在K个性能值，则单元与系统间存在如下映射关系：
\left\{ \begin{array}{l} f\left( {{G_1}(t),{G_2}(t), \cdots ,{G_n}(t)} \right):L_j^n \to M\\ \left\{ {{g_{11}},{g_{12}}, \cdots ,{g_{1{k_1}}}} \right\} \times \left\{ {{g_{21}},{g_{22}}, \cdots ,{g_{2{k_2}}}} \right\} \times \cdots \times \\ \left\{ {{g_{n1}},{g_{n2}}, \cdots ,{g_{n{k_n}}}} \right\} \to \left\{ {{g_1},{g_2}, \cdots ,{g_K}} \right\} \end{array} \right. (1) 式中：f（·）为单元间的结构关系；Ljn为单元的性能状态空间；M为系统性能状态空间；g表示单元的状态性能值；K = \prod\limits_{j = 1}^n {{k_j}} 。
2. 基于UGF的可靠性分析方法
2.1 定义
基于z变换和复合运算算子的方法被称为通用z变换UGF法。在利用UGF进行多状态系统的可靠性分析时，首先定义单元的UGF，再结合复杂系统的结构函数进行复合运算得到系统的UGF。定义t时刻单元j的UGF为[20]
{U_j}(t,z) = \sum\limits_{{h_j} = 1}^{{k_j}} {{p_{j{h_j}}}} (t) \cdot {z^{{g_{j{h_j}}}}} (2) 式中：pjhj(t)为t时刻单元j在状态为hj时的概率；gjhj为单元j在状态为hj时的输出性能值；0 \le {h_j} \le {k_j}, \sum\limits_{{h_j} = 1}^{{k_j}} {{p_{j{h_j}}}} (t) = 1。
定义UGF的运算法则，引入算子Ωf，得到多状态系统（Multi State System，MSS）的UGF为
\begin{array}{l} {U_{{\rm{MSS}}}}(z) = {\mathit{\Omega }_f}\left( {{U_1}(z), \cdots ,{U_n}(z)} \right) = \\ {\mathit{\Omega }_f}\left( {\sum\limits_{{h_1} = 1}^{{k_1}} {{p_{j{h_1}}}} \cdot {z^{{g_{j{h_1}}}}}, \cdots ,\sum\limits_{{h_n} = 1}^{{k_n}} {{p_{j{h_n}}}} \cdot {z^{{g_{j{h_n}}}}}} \right) = \\ \sum\limits_{{h_1} = 1}^{{k_1}} \cdots \sum\limits_{{h_n} = 1}^{{k_n}} {\left[ {\left( {\prod\limits_{i = 1}^n {{P_{j{h_i}}}} } \right) \cdot {Z^{f\left( {{g_{j{h_i}}}, \cdots ,{g_{j{h_n}}}} \right)}}} \right]} \end{array} (3) 式中：{U_1}(z), \cdots, {U_n}(z)为各单元的UGF；hn为单元n的任一状态。
2.2 基于UGF的可靠性分析评估指标
复杂系统的可靠性分析，最重要的一个评估指标就是系统的可靠度。在系统的UGF中，可靠度为大于最低输出性能项的系数和。
使用算子δR可得到在任意时刻t（t>0）实际性能需求值为w时的系统可靠度R(t, w)为[18]
\begin{array}{*{20}{c}} {R\left( {t,w} \right) = {\delta _R}(U(z,t),w) = }\\ {{\delta _R}\left( {\sum\limits_{i = 1}^K {{p_i}} (t){z^{{g_i}}},w} \right) = \sum\limits_{i = 1}^K {{p_i}} (t)1\left( {F\left( {{g_i},w} \right) \ge 0} \right)} \end{array} (4) 式中：pi为单元在状态i时的概率函数；gi为单元在状态i时的性能值；R为单元独立失效时系统的可靠度；1\left({F\left({{g_i}, w} \right) \ge 0} \right)为示性函数，
1\left( {F\left( {{g_i},w} \right) \ge 0} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {1,}&{若\;F\left( {{g_i},w} \right) \ge 0}\\ {0,}&{若\;F\left( {{g_i},w} \right) < 0} \end{array}} \right. (5) 3. 考虑PCCF的多状态系统可靠性分析方法
本节将在UGF的基础上，利用显式法建立系统分别在致命型及非致命型PCCF情况下的多状态可靠性分析模型。假设系统单元在独立失效时只包含正常工作和完全失效2种状态。正常工作时，输出性能为1；失效时，输出性能为0。不同数量的单元失效，使系统输出性能值改变，则系统为多状态系统。
