Volume 15 Issue 6
Dec.  2020
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ZHANG Z X, WANG J Y, WANG H D, et al. Optimization of weapon launching time series for small surface vessels[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 182–189 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01782
Citation: ZHANG Z X, WANG J Y, WANG H D, et al. Optimization of weapon launching time series for small surface vessels[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 182–189 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01782

Optimization of weapon launching time series for small surface vessels

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01782
  • Received Date: 2019-09-25
  • Rev Recd Date: 2020-01-08
  • Available Online: 2020-11-19
  • Publish Date: 2020-12-30
  •   Objectives  As an important fire strike platform, the small surface vessel has broad development prospects. It is necessary to reduce the motion response of small surface vessels to weapon launching through the launching strategy, and to complete continuous launching as quickly as possible.  Methods  Based on the linear rolling model and theorem of angular momentum, the mathematical model of a weapon launching process is established, and an optimization method is used to obtain the time series of the fastest weapon launch that satisfies the motion constraints.  Results  It is shown that the optimized time series of a weapon launch can minimize the total launch time while satisfying the requirements of the maximum rolling angle. The costs related to the launching time of optimized unequal-interval launching is about half of those for optimized equal-interval launching.  Conclusions  The optimized launching time series can greatly improve the usability, combat effectiveness and vitality of small surface vessels. This method can provide a reference for the reasonable matching design of small surface vessels and weapons and the optimal design of launching time series.
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Optimization of weapon launching time series for small surface vessels

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01782

Abstract:   Objectives  As an important fire strike platform, the small surface vessel has broad development prospects. It is necessary to reduce the motion response of small surface vessels to weapon launching through the launching strategy, and to complete continuous launching as quickly as possible.  Methods  Based on the linear rolling model and theorem of angular momentum, the mathematical model of a weapon launching process is established, and an optimization method is used to obtain the time series of the fastest weapon launch that satisfies the motion constraints.  Results  It is shown that the optimized time series of a weapon launch can minimize the total launch time while satisfying the requirements of the maximum rolling angle. The costs related to the launching time of optimized unequal-interval launching is about half of those for optimized equal-interval launching.  Conclusions  The optimized launching time series can greatly improve the usability, combat effectiveness and vitality of small surface vessels. This method can provide a reference for the reasonable matching design of small surface vessels and weapons and the optimal design of launching time series.

ZHANG Z X, WANG J Y, WANG H D, et al. Optimization of weapon launching time series for small surface vessels[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 182–189 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01782
Citation: ZHANG Z X, WANG J Y, WANG H D, et al. Optimization of weapon launching time series for small surface vessels[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 182–189 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01782
  • 随着科学技术的不断发展,小型水面舰艇(尤其是水面无人艇)因具备成本低、机动性高、隐蔽性强等优势[1-3],成为重要的火力打击平台,已受到各国海军的关注。可以充分利用小型水面舰艇的优势,以编队的形式向目标战位迅速部署,对敌方滩头阵地进行猛烈和突然的大范围火力覆盖,从而为后续登陆作战创造条件。该应用场景对火力射击精度的要求相对较低,其主要目标是尽快完成作战任务并提升舰艇生存率。缩短武器发射间隔是提升舰艇战斗力和生存力的重要手段[4],有利于对敌舰造成尽可能大的损伤并快速撤离战区。但是,发射武器的反作用力对小型水面舰艇的影响不可忽视:武器发射间隔过小,会引起舰船剧烈的运动响应,严重降低其使用性能[5-7]。所以在缩短武器发射间隔的同时,还必须满足船体的运动响应要求。

    发射武器对舰艇运动影响的研究大量集中在潜艇上,对水面舰艇的研究较少。郑熹[8]根据舰艇摇摆理论,推导出了潜艇在发射冲量作用下的横摇运动方程、单次发射的最大横摇角和多次发射的最大横摇角。程嘉欢等[9]建立了潜器运动的六自由度非线性数学模型,计算分析了发射一枚火箭后潜器在冲击载荷下的运动响应,以及在发射后回到初始深度的舵与压载水箱的控制策略。王云[10]基于六自由度模型研究了单枚导弹发射和多枚导弹齐射时潜艇的运动响应。李翔等[7]基于六自由度模型对导弹单独发射和齐射进行了仿真,并对导弹发射策略进行了初步探索。还有一些学者研究了发射武器对水面舰艇运动的影响。杨国来等[11]采用多体动力学方法,预测了静水和波浪中火炮射击对船载火炮系统运动稳定性的影响。王建平等[12-13]基于多体动力学方法,针对不同初始条件和海况对由火炮横向射击引起的舰艇摇荡运动进行了计算,并进行了模型实验。此类研究多基于多自由度运动方程的响应预报,没有考虑通过优化发射策略抑制运动的可行性,也没有从连续发射的角度探索减少发射总时间的手段。

    本文将针对一型小型水面无人艇,通过合理的发射策略抑制无人艇的运动响应并减少连续发射总时间。然后基于船舶线性横摇模型和角动量定理,建立武器发射过程的数学模型,并使用最优化方法求解满足运动响应约束条件的最速武器发射时间序列。

    • 在高速穿梭艇三体船[14]的甲板上方布置武器发射装置(图1~图2)。武器基座横向位于三体船主片体的中线面上,纵向位于三体船主片体的中站面上,垂向位于三体船主片体的甲板面上。该发射装置可以以一定的时间间隔连续发射,对某一侧的敌方目标进行火力打击。射角周向保持在主片体的中站面,俯仰方向位于甲板面和中线面的夹角之间。本文仅分析向右侧发射的情形,向左侧发射的情形与右侧类似。

