Volume 15 Issue 6
Dec.  2020
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LI Z W, JI G, ZHOU Q D. Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method [J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 143–148 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01811
Citation: LI Z W, JI G, ZHOU Q D. Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method [J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 143–148 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01811

Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01811
  • Received Date: 2019-10-28
  • Rev Recd Date: 2020-01-25
  • Available Online: 2020-11-09
  • Publish Date: 2020-12-30
  •   Objective   It is difficult to localize multi-DOF systems directly using theoretical analysis. Therefore, this paper will use the equivalent method of single pass band approximation to localize the multi-DOF system.   Method  The beam model is taken as the research object to conduct localized research. The localization factors of beams with unequal spacing arrangement are predicted using the equivalent method of single pass band approximation. A comparison between the localized factor prediction results of the equivalent method and the results of the statistical perturbation method verifies the correctness of the equivalent method. The validity of the equivalent method is verified by the FEM example of a beam with unequal spacing arrangement.  Results   The results show that it is feasible to localize the multi-DOF system with the equivalent method of single pass band approximation.  Conclusion  This method effectively avoids the difficulty of complex analysis of multi-DOF system, and realizes the engineering application of localized quantitative analysis of multi-DOF system.
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    谭路, 纪刚, 周其斗, 等. 结构不等间距布置对圆柱壳结构声学性能的影响[J]. 振动与冲击, 2017, 36(24): 603–609.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
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    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

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Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01811

Abstract:   Objective   It is difficult to localize multi-DOF systems directly using theoretical analysis. Therefore, this paper will use the equivalent method of single pass band approximation to localize the multi-DOF system.   Method  The beam model is taken as the research object to conduct localized research. The localization factors of beams with unequal spacing arrangement are predicted using the equivalent method of single pass band approximation. A comparison between the localized factor prediction results of the equivalent method and the results of the statistical perturbation method verifies the correctness of the equivalent method. The validity of the equivalent method is verified by the FEM example of a beam with unequal spacing arrangement.  Results   The results show that it is feasible to localize the multi-DOF system with the equivalent method of single pass band approximation.  Conclusion  This method effectively avoids the difficulty of complex analysis of multi-DOF system, and realizes the engineering application of localized quantitative analysis of multi-DOF system.

LI Z W, JI G, ZHOU Q D. Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method [J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 143–148 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01811
Citation: LI Z W, JI G, ZHOU Q D. Analysis on vibration localization of a multi-DOF system based on the single band approximation method [J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 143–148 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01811
    • 多自由度系统是指在任意时候都需要2个或者更多的广义坐标才能完全确定其位置的系统。工程结构与多跨梁具有相似的特征:每个单元都表现为多自由度振动,属于多自由度特征的系统。开展多自由度系统的局域化研究对于工程振动控制设计具有特别重要的意义。此外工程结构都是有限尺寸的结构,需要将无限结构的波传递响应推广至有限尺寸结构的振动传递响应。通过有界媒质中的强迫振动分析[1],表明有界媒质的振动响应可视为由扰动源发出的左、右传播波及其在边界多次反射波叠加的结果。有界媒质中,远离扰动源处的响应特征被归结为无界媒质中自由行进波的特征。

      周期系统在不同的频段具有不同的振动特性。振动传递若在某些频段内不随传播距离的增加而衰减,则该频段称为通频带;而在另一些频段,振动随着传播距离的增加而呈指数衰减,此时,振动能量被局限于振源附近,即振动被“局域化”,该频段称为止频带。与周期系统不同,非周期系统的振动在所有频段都表现为局域化特征,即在所有频带内,振动传递随传播距离的增加而衰减,因而不存在通频带。1958年,固态物理学家Anderson[2]在研究不规则条件下电子传播规律时,首次发现了局域化现象。Hodges[3]通过对耦合振子链模型的研究,首次证实了在结构动力学领域中也存在局域化效应,发现无序结构振动能量局限于激励源附近,振动幅值随传播距离的增加呈指数衰减。Pierre等[4-7]对有限弹簧振子耦合摆模型进行分析,从模态角度分析解释了无序结构的局域化效应,说明振动局域化效应在模态上体现为局部模态,并给出了振动强局域化发生的条件。国内学者刘文玺和谭路等[8-9]通过具体的实例研究了圆柱壳结构不等间距布置对圆柱壳振动特性与声学性能的影响,发现结构不等间距布置具有一定的减振作用。