3.1 独立失效的多状态可靠度模型
当单元独立失效时，其UGF为[21]
{U_i}(z) = {R_i}{z^1} + \left( {1 - {R_i}} \right){z^0} (6) 式中，Ri为单元独立失效时的可靠度。
通过式（3），将单元独立失效的UGF进行复合运算，得到系统的UGF，再进行可靠性分析。
3.2 PCCF的多状态可靠度模型
CC会以一定概率作用于CCG的单元，并且不同的CC对单元的作用效果不同。PCCF分为致命型和非致命型。若PCCF中发生致命型CC，CC则会以一定的概率作用于CCG中的单元，此时，会使单元完全失效；若PCCF中发生非致命型CC，CC则会以一定的概率作用于CCG中的单元，此时会使单元部分失效。此外，在致命型和非致命型中还分为单种CC和多种CC。
3.2.1 致命型PCCF
当致命型CC作用于CCG单元时，则CCG中单元的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{PCCF}}}}(z) = (1 - \beta )R{z^1} + \beta (1 - \alpha )R{z^1} + }\\ {(1 - R + \beta \alpha R){z^0} = (R - \beta \alpha R){z^1} + (1 - R + \beta \alpha R){z^0}} \end{array} (7) 式中：β（0 < β < 1）为致命型CC在单元上发生的概率；α（0 < α < 1）为致命型CC作用于单元的概率。
3.2.2 多种致命型PCCF
当单元受多种致命型CC影响时，以2种因素为例，其UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{PCCF}}}}(z) = \left( {1 - {\beta _1}} \right)\left( {1 - {\beta _2}} \right)R{z^1} + }\\ {{\beta _1}\left( {1 - {\beta _2}} \right)\left( {1 - {\alpha _1}} \right)R{z^1} + {\beta _1}\left( {1 - {\beta _2}} \right){\alpha _1}R{z^0} + }\\ {{\beta _2}\left( {1 - {\beta _1}} \right)\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^1} + {\beta _2}\left( {1 - {\beta _1}} \right){\alpha _2}R{z^0} + }\\ {{\beta _1}{\beta _2}\left( {1 - {\alpha _1}} \right)\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^1} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^0} + }\\ {{\beta _1}{\beta _2}{\alpha _2}\left( {1 - {\alpha _1}} \right)R{z^0} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}R{z^0} + (1 - R){z^0} = }\\ {\left( {1 - {\beta _1}{\alpha _1} - {\beta _2}{\alpha _2} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}} \right)R{z^1} + }\\ {\left( {1 - R + {\beta _1}{\alpha _1}R + {\beta _2}{\alpha _2}R - {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}R} \right){z^0}} \end{array} (8) 式中：β1，β2分别为2个致命型CC发生的概率；α1，α2分别为2个致命型CC作用于单元的概率。
3.2.3 非致命型PCCF
当非致命型CC作用于CCG单元时，则CCG中单元的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{PCCF}}}}(z) = (1 - \beta )R{z^1} + \beta (1 - \alpha )R{z^1} + \beta \alpha R{z^x} + (1 - R){z^0} = }\\ {(R - \beta \alpha R){z^1} + \beta \alpha R{z^x} + (1 - R){z^0}} \end{array} (9) 式中：β（0 < β < 1）为非致命型CC在单元上发生的概率；α（0 < α < 1）为非致命型CC作用于CCG中单元上的概率；x（0 < x < 1）为非致命型CC作用于单元时单元的输出性能值。
3.2.4 多种非致命型PCCF
