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近年来，随着无人驾驶技术的兴起和发展，无人艇(unmanned surface vehicle, USV)作为一种小型化、智能化、多用途无人海洋运载平台，获得了学者们的广泛关注。从运动场景来看，无人艇可用于轨迹跟踪、路径跟踪和目标跟踪，而目标跟踪技术在军事和民用领域具有重要的应用价值[1]。
无人艇的运动控制面临着非线性、模型不确定性、欠驱动和强外部扰动等研究难点，给无人艇有效可靠的目标跟踪控制带来了挑战。目前，研究人员已提出众多方法用于无人艇控制，如滑模控制[2]、鲁棒控制[3]、模糊控制[4]、参数自适应控制[5]、神经网络控制[6]、扰动观测器[7]、扩张状态观测器[8]等。传统的无人艇运动是通过调节螺旋桨和舵机来实现姿态控制，该方法较适用于大型船舶。因舵机需要频繁调整舵角来控制船舶的航向姿态，故难以满足对灵敏性要求较高的小型无人艇。相较之下，双桨推进无人艇由于是通过2个螺旋桨推力相同或不同来进行速度或航向的控制，能在很大程度上提高无人艇的灵敏性和机动能力，可使无人艇更好地适应工作场景的需要[9]。
本文将研究含模型不确定性与未知海洋环境扰动的双桨推进欠驱动无人艇抗干扰目标跟踪控制问题。首先，建立双桨推进欠驱动无人艇的运动数学模型，包括运动学方程和动力学方程。在运动学层级，提出基于平行接近制导(constant bearing, CB)的目标跟踪制导律；在动力学层级，设计基于扩张状态观测器(extended state observer, ESO)的纵荡速度控制律和艏摇角速度控制律，以消除模型不确定性与未知海洋环境扰动问题，实现无人艇的抗干扰目标跟踪控制。最后，通过输入状态稳定性定理和级联定理，分析所提出的基于ESO的纵荡速度和艏摇角速度控制器的稳定性，并用实验证明采用CB制导的抗干扰目标跟踪控制方法的有效性。
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在地球坐标系XE-YE和艇体坐标系XB-YB下，双桨推进的欠驱动无人艇运动的数学模型[10]如图1所示。
Figure 1. Schematic diagram of plane motion of USV
图中：
$u,v,r$ 分别为无人艇在艇体坐标系XB-YB下的纵荡速度、横荡速度和艏摇角速度；$x,y,\psi $ 分别为无人艇在地球坐标系下的XE坐标、YE坐标和偏航角；${f_1}$ 和${f_2}$ 分别为左、右螺旋桨产生的推力；$B$ 为左、右螺旋桨之间的横向轴距。无人艇的运动学模型可由一个三自由度非线性数学模型描述[11]：
$${\dot {{\eta}}} {\rm{ = }}{{R}}(\psi ){{\upsilon}} $$ (1) 式中：
${{\upsilon}} = {\left[ {u,v,r} \right]^{\rm{T}}}$ ，为无人艇的速度状态向量；${{\eta}} = {\left[ {x,y,\psi } \right]^{\rm{T}}}$ ，为无人艇的位置状态向量；${{R}}(\psi )$ 为无人艇在地球坐标系和艇体坐标系下的矩阵。在动力学建模中，无人艇在水面航行时的水动力阻尼项通常采用线性形式，即无人艇所受阻力与速度成线性关系。因此，无人艇的动力学方程可由如下方程描述[11]：
$${{M}}{\dot{{\upsilon }}} + {{C\upsilon }} + {{D\upsilon }} = {{\tau }} + {{{\tau }}_{\rm{d}}}$$ (2) 式中：M为无人艇的惯性质量矩阵；C为向心力和科氏力系数矩阵；D为水动力阻尼矩阵；
${{\tau}} $ 为无人艇的推力及其力矩向量；${{{\tau}} _{\rm{d}}}$ 为推力和力矩扰动项向量。采用双桨推进的无人艇属于典型的欠驱动系统，船舶横向不受力，所以其动力学控制输入为
${{\tau}} {\rm{ = }}{\left[ {{f_1} + {f_2}{\rm{ ,\; 0 , }}\;B \cdot {\rm{(}}{f_1} - {f_2})/2} \right]^{\rm{T}}}$ 。在静水中对无人艇进行匀速拖曳试验，根据线性回归方程，双桨推进无人艇的螺旋桨产生的推力与控制电压呈近似线性关系[12]，即$f{\rm{ = }}kV$ 。因此，控制无人艇两侧直流电机的输入电压就可以控制无人艇的纵荡速度和艏摇角速度。设左、右两侧电机的控制电压分别为${V_{\rm{L}}}{\rm{ = }}{\sigma _u} + {\sigma _r}$ 和${V_{\rm{R}}}{\rm{ = }}{\sigma _u} - {\sigma _r}$ 。其中，${\sigma _u}$ 为纵荡速度控制电压，${\sigma _r}$ 为艏摇角速度控制电压。当${\sigma _u} > 0,\; {\sigma _r} = 0$ 或${\sigma _u} < 0,\;{\sigma _r} = 0$ 时，无人艇只进行前进或者后退动作；当${\sigma _r} > 0,\;{\sigma _u} = 0$ 或${\sigma _r} < 0,\;{\sigma _u} = 0$ 时，无人艇只进行右转或左转动作。因此，式(2)所示的无人艇动力学方程可改写为如下形式：$$\left\{ \begin{aligned} & \dot u = - \frac{{{d_{11}}}}{{{m_{11}}}}u + \frac{1}{{{m_{11}}}}{\tau _{{\rm{d}}1}} + \frac{{2k}}{{{m_{11}}}} \cdot {\sigma _u} \\& \dot r = - \frac{{{d_{33}}}}{{{m_{33}}}}r + \frac{1}{{{m_{33}}}}{\tau _{{\rm{d}}3}} + \frac{{kB}}{{{m_{33}}}} \cdot {\sigma _r} \end{aligned} \right.$$ (3) 式中：
