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共振转换器（RC）是一种能对船舶推进轴系纵向振动进行控制的装置[1]，在一定频率下，其导管内部流体产生的惯性力与容腔内液体压缩产生的弹性力相互抵消，可消减窄带内的共振峰并隔离线谱振动。
基于简化的轴系−艇体耦合模型，Merz等[2]研究了共振转换器对结构和声学响应的影响。Dylejko等[3]和Merz等[4]分别以最小化力传递率、平均功率以及总辐射声功率等作为目标函数，优化了共振转换器结构参数。根据共振转换器的反共振隔振理论，其固有频率由被减振频率决定。在工程化应用中，通常将轴系试验台架即刚性边界下轴系的一阶固有频率作为被减振频率，进行共振转换器结构参数设计，再将其直接安装到艇体上。李良伟等[5-6]基于波动理论分析了共振转换器的减振特性，并基于动力谐调消振理论，采用刚性边界条件下的轴系纵向振动模型，完成共振转换器的结构参数优化。安装有共振转换器原理样机的轴系台架试验[7]证实，在刚性边界条件下共振转换器具有反共振隔振的特性。
轴系纵向振动经推力轴承传递至艇体，艇体与轴系之间存在弹性耦合。实船试验表明，在隔振效果方面，采用刚性边界得到的理论值与艇体弹性耦合边界的实测值可相差20 dB以上[8]。因此，边界条件变化对共振转换器结构参数设计以及减振效果的影响是亟待探究的问题。
本文在考虑推力轴承润滑油膜的基础上，拟建立轴系−艇体耦合系统的动力学模型；基于传递矩阵法，将加速度导纳、力传递率、加速度总振级作为评价结构振动特性和力传递特性的指标，探究在艇体弹性耦合边界条件下共振转换器的参数设计方法及其反共振隔振效果，为完善共振转换器减小船舶轴系纵向振动的理论体系和工程化运用提供理论基础。
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本文将螺旋桨及其附连水简化为集中质量，其中附连水质量为螺旋桨质量的60%；传动轴等效为一维等截面均匀杆；推力轴承润滑油膜简化为弹簧−阻尼系统；推力轴承及基座简化为一个单自由度系统；艇体参考文献[3]和文献[9]简化为两端有集中质量的一维杆；共振转换器简化为质量−弹簧−阻尼系统，其中质量单元有2个独立、自由的端点。安装有共振转换器的轴系−艇体耦合系统的动力学模型如图1所示。图中，
${M_{\rm{p}}}$ 为螺旋桨及其附连水质量；${l_{\rm{s}}}$ ，${A_{\rm{s}}}$ ，${E_{\rm{s}}}$ ，${\rho _{\rm{s}}}$ 分别为传动轴的有效长度、横截面积、弹性模量和密度；${K_{\rm{o}}}$ 和${C_{\rm{o}}}$ 分别为推力轴承润滑油膜的刚度及阻尼；${M_{\rm{f}}}$ 和${K_{\rm{f}}}$ 分别为推力轴承及基座的参振质量和刚度；${m_{\rm{r}}}$ ，${c_{\rm{r}}}$ ，${k_{\rm{r}}}$ 分别为共振转换器内流体介质的等效质量、导管内流体介质的黏性阻尼系数、流体介质在容腔内体积发生压缩时的刚度；${M_{\rm{h}}}$ 为艇体前、后两端的集中质量；${l_{\rm{h}}}$ ，${A_{\rm{h}}}$ ，${E_{\rm{h}}}$ ，${\rho _{\rm{h}}}$ 分别为艇体的有效长度、横截面积、弹性模量和密度。
Figure 1. The dynamics model of shafting-hull coupled structure with RC
轴系−艇体耦合系统是由各子系统组成的链状系统，采用传递矩阵法可建立子系统左、右两端的状态向量之间的关系。各子系统的传递矩阵如式（1）~式（7）所示，传递矩阵均采用T表示，不同子系统的矩阵通过下标加以区分。
桨−轴系统：
$${{{T}}_{\rm{p}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ { - {\omega ^2}{M_{\rm{p}}}}&1 \end{array}} \right]$$ (1) $${{{T}}_{\rm{s}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {k_{\rm{s}}}{l_{\rm{s}}}}&{\dfrac{{\sin {k_{\rm{s}}}{l_{\rm{s}}}}}{{{A_{\rm{s}}}{E_{\rm{s}}}{k_{\rm{s}}}}}} \\ { - {A_{\rm{s}}}{E_{\rm{s}}}{k_{\rm{s}}}\sin {k_{\rm{s}}}{l_{\rm{s}}}}&{\cos {k_{\rm{s}}}{l_{\rm{s}}}} \end{array}} \right]$$ (2) 式中，ω为角频率；
${k_{\rm{s}}} = \omega \sqrt {\dfrac{{{\rho _{\rm{s}}}}}{{{E_{\rm{s}}}}}}$ ，为传动轴的纵向波数。推力轴承润滑油膜：