      从理论分析方法上看,上述学者多采用波动分析方法,因为这些模型结构大多是一维波传播模型,动力学表达简单,容易通过理论解析定量给出局域化因子。但是,若直接采取理论分析方法对具有多自由度特征的实际工程系统进行振动局域化的研究,尚有一定的困难:一是波动控制方程在表达上比较复杂,因为解析方法给出的传递递归关系需要引入假定,在理论推导上存在一定的困难;二是较难表示有限尺寸结构的振动场;三是对于平板、圆柱壳等具有二维振动特征的结构无法直接运用针对一维模型得出的理论。

      为解决多自由度系统理论分析存在的难题,建立一种等效的方法,即将多自由度系统的振动等效为弹簧质量链系统的振动,然后利用弹簧质量链系统的局域化公式预报多自由度系统局域化因子,进而开展局域化规律的研究。该方法可以有效规避对多自由度系统进行复杂解析的困难,实现对多自由度系统开展局域化定量分析。

      本文将以梁模型为研究对象开展上述等效方法的研究。首先,介绍等效方法的原理; 然后,利用等效方法对一维梁系统进行局域化分析,预报局域化因子; 最后,通过比较等效方法与统计扰动法的计算结果,以及与具体实例的有限元模型衰减特征对比,来验证等效方法的有效性。

    • 对于多自由度周期系统,波数kw与频率ω的色散曲线可用图1(a)所示的曲线表示。与单自由度系统具有唯一的通频带不同,多自由度系统具有多个通频带。Photiadis和Houston[10]指出对于具有多个通频带的系统,可以通过单通带近似(single band approximation,SBA)的等效方法进行简化分析。通过采用弹簧质量链系统来代替实际系统,将结构在各阶通频带的振动视为固有频率不同的振子系统来进行研究,即分析单一通频带。因此,只要给出了相应的振动等效参数,再根据弹簧质量链系统的局域化理论结果,就可以预报实际模型的局域化因子。

      单通带近似法[10]的本质在于将多自由度系统的色散曲线中的某一根色散曲线视为等效耦合弹簧质量链系统的色散曲线。耦合弹簧质量链系统的色散曲线可以表示为图1(b)所示曲线,可根据曲线的特征给出该通频带的带宽和该通频带的中心频率。若图中通频带的上、下限频率为${\omega _ + }$${\omega _ - }$,则可以得出等效的耦合度$V$$\omega _0^2$,其中${\omega _0}$为中心频率。

      针对如图2所示的弹簧质量链系统进行分析,其中弹簧振子质量为$m$,振子间耦合刚度为$k$,振子对地刚度为${k_j}$

      Figure 1.  Dispersion curve of wave number and frequency

      Figure 2.  Mass-spring chain system

      以第$j$个弹簧质量振子为例,可以得到其运动关系式为

      $$ - m{\omega ^2}{x_j} = - k(2{x_j} - {x_{j - 1}} - {x_{j + 1}}) - {k_j}{x_j}$$ (1)

      式(1)可转化为

      $$\left({\omega _j}^2 - {\omega ^2} + 2\frac{k}{m}\right){x_j} = \frac{k}{m}({x_{j - 1}} + {x_{j + 1}})$$ (2)

      式中:xj为位移变化量;${\omega _j} = \sqrt {{k_j}/m} $,为独立弹簧振子的固有频率。定义耦合度$V = k/m$,则

      $$({\omega _j}^2 - {\omega ^2} + 2V){x_j} = V({x_{j - 1}} + {x_{j + 1}})$$ (3)

      当弹簧质量链系统为周期系统时,多自由度系统的通频带中心频率 ω0即为解耦弹簧振子的固有频率,且每个弹簧质量振子的固有频率相等,即${\omega _j} = {\omega _0}$。另外,由波动方程可知位移解的形式为${{\rm{e}}^{i{k_{\rm{w}}}x}}$,将以上条件代入式(3),可得

      $${\omega _n}^2 = {\omega _0}^2 - 2V(\cos ({k_{\rm{w}}}\bar l) - 1)$$

      式中:$\bar l$为弹簧质量振子间的平均跨度;取${k_{\rm{w}}} = 2{\text{π}} n/L$,其中,L为整个系统的长度,nL长度内波的数量,$\left| {{k_{\rm{w}}}} \right| < {\text{π}} /\bar l$