${d_{11}},{d_{33}}$ 为阻尼系数且${d_{11}},{d_{33}} \in {{D}}$ ；${m_{11}},{m_{33}}$ 为惯性质量常数且${m_{11}},{m_{33}} \in {{M}}$ ；k为直流电机输入电压与产生的推力关系参数；${\tau _{{\rm{d}}1}} \in {{\tau}} $ ，为纵荡速度方向扰动分量，${\tau _{{\rm{d3}}}} \in {{\tau}} $ ，为艏摇角速度方向扰动分量。由式(3)可知，仅通过调节控制电压${\sigma _u}$ 或${\sigma _r}$ 就可控制无人艇的动作状态，实现其纵荡速度和艏摇角速度的解耦控制，简化了双桨推进无人艇动力学控制器设计，也解决了运动控制过程中回转运动和推进运动耦合的问题。 -
CB制导的基本原理是通过将视距旋转率降低到0，从而使跟踪艇以恒定的方位感知并跟踪目标。目标跟踪是将跟踪艇与目标的视距降低到一个期望值并保持。
定义某时刻跟踪艇和目标的位置矢量分别为
${{p}}(t) = {[x(t),\;y(t)]^{\rm{T}}}$ 和${{{p}}_{\rm{t}}}(t) = {[{x_{\rm{t}}}(t),\;{y_{\rm{t}}}(t)]^{\rm{T}}}$ ，则跟踪艇和目标的速度矢量分别为${{\vartheta}} (t) = {\rm{d}}{{p}}(t)/{\rm{d}}t \triangleq \dot {{p}}(t)$ 和${{{\vartheta}} _{\rm{t}}}\left( t \right) = \dot {{p}}{}_{\rm{t}}(t)$ 。令$\tilde {{p}}(t) = {{{p}}_{\rm{t}}}(t) - {{p}}(t)$ ，为目标和跟踪艇的视距矢量，则CB制导的控制目标可以表述为$$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tilde {{p}}(t) = 0$$ (4) CB制导律的速度分解关系如图2所示。
Figure 2. The velocity assignment associated with CB guidance
$${{\vartheta}} (t) = {{{\vartheta}} _{\rm{t}}}(t) + {u_{\max }}\frac{{\tilde {{p}}{\rm{(}}t{\rm{)}}}}{{\sqrt {\tilde {{p}}{{{\rm{(}}t{\rm{)}}}^{\rm{T}}}\tilde {{p}}{\rm{(}}t{\rm{)}} + \delta _{\tilde {{p}}}^2} }}$$ (5) 式中：
${u_{\max }}$ 为跟踪者沿视距方向的最大靠近速度，${u_{\max }} > 0$ ；${\delta _{\tilde {{p}}}}$ 为防碰撞常数，${\delta _{\tilde {{p}}}} > 0$ 。因此，基于CB原理的运动学制导律如下：$$\left\{ \begin{aligned} & {u_{\rm{r}}}{\rm{ = }}\left| {{{\vartheta}} (t)} \right|{\rm{ = }}\sqrt {\dot x{{(t)}^2} + \dot y{{(t)}^2}} \\ & {\psi _{\rm{r}}}{\rm{ = atan2(}}\dot y(t),\dot x(t){\rm{)}} \end{aligned} \right.$$ (6) 式中：
${u_{\rm{r}}}$ 为无人艇的期望速度；${\psi _{\rm{r}}}$ 为无人艇的期望航向且满足${\psi _{\rm{r}}} \in \left( { - \pi ,\pi } \right]$ 。由于动力学无法直接对航向进行控制，设计如下虚拟控制律：$${r_{\rm{r}}} = {K_{\rm{r}}}{\psi _{\rm{e}}}$$ (7) 式中：
${r_{\rm{r}}}$ 为无人艇的期望角速度；${\psi _{\rm{e}}} = {\psi _{\rm{r}}} - \psi$ ，为航向跟踪误差；${K_{\rm{r}}}$ 为增益常数。 -
在不考虑电机特性的情况下，双桨推进无人艇纵荡速度的响应模型为
$$\dot u = {f_u} + {b_u}{\sigma _u}$$ (8) 式中：
${f_u}$ 为纵荡速度方向的不确定项；${b_u}$ 为控制增益。为ESO子系统的设计和稳定性分析做如下假设。假设 1：
${f_u}$ 的导数有界且满足$\left| {{{\dot f}_u}} \right| < f_u^*$ ，其中$f_u^* > 0$ 为常数。受模型不确定性和未知环境扰动的影响，式(8)中的
${f_u}$ 为未知项。为估计未知项，设计如下一阶线性ESO：$$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\hat u}} = - {\beta _{u1}}(\hat u - u) + {{\hat f}_u} + {b_u}{\sigma _u} \\ {{\dot{ \hat f}}_u} = - {\beta _{u2}}(\hat u - u) \\ \end{array} \right.$$ (9) 式中：
$\hat u$ 和${\hat f_u}$ 分别为$u$ 和${f_u}$ 的估计值；${\beta _{u{\rm{1}}}}$ 和${\beta _{u{\rm{2}}}}$ 为观测器的增益。定义估计误差