$${{{T}}_{\rm{o}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\dfrac{1}{{{\rm{i}}\omega {C_{\rm{o}}} + {K_{\rm{o}}}}}} \\ 0&1 \end{array}} \right]$$ (3) 推力轴承及基座：
$${{{T}}_{{\rm{fm}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ { - {\omega ^2}{M_{\rm{f}}}}&1 \end{array}} \right]$$ (4) $${{{T}}_{{\rm{fk}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\dfrac{1}{{{K_{\rm{f}}}\left( {{\rm{1 + i}}{\eta _{\rm{b}}}} \right)}}} \\ 0&1 \end{array}} \right]$$ (5) 式中，
${\eta _{\rm{b}}}$ 为结构阻尼。艇体：
$$ {{{T}}_{\rm{h}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ { - {\omega ^2}{M_{\rm{h}}}}&1 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos {k_{\rm{h}}}{l_{\rm{h}}}}&{\dfrac{{\sin {k_{\rm{h}}}{l_{\rm{h}}}}}{{{A_{\rm{h}}}{E_{\rm{h}}}{k_{\rm{h}}}}}} \\ { - {A_{\rm{h}}}{E_{\rm{h}}}{k_{\rm{h}}}\sin {k_{\rm{h}}}{l_{\rm{h}}}}&{\cos {k_{\rm{h}}}{l_{\rm{h}}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \\ { - {\omega ^2}{M_{\rm{h}}}}&1 \end{array}} \right] $$ (6) 式中，
${k_{\rm{h}}} = \omega \sqrt {\dfrac{{{\rho _{\rm{h}}}}}{{{E_{\rm{h}}}}}}$ ，为艇体的纵向波数。共振转换器：
$${{{T}}_{{\rm{rc}}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\dfrac{1}{{ - {\omega ^2}{m_{\rm{r}}} + {\rm{i}}\omega {c_{\rm{r}}} + {k_{\rm{r}}}}}} \\ 0&1 \end{array}} \right]$$ (7) 各子系统相关参数值如表1所示，轴转速为60 r/min时的推力轴承润滑油膜刚度和阻尼取值见文献[10]。
子系统 参数 数值 螺旋桨 质量/kg 7 152 传动轴 密度/(kg·m−3) 7 850 弹性模量/GPa 200 截面积/m2 0.055 长度/m 13 推力轴承及基座 质量/t 4 刚度/(N·m−1) 1.5×109 结构阻尼系数 0.1 推力轴承润滑油膜 刚度/(N·m−1) 1.66×109 阻尼/(N·s·m−1) 1×109 艇体 质量/t 200 截面半径/m 3.25 壳厚/mm 45 长度/m 60 Table 1. The parameters of shafting-hull coupling system
根据共振转换器的反共振隔振理论，其动力参数由轴系振动特性确定。以轴系纵向振动第1阶模态为例，其等效质量和刚度分别为
$$\left\{ {\begin{aligned} & {{M_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{M_{\rm{p}}} + \dfrac{1}{3}{M_{\rm{s}}}} \\& {{K_{\rm{1}}}{\rm{ = }}{{{M}}_{\rm{1}}}\omega _{{\rm{n1}}}^{\rm{2}}} \end{aligned}} \right.$$ (8) 式中：
${\omega _{{\rm{n}}1}}$ 为轴系纵向振动第1阶固有频率；${M_1}$ 和${K_1}$ 分别为轴系纵向振动第1阶模态等效质量和刚度。由此，可确定共振转换器的动力参数为