      根据周期结构的弹簧质量链系统波数与频率关系,可以得到频率带宽与耦合度之间的关系为

      $$\Delta ({\omega ^2}) = {\omega _ + }^2 - {\omega _ - }^2 = 4V$$ (4)
      $${\omega _0} = \frac{{{\omega _ + } + {\omega _ - }}}{2}$$ (5)
      $$V = \frac{{\omega _ + ^2 - \omega _ - ^2}}{4} = \frac{{\left( {{\omega _ + } - {\omega _ - }} \right)\left( {{\omega _ + } + {\omega _ - }} \right)}}{4} = \frac{{{\omega _0}\Delta \omega }}{2}$$ (6)

      式中:$\Delta \omega = {\omega _ + } - {\omega _ - }$,为通频带的带宽。等效耦合度$V$与通频带带宽和通频带中心频率相关。

    • 等间距梁模型如图3所示。梁跨距为l0,跨间扭矩弹簧刚度为$C$,弹性模量为E,梁的线密度为m0,梁的截面面积惯性矩为I。梁的有限元模型结构尺寸和材料属性如表1所示。

      Figure 3.  Model of beam with equal spacing

      参数数值参数数值
      梁总长/m 9 杨氏模量/(N·mm−2) 2.05×105
      宽度/m 0.02 密度/(kg·m−3) 7.8×103
      梁厚/mm 6 泊松比 0.3
      支撑间距/m 0.6

      Table 1.  Structural parameters of finite element beam model

      图3所示,对等间距梁模型进行分析,若频率为$\omega $,则梁系统第$j$个单元的动力关系可表达为递归形式:

      $$\begin{split} & \left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _{j + 1}}} \\ {{M_{j + 1}}} \end{array}} \!\! \right) = \left[\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {g + \dfrac{\alpha }{p}K}&{ - \dfrac{\alpha }{p}K} \\ {\dfrac{\alpha }{p}\left( {1 - {g^2}} \right) - 2Kg - \dfrac{\alpha }{p}{K^2}}&{g + \dfrac{\alpha }{p}K} \end{array}} \!\!\right]\left(\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{\theta _j}} \\ {{M_j}} \end{array}} \!\! \right)\\& \qquad\qquad\qquad\qquad{\text{或}}{{{X}}_{j + 1}} = {{T}}{{{X}}_j}\\[-16pt] \end{split}$$ (7)

      式中:$p = \sqrt {{\omega }/{{\sqrt {EI/m_0l_0^4} }}}$ ,为无因次频率;$K = {{C{l_0}}}/ {{2EI}}$,为无因次系数;$g = ({{\sinh p\cos p - \cosh p\sin p}})/ ({{\sinh p - \sin p}}); \; \alpha =\; {{{c_4}}}/{{{s_3}}}; \;{s_3} =\; {{\left( {\sinh p\; - \sin p} \right)}}/{2}$${c_4} = {{\left( {\cosh p\cos p - 1} \right)}}/{2}$。第$j$个单元支点的状态变量X由该单元支点的转角${\theta _j}$和相邻单元在该支点截面处受到的转矩${{{M}}_j}$给出。

      等间距梁模型的状态传递矩阵T可分解为

      $${{{{T}}}} = {{{{{q}}}}^{ - 1}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \lambda &{} \\ {}&{{\lambda ^{ - 1}}} \end{array}} \right]{{{{q}}}}$$

      其中,q为状态传递矩阵T的特征向量矩阵,特征值$\lambda $${\lambda ^{ - 1}}$具体表达为

      $$\begin{split} & \lambda = g + \frac{{\alpha K}}{p} + \sqrt {{{\left( {g + \frac{{\alpha K}}{p}} \right)}^2} - 1} ,\\&{\lambda ^{ - 1}} = g + \frac{{\alpha K}}{p} - \sqrt {{{\left( {g + \frac{{\alpha K}}{p}} \right)}^2} - 1}\end{split} $$

      通频带范围为$\left| {g - \dfrac{{\alpha K}}{p}} \right| \leqslant 1$,通频带的色散关系为$g + \dfrac{{\alpha K}}{p} = \cos \xi $

      K=1时,等间距梁的色散曲线如图4所示。图中,实线表示梁的通频带。由图可以看出,与弹簧质量链系统具有唯一的通频带不同,梁系统具有多个通频带。

      Figure 4.  The pass band and dispersion relations of coupled beam model(K=1)

      通过单通带近似法将梁的某一根色散曲线视作等效耦合振子链的色散曲线,如图5所示。

      Figure 5.  Dispersion curves of beam with equal sapcing

      针对某一具体通频带,通过上、下限频率${\omega _ + }$${\omega _ - }$,可以计算得到相应的振动等效参数。

    • 当等间距梁的跨间间距受不规则扰动后,等间距梁成为非周期无序系统。设定梁间距l是随机变量,均值为$\bar l$,方差${\sigma ^2}(l) = {(\Delta x)^2}/6$$\Delta x$为扰动宽度。文献[11-13]给出了无序情况下局域化因子:

      $$\gamma \approx \frac{1}{2}\frac{{{\sigma ^2}(\omega _j^2)}}{{4{V^2} - {{\left( {{\omega ^2} - \omega _0^2 - 2V} \right)}^2}}}$$ (8)