$\tilde u = \hat u - u$ 和${\tilde f_u} = {\hat f_u} - {f_u}$ ，则一阶ESO的误差动态方程为：$$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde u}}{\rm{ }} = - {\beta _{u1}}\tilde u + {{\tilde f}_u} \\ {{\dot {\tilde f}}_u} = - {\beta _{u2}}\tilde u - {{\dot f}_u} \\ \end{array} \right.$$ (10) 令
${{{E}}_1} = {[\tilde u,\;{\tilde f_u}]^{\rm{T}}}$ ，将式(10)所示的ESO子系统改写成如下矩阵形式：$${\dot {{E}}_1} = {{{A}}_1}{{{E}}_1} - {{{B}}_1}{\dot f_u}$$ (11) 式中：
${{{A}}_1} = \left[ \begin{array}{l} - {\beta _{u1}}\;\;\;\;{\rm{ 1}} \\ - {\beta _{u2}}\;\;\;\;{\rm{ 0}} \\ \end{array} \right]$ ；${{{B}}_1} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]$ 。由于
${{{A}}_1}$ 为赫尔维茨矩阵，则存在一个正定矩阵${{{P}}_1}$ 满足如下不等式：$${{{A}}_1}^{\rm{T}}{{{P}}_1} + {{{P}}_1}{{{A}}_1} \leqslant - {\varepsilon _u}{{{I}}_1}$$ (12) 式中，
${\varepsilon _u} \in {\rm{R}}$ ，是一个大于0的常数；${{{I}}_1} $ 是一个三维对角单位矩阵。根据式(8)，为抵消纵荡速度方向扰动，设计如下纵荡速度自抗扰控制律：
$${\sigma _u} = \frac{{\rm{1}}}{{{b_u}}}[{\xi _u}({u_r} - \hat u) - {\hat f_u}]$$ (13) 式中，
${\xi _u}$ 为动力学增益。令${\hat u_{\rm{e}}} = \hat u - {u_{\rm{r}}}$ ，为纵荡速度的跟踪误差，对${\hat u_{\rm{e}}}$ 求导并将式(13)代入，则跟踪误差动态方程为：$${\rm{ }}{\dot {\hat u}_{\rm{e}}} = - {\xi _u}{\hat u_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u$$ (14) 1） ESO子系统的稳定性分析。
ESO子系统式(11)的稳定性由引理1给出。
引理1：在满足假设1的条件下，式(11)所示系统状态为
${{{E}}_1}$ ，系统输入为${\dot f_u}$ 的ESO子系统是输入状态稳定的。证明：构建如下李雅普诺夫方程[8]：
$${V_1} = \frac{1}{2}{{{E}}_1}^{\rm{T}}{{{P}}_1}{{{E}}_1}$$ (15) 对方程(15)进行求导，得
$$ \begin{split} & {{\dot V}_1} = {{E}}_1^{\rm{T}}{{{P}}_1}\left( {{{{A}}_1}{{{E}}_1} - {{{B}}_1}{{\dot f}_u}} \right)= \\& \;\;\;- \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}{{E}}_1^{\rm{T}}{{{E}}_1} - {{E}}_1^{\rm{T}}{{{P}}_1}{{{B}}_1}{{\dot f}_u} \leqslant \\& - \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}{\left\| {{{{E}}_1}} \right\|^2} + \left\| {{{{E}}_1}} \right\|\left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|\left\| {{{\dot f}_u}} \right\| \;\;\; \end{split} $$ (16) 由
$$\left\| {{{{E}}_1}} \right\| \geqslant \frac{{2\left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|\left| {{{\dot f}_u}} \right|}}{{{\varepsilon _u}{{\bar \theta }_1}}}$$ (17) 可得
$${\dot V_{11}} \leqslant - \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}(1 - {\bar \theta _1}){\left\| {{{{E}}_1}} \right\|^2}$$ (18) 式中，
$0 < {\bar \theta _1} < 1$ 。由此可知，ESO子系统式(11)是输入状态稳定的，且存在一个${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\alpha _1}$ 和一个${{\cal{K}}_\infty }$ 类函数$\varUpsilon _1^\alpha$ ，使其满足：$$\left\| {{{{E}}_1}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\alpha _1}\left( {{{{E}}_1}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}} \right) + \varUpsilon _1^\alpha \left( {\left| {{{\dot f}_u}} \right|} \right)$$ (19) 式中，