$$\left\{ { \begin{split} & {{m_{\rm{r}}} = \dfrac{{{M_1}}}{{{\mu _{\rm{r}}}}}} \\ & {{k_{\rm{r}}} = {m_{\rm{r}}}{\omega _{{\rm{n}}1}}^2} \\ & {{c_{\rm{r}}} = 2{\xi _{\rm{r}}}\sqrt {{m_{\rm{r}}}{k_{\rm{r}}}} } \end{split}} \right.$$ (9) 式中：
${\mu _{\rm{r}}}$ 为质量比；${\xi _{\rm{r}}}$ 为阻尼比。 -
由于共振转换器的结构参数与轴系纵向振动特性有关，因此设定不同的推力轴承及基座刚度
${K_{\rm{f}}}$ ，对比推力轴承处刚性边界和艇体弹性耦合边界加速度导纳曲线，如图2所示。
Figure 2. Acceleration admittance for different boundary conditions
由图2可见，在刚性边界条件下，跨点导纳曲线是典型的马鞍形，轴系的纵向振动模态比较稀疏，在计算频率范围内仅有两阶固有频率。随着推力轴承及基座刚度的增大，轴系第1阶和第2阶固有频率均增大，第1阶固有频率对应的加速度导纳幅值几乎没有改变，第2阶固有频率对应的加速度导纳明显降低。这是由于推力轴承及基座刚度增大（即结构纵向刚度增大）导致固有频率增大，第2阶固有频率对应的加速度导纳降低；而第1阶固有频率对应的加速度导纳由轴系自身决定，推力轴承及基座刚度对其影响不大。
艇体耦合边界的加速度导纳曲线在刚性边界的基础上增加了较多峰值，这些峰值均为艇体模态，推力轴承及基座刚度较小时可认为推进轴系与艇体间的低阶模态耦合相对较弱，耦合结构振动特性是轴系纵向振动与艇体纵向振动的叠加。随着推力轴承及基座刚度增大，艇体模态增多，艇体与轴系之间的耦合变强。
基于以上分析，艇体耦合边界时，在轴系第1阶固有频率前耦合系统的振动以艇体振动为主，此时轴系可看作艇体的附加质量；第1阶固有频率到第2阶固有频率之间以轴系振动为主，此时轴系的边界条件可视作刚性。
当
${K_{\rm{f}}}$ >$1.5 \times {10^9}$ N/m时，艇体耦合边界曲线的主要峰值与刚性边界曲线的2个峰值完全重合，此时耦合结构在低频段的主要峰值由轴系自身特性决定，因此根据轴系在刚性边界条件的固有频率进行共振转换器的参数设计即可。当
${K_{\rm{f}}}$ =$1.5 \times {10^9}$ N/m时，刚性边界与艇体弹性耦合边界的纵向力传递率曲线对比结果如图3所示。
Figure 3. Force transmissibility for different boundary conditions
由图3可见，力传递率曲线与振动特性曲线的规律相似。轴系第1阶固有频率处对应的力传递率峰值最大。轴系−艇体耦合系统振动响应曲线中主要峰值对应的频率与轴系在刚性边界条件下的第1阶固有频率具有一致性。但是，还需对此方法设计出的共振转换器安装到艇体弹性耦合边界后的反共振隔振效果进行分析。
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艇体弹性耦合边界条件下安装共振转换器前、后的加速度导纳曲线如图4所示。
Figure 4. Comparison of acceleration admittance with or without RC
由图4可见，共振转换器对系统振动特性的影响可划分为3个区域。当频率小于共振转换器的固有频率时为刚度区，此时系统振动主要受共振转换器刚度的影响，共振转换器与耦合结构串联使系统纵向刚度减小，因此加速度导纳增大。频率在共振转换器固有频率附近时为反共振区，此时共振转换器的反共振特性使得系统第1阶固有频率被有效消减。当频率大于共振转换器固有频率时为质量区，此时共振转换器主要表现出惯性特性，一方面由于共振转换器的加入增大了系统的质量，另一方面在评价指标公式中，共振转换器的质量与刚度同时出现且异号，两者的影响相互抵消，因此加速度导纳降低。
艇体弹性耦合边界条件下安装共振转换器对系统力传递特性的影响如图5所示。由图可见，安装共振转换器后，系统的力传递特性发生了改变，轴系第1阶固有频率处的峰值被消减，原峰值左、右两边各产生1个新的峰值，且具有宽带隔振的效果。因此，按照刚性边界轴系特性设计的共振转换器应用到艇体弹性耦合边界时，共振转换器仍具有反共振隔振的特性，能在线谱消减的同时保持良好的宽带隔振效果。
Figure 5. Comparison of force transmissibility with or without RC
在实际工程应用中，推力轴承及基座刚度值无法准确测量，并且轴系试验台架与实船的基础刚度存在差异。为此，将轴系在刚性边界的第1阶固有频率作为共振转换器固有频率的基准值