      因此,仅需要获得振动等效参数${\sigma ^2}(\omega _j^2)$$V$就可以预报不等间距梁的局域化因子。

      将相邻梁单元等效为弹簧振子单元,并假定解耦单元的固有频率是梁间距的单值函数,即

      $${\omega _j} = {\omega _j}(l){\text{且}}{\omega _0} = {\omega _j}(\bar l)$$ (9)

      则有

      $$\begin{split} & {\sigma ^2}({\omega _j}^2) = \int {{\rm{d}}{\omega _j}P({\omega _j}){{({\omega _0}^2 - {\omega _j}^2)}^2}} = \\ & \quad\quad \int {\rm{d}} (l)P(l){({\omega _0}^2 - {\omega _j}^2(l))^2} \end{split} $$

      其中,$P$为概率密度函数。利用${\omega _j}(l)$$\omega _j^2(l)$在平均间距$\bar l$处的泰勒展开近似,可得

      $$\begin{split} & \quad\quad\quad\quad {\omega _j}^2(l) \approx {\omega _0}^2 + ({\rm{d}}{\omega _j}^2/{\rm{d}}l)(l - \bar l) \approx \\& {\omega _0}^2 + 2{\omega _j}({\rm{d}}{\omega _j}/{\rm{d}}l)(l - \bar l) \approx {\omega _0}^2 + 2{\omega _0}({\rm{d}}{\omega _0}/{\rm{d}}l)(l - \bar l) \end{split} $$

      可得方差:

      $${\sigma ^2}({\omega _j}^2) \approx {(2{\omega _0}({\rm{d}}{\omega _0}/{\rm{d}}l))^2}{\sigma ^2}(l)$$ (10)

      ${\sigma ^2}(l) = {{{{(\Delta x)}^2}}}/{6}$代入上式,得到

      $${\sigma ^2}({\omega _j}^2) \approx {\left[ {2{\omega _0}\frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}l}}} \right]^2}\frac{{{{\left( {\Delta x} \right)}^2}}}{6}$$ (11)

      其中:

      $$\frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}l}} = \frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}}\frac{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}}{{{\rm{d}}l}}$$ (12)

      式中:kwx为轴向波数。为求${\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}/{\rm{d}}l$,假定在特定的通频带内,轴向波在一个梁间距$l$内传播的相位变化为常数$C$,即${k_{{\rm{w}}x}}l = C$,则

      $$l \cdot {\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}} + {k_{{\rm{w}}x}} \cdot {\rm{d}}l = 0$$

      $$\frac{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}}{{{\rm{d}}l}} = - \frac{{{k_{{\rm{w}}x}}}}{l}$$ (13)

      ${\rm{d}}{\omega _0}/{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}$为梁中沿轴向的群速度分量${c_{gx}}$,关系可表示为

      $$\frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}} = {c_{gx}} = \frac{{{\omega _0}}}{{{k_{{\rm{w}}x}}}}$$ (14)

      将式(13)~式(14)代入式(12),可得

      $$\frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}l}} = \frac{{{\rm{d}}{\omega _0}}}{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}}\frac{{{\rm{d}}{k_{{\rm{w}}x}}}}{{{\rm{d}}l}} = \frac{{{\omega _0}}}{l}$$ (15)

      因此,最终得到

      $${\sigma ^2}({\omega _j}^2) \approx \frac{2}{3}{\omega _0}^4{\left(\frac{{\Delta x}}{l}\right)^2}$$ (16)

      在获得${\sigma ^2}( {\omega _j^2} )$后,可求得局域化因子:

      $$\gamma \approx \frac{1}{3}\frac{{\omega _0^4}}{{\omega _0^2{{\left( {\Delta \omega } \right)}^2} - {{\left( {{\omega ^2} - \omega _0^2 - {\omega _0}\Delta \omega } \right)}^2}}}{\left( {\frac{{\Delta x}}{{\bar l}}} \right)^2}$$ (17)

      从上式看出,局域化因子γ与通频带的中心频率${\omega _0}$、通频带带宽$\Delta \omega $、梁间距的不规则程度$\Delta x/\bar l$和激振频率$\omega $等参数相关。它是通过统计理论给出的结果,反映了具有相同统计参数、大量不等间距梁模型的平均衰减规律。