$\varUpsilon _1^\alpha \left( s \right) = \dfrac{{2\sqrt {\bar \lambda \left( {{{{P}}_1}} \right)} \left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|}}{{\sqrt {{\underline \lambda} \left( {{{{P}}_1}} \right){\varepsilon _u}{{\bar \theta }_1}} }}s$ ，其中$\bar \lambda \left( {{{{P}}_1}} \right)$ 和${\underline \lambda} \left( {{{{P}}_1}} \right)$ 分别为矩阵${{{P}}_1}$ 的最大和最小特征值。2） 控制子系统的稳定性分析。
控制子系统式(14)的稳定性由引理2给出。
引理2：式(14)所示系统状态为
${\hat u_{\rm{e}}}$ ，系统输入为$\tilde u$ 的控制子系统是输入状态稳定的。证明：构建如下李雅普诺夫方程：
$${V_2} = \frac{1}{2}{\hat u_{\rm{e}}}^2$$ (20) 对
${V_2}$ 求导，得$${{\dot V}_2} = {\hat u_{\rm{e}}}{\dot {\hat u}_{\rm{e}}}$$ (21) 将式(14)代入式(21)，可得
$$ \begin{split} & {{\dot V}_2} = {{\hat u}_{\rm{e}}}\left( { - {\xi _u}{{\hat u}_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u} \right)={\xi _u}{{\hat u}^2}_{\rm{e}} - {\beta _{u1}}{{\hat u}_{\rm{e}}}\tilde u \leqslant \\ & \quad \quad\;\;\;\;- {\xi _u}{{\hat u}^2}_{\rm{e}} + {\beta _{u1}}\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right|\left| {\tilde u} \right| \end{split} $$ (22) 由
${\hat u_{\rm{e}}} > {{{\beta _{u1}}\left| {\tilde u} \right|} / {\left( {{\xi _u}{{\bar \theta }_2}} \right)}}$ ，可得$${\dot V_2} \leqslant - {\xi _u}\left( {1 - {{\bar \theta }_2}} \right)\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right|$$ (23) 式中，
$0 < {\bar \theta _2} < 1$ 。因此，控制子系统式(14)是输入状态稳定的，且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\alpha _2}$ 和${{\cal{K}}_\infty }$ 类函数${\gamma _2}$ 使满足：$$\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right| \leqslant {\alpha _2}({\hat u_{\rm{e}}}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}) + {\gamma _2}\left( {\left| {\tilde u} \right|} \right)$$ (24) 式中，
${\gamma _2}\left( s \right) = \dfrac{{{\beta _{u1}}}}{{{\xi _u}{{\bar \theta }_2}}}s$ 。3） ESO子系统与控制子系统级联稳定性分析。
将ESO子系统式(11)与控制子系统式(14)看作一个级联系统：
$$ \begin{array}{l} {\varSigma _{u1}}:\;\;\;\;{{\dot {\hat u}}_{\rm{e}}} = - {\xi_u}{{\hat u}_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u \\ {\varSigma _{u2}}:\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde u}}{\rm{ }} = - {\beta _{u1}}\tilde u + {{\tilde f}_u} \\ {{\dot {\tilde f}}_u} = - {\beta _{u2}}\tilde u - {{\dot f}_u} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $$ (25) 由
${\varSigma _{u1}}$ 和${\varSigma _{u2}}$ 组成的基于ESO的前纵荡速度控制器级联系统稳定性由定理1给出。定理1：考虑无人艇纵荡速度式(8)，在满足假设1的条件下，纵荡速度ESO式(9)和纵荡速度控制律式(13)使
${\varSigma _{u1}}$ 和${\varSigma _{u2}}$ 组成的级联系统是输入状态稳定的。证明：引理1和引理2已经证明。若子系统