${\omega _{{\rm{r}}0}}$ ，当推力轴承及基座刚度${K_{\rm{f}}}$ =$1.5 \times {10^9}$ N/m时，共振转换器固有频率为$0.8{\omega _{{\rm{r0}}}}$ ，${\omega _{{\rm{r0}}}}$ ，$1.2{\omega _{{\rm{r0}}}}$ 时的力传递率曲线如图6所示。由图可见，共振转换器的固有频率在一定范围内变化时仍能使线谱处的峰值消减，但其取值对力传递率在低频段的影响较大。因此，为评价宽带隔振效果，需进行灵敏度分析。
Figure 6. Variation of force transmissibility with respect to natural frequency of RC
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在进行共振转换器参数设计时，需要轴系第1阶固有频率。但在实际工程应用中，固有频率会发生变化，因此需讨论共振转换器固有频率在一定范围内变化时对振动加速度级的影响。在不同推力轴承及基座刚度情况下安装共振转换器前、后的振动加速度级曲线如图7所示。由图可见，随着推力轴承及基座刚度的增大，安装共振转换器前、后系统的振动加速度级均变小，因此在设计推力轴承及基座时，应尽量增大其刚度。
安装共振转换器前、后振动加速度级差值曲线如图8所示。结合图7和图8可见，当共振转换器的固有频率在基准值的0.8倍到1.2倍的范围内变化时，均有良好的隔振效果，说明在实船运用时由于空间限制不能采用最优的共振转换器结构参数时，可适当调整其固有频率来更改结构参数。振动加速度级差值的变化趋势同时受到共振转换器固有频率取值和推力轴承及基座刚度影响，不具有规律性，可采用优化理论进行共振转换器的参数设计。
Figure 7. Acceleration level before and after installing RC under different thrust bearing stiffness
Figure 8. Difference values of acceleration level before and after installing RC under different thrust bearing stiffness
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通过对比边界条件以及推力轴承基础刚度变化对共振转换器参数设计及其反共振隔振效果的影响，得到以下结论：
1） 轴系−艇体耦合结构的振动特性是轴系和艇体振动特性的叠加，且轴系的固有频率峰值是耦合结构的主要峰值；按照轴系在刚性边界条件下的结构特性设计共振转换器，在应用到艇体弹性耦合边界时，仍能对线谱进行消减并具有宽带隔振效果。因此，在工程化应用时，可根据刚性边界条件下的轴系特性设计共振转换器。
2） 将共振转换器安装在轴系−艇体耦合结构后，可按照系统受共振转换器的影响分为刚度区、反共振区、质量区。在刚度区主要受共振转换器刚度的影响；在反共振区，共振转换器表现出反共振机制；在高频区，系统振动主要受共振转换器质量的影响。
3） 共振转换器的固有频率具有可调性，其在基准值的0.8倍到1.2倍范围内变化时，均有良好的反共振隔振效果。
Anti-resonance vibration isolation analysis of shafting longitudinal vibration under elastic coupling of hull
doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01802
- Received Date: 2019-10-18
- Rev Recd Date: 2020-02-05
- Available Online: 2020-11-09
- Publish Date: 2020-12-30
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Key words:
- resonance changer /
- elastic boundary conditions /
- anti-resonance vibration isolation /
- transfer matrix method
Abstract:
| Citation: | YOU J Y, ZHAO Y, ZHANG G B, et al. Anti-resonance vibration isolation analysis of shafting longitudinal vibration under elastic coupling of hull[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 137–142 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01802
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