    • 通过对比统计扰动方法与等效方法计算的局域化因子结果以及通过不等间距梁有限元模型实例来验证等效方法预报结果的有效性 。

    • 文献[7]中,由统计扰动方法分析得到的局域化因子为

      $$\begin{split} &\quad\;\; \gamma = \frac{{{\sigma ^2}}}{2}[ ({c_{\rm{r}}}\cos \xi + {c_{\rm{i}}}\sin \xi ) + \\&({a_{\rm{r}}}^2 + {a_{\rm{i}}}^2) - 2{{({a_{\rm{r}}}\cos \xi + {a_{\rm{i}}}\sin \xi )}^2} ]\end{split}$$ (18)

      式中:${\sigma ^2}$为方差;$\cos \xi = g + \dfrac{{\alpha K}}{p}$$a = {a_{\rm{r}}} + {\rm{i}}{a_{\rm{i}}}$$c = {c_{\rm{r}}} + {\rm{i}}{c_{\rm{i}}}$,其中${a_{\rm{r}}} = (\cos \xi )'$${a_{\rm{i}}} = (\sin \xi )'$${c_{\rm{r}}} = (\cos \xi )''$${c_{\rm{i}}} = (\sin \xi )''$

      K=1,${\sigma ^2} = 0.005\;77$$\bar l = 1$的计算模型为算例,计算出各通频带的带宽和中心频率,以此作为输入,利用式(17)计算等效局域化因子。

      利用统计扰动法和单通带近似法计算出的局域化因子结果对比如图6所示。其中:散点为等效方法计算得到的局域化因子,实线为统计扰动方法计算的局域化因子值。从图中可以看出,通过单通带近似的方法将梁系统等效为弹簧质量链系统预报得到的局域化因子同统计扰动方法给出的结果具有相同的量级,而且规律基本符合:随着频率的增加,局域化因子具有增加的趋势。这说明了运用等效方法预报多自由度系统的局域化因子具有可行性。

      Figure 6.  Local factors comparison calculated by statistical perturbation method and single pass band approximation method

    • 分别以不规则程度$\Delta x/\bar l$为0,1/6,1/3的梁模型为研究对象,验证等效方法计算的理论局域化因子的有效性。由于在对有限长的梁模型进行分析时,要对模型进行激振,以径向、单频、点激力的方式作用在梁的左端,激振力大小为1 N,有限元模型如图7所示。

      Figure 7.  Finite element model of the beam

      以激振频率为73 Hz为例,对不同$\Delta x/\bar l$无序扰动参数时的理论局域化因子衰减线和振动能量轴向分布曲线进行对比,用于判断局域化因子预报规律的正确性,如图8所示。其中红色直线为理论局域化因子衰减线,蓝色的振荡线为有限元模型振动幅值轴向分布曲线。纵坐标为梁的振动幅值,为清晰表明衰减趋势,此处对幅值取了对数,横坐标为梁的轴向位置。理论衰减线由式(17)计算得出,是一条斜直线,斜率为等效方法计算的局域化因子。由图可见,有限元模型给出的振动能量轴向分布曲线具有振荡特征,但是等效方法计算的局域化因子衰减曲线依然能很好的描述衰减规律,曲线总体趋势吻合良好。这个结果表明等效方法计算的局域化因子可以表征多自由度特征模型的衰减特征。

      Figure 8.  Comparison of the vibration amplitude by numerical and theoretical results

    • 本文以梁模型为研究对象,给出了预报不等间距梁局域化因子的等效方法,验证了预报方法的有效性,得到如下主要结论:

      1)对不等间距梁的色散曲线进行分析,运用单通带近似方法将单一的色散曲线等效为耦合弹簧质量链系统的色散曲线,采用参数等效手段将梁的振动参数等效为弹簧质量链系统的振动参数,基于波动理论给出不等间距梁的无序度参数,进而利用弹簧质量链模型的局域化因子公式预报出不等间距梁的局域化因子。该方法有效规避了对多自由度系统进行复杂解析的困难,实现了对多自由度系统开展无序局域化定量分析的工程化使用。

      2)通过对比统计扰动方法与单通带近似等效方法的局域化因子结果验证了等效方法的正确性。

      3)通过对比不等间距梁FEM模型证实了采用不等间距布置实现振动局域化的可行性,验证了采用单通带近似等效方法对多自由度系统进行局域化分析的有效性。

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