${\varSigma _{u1}}$ 的状态为${\hat u_{\rm{e}}}$ ，输入为$\tilde u$ ，则该系统是输入状态稳定的；若子系统${\varSigma _{u2}}$ 的状态为$\tilde u$ 和${\tilde f_u}$ ，输入为${\dot f_u}$ ，则该系统是输入状态稳定的。因此，根据全局一致渐近稳定性定理，对于整个纵荡速度闭环系统，若其状态为${\hat u_{\rm{e}}}$ ，$\tilde u$ ，${\tilde f_u}$ ，外部输入为${\dot f_u}$ ，则该系统是输入状态稳定的。即存在一个${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\varpi _u}$ 和一个${\cal{K}}$ 类函数${\phi _u}$ ，使${{{E}}_2}\left( t \right)$ 满足：$$\left\| {{{{E}}_2}(t)} \right\| \leqslant {\varpi _u}\left( {\left\| {{{{E}}_2}\left( {\rm{0}} \right)} \right\|,t} \right) + {\phi _u}\left( {\left\| {{{\dot f}_u}} \right\|} \right)$$ (26) 式中，
${{{E}}_2} = {\left[ {{{\hat u}_{\rm{e}}},\;\tilde u,\;{{\tilde f}_u}} \right]^{\rm{T}}}$ 。由于外部输入${\dot f_u}$ 是有界的，所以误差信号${{{E}}_2}$ 有界。 -
在不考虑电机特性的情况下，双桨推进无人艇艏摇角速度的响应模型为：
$$\dot r = {f_r} + {b_r}{\sigma _r}$$ (27) 式中：
${f_r}$ 为艏摇角速度方向的不确定项；$b_r $ 为控制增益。为ESO子系统的设计和稳定性分析做出如下假设。假设 2：
${f_r}$ 的导数有界且满足$\left| {{{\dot f}_r}} \right| < f_r^*$ ，其中$f_r^* $ 为常数，$f_r^* > 0$ 。受模型不确定性和未知环境扰动的影响，式(27)中的
${f_r}$ 为未知项。为估计该未知项，设计如下一阶线性ESO：$$\left\{ \begin{array}{l} {\dot{ \hat r}} = - {\beta _{r1}}(\hat r - r) + {{\hat f}_r} + {b_r}{\sigma _r} \\ {{\dot {\hat f}}_r} = - {\beta _{r2}}(\hat r - r) \\ \end{array} \right.$$ (28) 式中：
$\hat r$ 和${\hat f_r}$ 分别为$r$ 和${f_r}$ 的估计值；${\beta _{{r1}}}$ 和${\beta _{{r2}}}$ 为线性状态观测器增益。定义估计误差
$\tilde r = \hat r - r$ 和${\tilde f_r} = {\hat f_r} - {f_r}$ ，联立式(27)和式(28)，可得ESO的误差动态方程为$$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde r}}{\rm{ }} = - {\beta _{r1}}\tilde r + {{\tilde f}_r} \\ {{\dot{ \tilde f}}_r} = - {\beta _{r2}}\tilde r - {{\dot f}_r} \\ \end{array} \right.$$ (29) 令
${{{E}}_3} = {[\tilde r,\;{\tilde f_r}]^{\rm{T}}}$ ，将式(29)改写成矩阵形式：$${\dot {{E}}_3} = {{{A}}_2}{{{E}}_3} - {{{B}}_2}{\dot f_r}$$ (30) 式中：
${{{A}}_2} = \left[ \begin{array}{l} - {\beta _{r1}}\;\;\;\;{\rm{ 1}} \\ - {\beta _{r2}}\;\;\;\;{\rm{ 0}} \\ \end{array} \right]$ ；${{{B}}_2} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]$ 。由于
${{{A}}_2}$ 是赫尔维茨矩阵，则存在一个正定矩阵${{{P}}_2}$ 满足如下方程：$${{{A}}_2}^{\rm{T}}{{{P}}_2} + {{{P}}_2}{{{A}}_2} \leqslant - {\varepsilon _r}{{{I}}_2}$$ (31) 式中，
${\varepsilon _r} \in {\rm{R}}$ ，是一个大于0的常数。根据式(27)，为抵消艏摇角速度方向扰动，设计如下艏摇角速度自抗扰控制律：
$${\sigma _r} = \frac{{\rm{1}}}{{{b_r}}}[{\xi _r}({r_r} - \hat r) - {\hat f_r}]$$ (32) 式中，
${\xi _r}$ 为动力学增益。令${\hat r_{\rm{e}}} = \hat r - {r_r}$ 为艏摇角速度的跟踪误差，对${\hat r_{\rm{e}}}$ 求导并将式(32)代入，则跟踪误差动态方程为$${\dot{ \hat r}_{\rm{e}}} = - {\xi _r}{\hat r_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r$$ (33) 至此，整个闭环系统控制器设计完毕，控制器结构如图3所示。