当单元受多种非致命型CC影响时，以2种因素为例，其UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{i{\rm{CCF}}}}(z) = \left( {1 - {\beta _1}} \right)\left( {1 - {\beta _2}} \right)R{z^1} + }\\ {{\beta _1}\left( {1 - {\beta _2}} \right)\left( {1 - {\alpha _1}} \right)R{z^1} + {\beta _1}\left( {1 - {\beta _2}} \right){\alpha _1}R{z^{{x_1}}} + }\\ {{\beta _2}\left( {1 - {\beta _1}} \right)\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^1} + {\beta _2}\left( {1 - {\beta _1}} \right){\alpha _2}R{z^{{x_2}}} + }\\ {{\beta _1}{\beta _2}\left( {1 - {\alpha _1}} \right)\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^1} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}\left( {1 - {\alpha _2}} \right)R{z^{{x_1}}} + }\\ {{\beta _1}{\beta _2}{\alpha _2}\left( {1 - {\alpha _1}} \right)R{z^{{x_2}}} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}R{z^{{x_1}{x_2}}} + (1 - R){z^0} = }\\ {\left( {1 - {\beta _1}{\alpha _1} - {\beta _2}{\alpha _2} + {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}} \right)R{z^1} + }\\ {\left( {{\beta _1}{\alpha _1} - {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}} \right)R{z^{{x_1}}} + \left( {{\beta _2}{\alpha _2} - {\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}} \right)R{z^{{x_2}}} + }\\ {{\beta _1}{\beta _2}{\alpha _1}{\alpha _2}R{z^{{x_1}{x_2}}} + (1 - R){z^0}} \end{array} (10) 式中：β1，β2分别为2个非致命型CC发生的概率；α1，α2分别为2个非致命型CC作用于单元的概率；x1，x2分别为2个非致命型CC作用于单元时单元的输出性能值。
4. 算例分析
以文献[10]的算例为研究对象，该对象为3/5（G）表决系统。其中，单元A，B，E为一个共因失效组（CCG1），单元C，E为一个共因失效组（CCG2），单元D独立失效。各单元的独立失效概率为0.1，即RA=RB=RC=RD=RE=0.9。CCG1的共因失效发生概率β1=0.01，CCG2的共因失效发生概率为β2=0.02。
4.1 单元独立失效的可靠度计算
由式（6）计算各单元的UGF均为
{U_i}(z) = 0.9{z^1} + 0.1{z^0} 由式（3）计算得到多状态系统的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{MSS}}}}(z) = {{(0.9)}^5}{z^5} + C_5^4{{(0.9)}^4}(0.1){z^4} + }\\ {C_5^3{{(0.9)}^3}{{(0.1)}^2}{z^3} + C_5^2{{(0.9)}^2}{{(0.1)}^3}{z^2} + }\\ {C_5^1{{(0.9)}^1}{{(0.1)}^4}{z^1} + {{(0.1)}^5}{z^0}} \end{array} 由式（7）和式（8）可得，多状态系统的可靠度为
\begin{array}{l} {R_{{\rm{MSS}}}} = {(0.9)^5} + C_5^4{(0.9)^4}(0.1) + C_5^3{(0.9)^3}{(0.1)^2}\\ \;\;\;\;\;\;\; = 0.99144 \end{array} 4.2 致命型PCCF的可靠度计算
假设各单元受CCF影响的概率分别为p1A=0.3，p1B=0.6，p1E=0.7，p2C=0.6，p2E=1，则
单元A的UGF为
{U_{{\rm{PCC}}{{\rm{F}}_1}}}(z) = 0.8973{z^1} + 0.1027{z^0} 单元B的UGF为
{U_{{\rm{PCCF}}1}}(z) = 0.8946{z^1} + 0.1054{z^0} 单元C的UGF为
{U_{{\rm{PCCF}}2}}(z) = 0.8892{z^1} + 0.1108{z^0} 单元D的UGF为
{U_i}(z) = 0.9{z^1} + 0.1{z^0} 单元E的UGF为
{U_{{\rm{PCCF}}12}}(z) = 0.875826{z^1} + 0.124174{z^0} 由式（3）计算得到多状态系统的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{MSS}}}}(z) = 0.56263{z^5} + 0.34308{z^4} + 0.083513{z^3} + }\\ {0.010145{z^2} + 0.00061513{z^1} + 0.000014893{z^0}} \end{array} 由式（7）和式（8）可得，多状态系统的可靠度为
{R_{{\rm{MSS}}}} = 0.56263 + 0.34308 + 0.083513 = 0.989223 通过以上分析可知：系统独立失效时可靠度为R独立失效=0.991 44；系统存在致命型CC，发生PCCF时可靠度为RPCCF=0.989 223。以上结果与文献[10]中结果一致，证明了本文方法的正确性。
4.3 非致命型PCCF的可靠度计算
假设CC1和CC2对各单元的影响程度均为0.5，则由式（10）可得：
单元A的UGF为
{U_{{\rm{PCCF}}1}}(z) = 0.8973{z^1} + 0.0027{z^{0.5}} + 0.1{z^0} 单元B的UGF为
{U_{{\rm{PCCFI}}}}(z) = 0.8946{z^1} + 0.0054{z^{0.5}} + 0.1{z^0} 单元C的UGF为
{U_{{\rm{PCCF}}2}}(z) = 0.8892{z^1} + 0.0108{z^{0.5}} + 0.1{z^0} 单元D的UGF为
{U_i}(z) = 0.9{z^1} + 0.1{z^0} 单元E的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{PCCEF}}/2}}(z) = 0.875826{z^1} + 0.024048{z^{0.5}} + }\\ {0.000126{z^{0.25}} + 0.1{z^0}} \end{array} 由式（3）计算得到多状态系统的UGF为
\begin{array}{*{20}{c}} {{U_{{\rm{MSS}}}}(z) = 0.56263{z^5} + 0.027371{z^{4.5}} + }\\ {0.000\;080\;943{z^{4.25}} + 0.316\;02{z^4} + 0.000\;001\;715\;3{z^{3.75}} + }\\ {0.012256{z^{3.5}} + 0.000036176{z^{3.25}} + 0.070956{z^3} + }\\ {0.00000057407{z^{2.75}} + 0.0020577{z^{2.5}}}\\ {0.0000060617{z^{2.25}} + 0.0079604{z^2} + }\\ {0.000000064043{z^{1.75}} + 0.00015352{z^{1.5}}}\\ {0.00000045135{z^{1.25}} + 0.00044625{z^1} + }\\ {0.0000000023814{z^{0.75}} + 0.0000042948{z^{0.5}} + }\\ {0.0000000126{z^{0.25}} + 0.00001{z^0}} \end{array} 由式（7）和式（8）可得，多状态系统的可靠度为
\begin{array}{*{20}{c}} {{R_{{\rm{MSS}}}} = 0.56263 + 0.027371 + 0.000080943 + }\\ {0.31602 + 0.0000017153 + 0.012256 + }\\ {0.000036176 + 0.070956 = 0.9893606243} \end{array} 当复杂系统中存在非致命型CC，并发生PCCF时，系统可靠度为RNPCCF=0.989 36大于完全共因失效时的RCCF=0.976 33[10]，也大于系统存在致命型CC的情况，即R独立失效>RNPCCF>RPCCF>RCCF。
综上所述，可以得到如下结果。
1）对于复杂系统而言，不考虑CCF时会导致可靠性评价结果过高，误差较大，其可靠性分析结论存在一定风险。
2）针对复杂系统的实际情况，在CCF并不完全导致系统失效时，考虑PCCF时的可靠度大于完全CCF时的可靠度，其分析结果更可信，且更符合复杂机械系统的实际情况。
3）考虑单个及多种致命型和非致命型PCCF是为了使分析结果更符合实际情况，防止过大的误差导致错误的结论。同时，为可靠性优化及系统维修提供更准确的建议。
5. 结语
本文基于UGF提出了一种考虑PCCF的显式法，用于对复杂、多状态系统的可靠性分析。通过对不同情况的PCCF建立相应的可靠性分析模型，揭示了致命型和非致命型PCCF的内在联系，当非致命型分析模型中x=0时，转换为致命型分析模型。本文采用显式法建模能够直观的呈现出CC对CCG单元的影响，将PCCF的影响分别作用在每个单元上，对复杂系统进行PCCF分析时逻辑会更清晰。最后结合实例分析，独立失效和致命型PCCF结果与文献[10]的结果相同，这证明了本文方法的正确性和有效性，结果还表明了考虑PCCF的必要性，采用该方法能够使分析结果更准确。
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