Figure 3. Controller structure
1） ESO子系统的稳定性分析。
ESO子系统式(30)的稳定性由引理3给出。
引理3：在满足假设2的条件下，式(30)所示系统状态为
${{{E}}_3}$ ，系统输入为${\dot f_r}$ 的ESO子系统是输入状态稳定的。证明：构建如下李雅普诺夫方程：
$${V_3} = \frac{1}{2}{{{E}}_3}^{\rm{T}}{{{P}}_2}{{{E}}_3}$$ (34) 对
${V_3}$ 求导，联立式(30)，可得$$ \begin{split} & {{\dot V}_3} = {{{E}}_{21}}^{\rm{T}}{{{P}}_2}\left( {{{{A}}_2}{{{E}}_3} - {{{B}}_2}{{\dot f}_r}} \right) \leqslant \\ & - \frac{{{\varepsilon _r}}}{2}{\left\| {{{{E}}_3}} \right\|^2} + \left\| {{{{E}}_3}} \right\|\left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|\left\| {{{\dot f}_r}} \right\| \end{split} $$ (35) 由
$$\left\| {{{{E}}_3}} \right\| \geqslant \frac{{2\left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|\left\| {{{\dot f}_r}} \right\|}}{{{\varepsilon _r}{{\bar \theta }_3}}}$$ (36) 可得
$${\dot V_3} \leqslant - \frac{{{\varepsilon _r}}}{2}(1 - {\bar \theta _3}){\left\| {{{{E}}_3}} \right\|^2}$$ (37) 式中，
$0 < {\bar \theta _3} < 1$ 。因此，ESO子系统式(30)是输入状态稳定的，且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\alpha _3}$ 和${{\cal{K}}_\infty }$ 类函数$\varUpsilon _3^\alpha$ 使${{{{E}}_3}\left( t \right)} $ 满足：$$\left\| {{{{E}}_3}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\alpha _3}\left( {{{{E}}_3}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}} \right) + \varUpsilon _3^\alpha \left( {\left\| {{f_r}} \right\|} \right)$$ (38) 式中，
$\varUpsilon _3^\alpha \left( s \right) = \dfrac{{2\sqrt {\bar \lambda \left( {{{{P}}_2}} \right)} \left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|}}{{\sqrt {{\underline \lambda} \left( {{{{P}}_2}} \right){\varepsilon _r}{{\bar \theta }_3}} }}s$ 。2） 控制子系统的稳定性分析。
控制子系统式(33)的稳定性由引理4给出。
引理4：式(33)所示系统状态为
${\hat r_{\rm{e}}}$ ，系统输入为$\tilde r$ 的控制子系统是输入状态稳定的。证明：构建如下李雅普诺夫函数：
$${V_4} = \frac{1}{2}{\hat r_{\rm{e}}}^2$$ (39) 对
${V_4}$ 求导，联立式(33)，可得$$ \begin{split} & {{\dot V}_4} = {{\hat r}_{\rm{e}}}\left( { - {\xi _r}{{\hat r}_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r} \right) = \\ & \;\;\;\;\;\; - {\xi _r}\hat r_{\rm{e}}^2 - {\beta _{r1}}{{\hat r}_{\rm{e}}}\tilde r \leqslant \\ & \;\;\;\;\;\;- {\xi _r}\hat r_{\rm{e}}^2 + {\beta _{r1}}\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right|\left| {\tilde r} \right| \end{split} $$ (40) 由
${\hat r_{\rm{e}}} > {{{\beta _{r1}}\left| {\tilde r} \right|} / {\left( {{\xi _r}{{\bar \theta }_4}} \right)}}$ ，可得$${\dot V_4} \leqslant - {\xi _r}(1 - {\bar \theta _4})\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right|$$ (41) 式中，
$0 < {\bar \theta _4} < 1$ 。因此，控制子系统式(33)是输入状态稳定的，且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\alpha _4}$ 和${{\cal{K}}_\infty }$ 类函数${\gamma _4}$ 使$ {\hat r_{\rm{e}}}$ 满足：$$\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right| \leqslant {\alpha _4}({\hat r_{\rm{e}}}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}) + {\gamma _4}\left( {\left| {\tilde r} \right|} \right)$$ (42) 式中，
${\gamma _4}\left( s \right) = \dfrac{{{\beta _{r1}}}}{{{\xi _r}{{\bar \theta }_4}}}s$ 。3） ESO子系统与控制子系统级联稳定性分析。
将ESO子系统式(30)与控制子系统式(33)看作一个级联系统：
$$\begin{array}{l} {\varSigma _{r1}}:\;\;\;\;{{\dot {\hat r}}_{\rm{e}}} = - {\xi _r}{{\hat r}_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r \\ {\varSigma _{r2}}:\left\{ \begin{array}{l} {\dot{ \tilde r}}\; = - {\beta _{r1}}{\tilde r} + {{\tilde f}_r} \\ {{\dot{ \tilde f}}_r} = - {\beta _{r2}}\tilde r - {{\dot f}_r} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $$ (43) 由
${\varSigma _{r1}}$ 和${\varSigma _{r2}}$ 组成的基于ESO的艏摇角速度控制器级联系统稳定性由定理2给出。定理2：考虑无人艇艏摇角速度式(27)，在满足假设1的条件下，艏摇角速度ESO式(28)和艏摇角速度控制律式(32)使
${\varSigma _{r1}}$ 和${\varSigma _{r2}}$ 组成的级联系统是输入状态稳定的。证明：引理3和引理4已经给出证明。对于控制子系统
${\varSigma _{r1}}$ ，若系统状态为${\hat r_{\rm{e}}}$ ，输入为$\tilde r$ ，则系统输入状态稳定；对于ESO子系统${\varSigma _{r2}}$ ，若系统状态为$\tilde r$ 和${\tilde f_r}$ ，输入为${\dot f_r}$ ，则系统输入状态稳定。根据全局一致渐进稳定性定理，对于整个艏摇角速度控制闭环系统，若系统状态为${\hat r_{\rm{e}}}$ ，$\tilde r$ ，${\tilde f_r}$ ，外部输入为${\dot f_r}$ ，则该系统是输入状态稳定的，且存在一个${\cal{K}}{\cal{L}}$ 类函数${\varpi _r}$ 和一个${\cal{K}}$ 类函数${\phi _r}$ ，使${{{E}}_4}\left( t \right)$ 满足：$$\left\| {{{{E}}_4}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\varpi _r}\left( {\left\| {{{{E}}_4}\left( {\rm{0}} \right)} \right\|,t} \right) + {\phi _r}\left( {\left| {{{\dot f}_r}} \right|} \right)$$ (44) 式中，
${{{E}}_4} = {\left[ {{{\hat r}_{\rm{e}}},\;\tilde r,\;{{\tilde f}_r}} \right]^{\rm{T}}}$ 。由于外部输入${\dot f_r}$ 是有界的，所以误差信号${{{E}}_4}$ 有界。 -
为了验证本文所提的基于ESO的平行接近制导抗干扰目标跟踪控制方法的有效性，采用图4所示的2艘CSICST-DH01号无人艇进行试验。该无人艇装配有全球定位模块、电子罗盘、运动处理单元、飞思卡尔单片机、无刷直流电机、电子调速器、无线通信模块和电源等设备。
Figure 4. Experimental platform for target tracking of USV
本次试验的控制器参数为：
${u_{\max }}{\rm{ = 0.7}}\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$ ，${\delta _{\tilde p}}{\rm{ = 4}}$ ，${\;\beta _{u1}}{\rm{ = }}1$ ，${\;\beta _{u2}}{\rm{ = 0}}{\rm{.25}}$ ，${\;\beta _{r1}}{\rm{ = }}1$ ，${{\;\beta} _{r2}}{\rm{ = 0}}{\rm{.25}}$ ，${\xi _u} = 2$ ，${\xi _r} = 0.5$ ，${b_u}{\rm{ = }}1$ ，${b_r}{\rm{ = }}1$ 。为避免跟踪艇和目标艇发生碰撞，根据坐标平移原理，使跟踪艇跟踪目标艇附近的虚拟目标点，虚拟目标点在XE-YE中的位置如下[14]：$${{p}}{}_{\rm{v}}(t){\rm{ = }}{{p}}{}_{\rm{t}}(t){\rm{ + }}{{{R}}'}^{\rm{T}}\left( \psi \right){{q}}$$ (45) 式中：
${{p}}{}_{\rm{v}}(t)$ 为虚拟目标点位置；${{q}}$ 为位置偏移向量，本试验中选取${{q}} = {\left[ { - 2, - 2} \right]^{\rm{T}}}$ ；${{{R}}'}\left( \psi \right)$ 为旋转矩阵，且满足$${{{R}}'}\left( \psi \right){\rm{ = }}\left[ \begin{array}{c} \cos \psi \;\;\;\;{\rm{ - sin}}\psi \\ \sin \psi \;\;\;\;\;\;{\rm{ cos}}\psi \\ \end{array} \right]$$ (46) 图5~图7展示了纵荡速度控制试验的结果。图5表明，对于给定的期望速度信号，基于ESO的估计值和无人艇的实际速度均能在较短的时间内稳定到期望值。图6显示，在纵荡速度控制律式(13)的作用下，在稳态时，无人艇的速度跟踪误差稳定在0左右。图7展示了无人艇在暂态和稳态时的扰动变化情况，在稳态时，扰动基本为恒定值，这与实际情况相符，说明了纵荡速度ESO式(9)的有效性。
Figure 5. Surge velocity of the USV
Figure 6. Tracking error of the surge velocity
Figure 7. Estimated disturbance based on the surge velocity ESO
图8~图10展示了艏摇角速度控制试验的结果。图8表明，对于给定的期望速度信号，基于ESO的估计角速度和实际艏摇角速度均能在较短时间内稳定到期望值。图9显示，在艏摇角速度控制律式(32)的作用下，在稳态时，无人艇的角速度跟踪误差稳定在0°左右。图10显示无人艇在稳态时扰动基本为恒定值，与实际情况相符，说明了艏摇角速度ESO式(28)的有效性。
Figure 8. Yaw angular velocity of the USV
Figure 9. Tracking error of the yaw angular velocity
Figure 10. Estimated disturbance based on the yaw angular velocity ESO
图11~图14展示了艏摇角速度控制试验的结果。图11显示了跟踪艇（红线）和目标艇（蓝线）的实际轨迹信息，从中可以看出，跟踪艇已稳定至式(45)设定的虚拟目标点位置。图12展示了跟踪艇与虚拟跟踪点的跟踪误差，从中可以发现，在所提CB制导律式(6)的作用下，无人艇的位置逐渐收敛至虚拟目标点附近，跟踪误差稳定在0 m左右。由图13和14可知，随着跟踪误差的减小，跟踪艇与虚拟目标点的航向和速度渐趋一致。本次试验湖泊中存在有水草并随机分布于水中。在75 s时经过水草密集区，由于跟踪艇推进器被水草缠绕，导致误差增大，由制导律式(6)和控制律式(13)可知，纵荡速度开始增加，纵荡速度控制输入
${\sigma _u}$ 也增加，螺旋桨转速增加，摆脱水草后继续追赶目标，使跟踪状态重新回到稳态。
Figure 11. Target tracking trajectory of the USV
Figure 12. Tracking error based the CB guidance law
Figure 13. Actual speed of the target ship and follower ship
Figure 14. Actual yaw of the target ship and follower ship
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本文针对双桨推进无人艇的目标跟踪问题，提出了基于ESO的CB制导抗干扰目标跟踪控制方法。首先，在XE-YE和XB-YB坐标系下建立了双桨推进无人艇运动模型。接着，在运动学层级提出了基于CB制导的目标跟踪控制律，在动力学层级提出了基于ESO的纵荡速度控制律和艏摇角速度控制律，克服了无人艇模型的不确定性和由未知环境扰动带来的问题。通过输入状态稳定性定理和级联定理，证明了所提控制器的稳定性。最后，通过试验证明了所提抗干扰目标跟踪控制方法的有效性。
ESO based anti-disturbance target tracking control for twin-screw unmanned surface vehicle
doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01665
- Received Date: 2019-07-03
- Rev Recd Date: 2019-09-02
- Available Online: 2021-01-29
- Publish Date: 2021-02-07
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Key words:
- unmanned surface vehicles (USV) /
- extended state observer (ESO) /
- target tracking /
- constant bearing guidance
Abstract:
| Citation: | WU W T, PENG Z H, WANG D, et al. ESO based anti-disturbance target tracking control for twin-screw unmanned surface vehicle[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(1): 128–135 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01665
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