      Figure 1.  High speed trimaran shuttle vessel

      Figure 2.  Arrangement for the shipborne weapons

      为了提高舰艇的战斗力和生存率,在作战中要求尽可能快地发射完所有弹药以快速返航;同时,快速发射弹药对舰艇的连续冲击会使舰艇产生剧烈的运动响应,可能使武器无法发射并损坏舰艇上的精密仪器设备。所以,必须对弹药的发射频率进行限制。

      综合以上两点,针对武器发射,本文需要解决的问题是找到最优化的发射时间序列,使得在发射过程中舰艇的运动响应幅值满足使用要求,并使完成发射任务所用的总时间最少。

    • 建立如图3所示的坐标系,规定从船艉向船艏看时,以顺时针方向为正,逆时针方向为负。

      Figure 3.  Coordinate system

      船舶的一般运动方程需要考虑6个方向上的运动,包括纵荡、横荡、垂荡、纵摇、横摇和艏摇,不同方向的运动存在互相耦合[15]。图中,θ 为横摇角。在本文模型中,武器基座对船体的作用力包括:1)通过船体重心的横向力和垂向力;2)绕$ x $轴的横摇力矩、绕$ y $轴的纵摇力矩和绕$ z $轴的艏摇力矩。在这些作用力下,船体将发生5个自由度上的运动(分别对应横荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇)。由于三体船湿表面在中线面上的总投影面积、排水量和长宽比都相对较大,所以忽略横荡、垂荡、艏摇和纵摇,仅考虑由武器发射引起的横摇运动。

      在横摇运动中:惯性力矩与角加速度成线性关系;阻尼力矩在小角度时可视为与横摇角速度成正比,在大角度时视为与横摇角速度的平方成比例,但同样可以通过能量法得到等效线性阻尼力矩系数而进行等效的线性化处理[16-17];在0°~30°的横摇角范围内,三体船复原力矩与横摇角的关系基本符合线性假设。因此,本文中舰艇的横摇运动可以用线性横摇方程来描述。

      小型水面舰艇运动受风浪的影响非常大,不能忽略。风浪带来的不利因素主要是增加舰艇横摇幅度,因此在实际操作时通过降低优化问题中约束条件的最大横摇角度,即可得到符合工程需要的优化策略,这种做法本身也是偏保守和安全的。

      基于以上分析,为了简化问题,对舰艇运动做如下假设:

      1) 将舰艇视为漂浮在平静水面上的刚体,武器发射引起的质量变化忽略不计;

      2) 舰艇在武器激励的作用下只发生横摇运动,其它方向上的运动很小且非考核指标,可以忽略不计[12]

      3) 舰艇在武器激励作用下发生的横摇运动角度很小,可以认为水对舰艇的阻尼力矩与舰艇的横摇角速度成正比,复原力矩与横摇角成正比。

      基于以上假设,可以列出舰艇做自由横摇运动时的线性横摇方程为

      $$M\ddot \theta + C\dot \theta + K\theta = 0$$ (1)

      式中:$M$为舰艇对$ x $轴的总惯性矩,包括惯性矩与附加惯性矩;$C$为水对舰艇的横摇阻尼力矩系数;$K$为水对舰艇的横摇复原力矩系数;$\theta $$\dot \theta $$\ddot \theta $分别为舰艇的横摇角、横摇角速度和横摇角加速度。

      将式(1)各项同除以$M$,可以得到标准化的舰艇做自由横摇运动时的线性横摇方程:

      $$\ddot \theta + 2n\dot \theta + {\omega _{\rm{n}}}^2\theta = 0$$ (2)

      式中:$n$为阻尼因数;${\omega _{\rm{n}}}$为无阻尼振动的固有频率。

      如果将舰艇在水中的横摇运动看作是有阻尼的自由振动,因为水对舰艇的阻尼力相对于惯性力和水对舰艇的复原力极小,所以舰艇一般都看作欠阻尼系统,其运动方程的通解为[18]

      $$\theta = {{\rm{e}}^{ - nt}}({C_1}\cos {\omega _{\rm{d}}}t + {C_2}\sin {\omega _{\rm{d}}}t)$$ (3)
      $$\begin{split} & \dot \theta = {{\rm{e}}^{ - nt}}[( - {C_1}n + {C_2}{\omega _{\rm{d}}})\cos {\omega _{\rm{d}}}t +\\&\qquad ( - {C_1}{\omega _{\rm{d}}} - {C_2}n)\sin {\omega _{\rm{d}}}t] \end{split}$$ (4)

      式中:${\omega _{\rm{d}}}$为有阻尼振动的固有频率;${C_1}$${C_2}$为待定系数。

      $${\omega _{\rm{d}}} = \sqrt {{\omega _{\rm{n}}}^2 - {n^2}} $$ (5)
      $${C_1} = {\theta _0}$$ (6)
      $${C_2} = \frac{{{{\dot \theta }_0} + n{\theta _0}}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}$$ (7)

      式中:${\theta _0}$${\dot \theta _0}$分别为振动初始时刻的舰艇横摇角与横摇角速度。

    • 武器点火发射所经历的时间极短,将武器对舰艇的作用视作对舰艇施加了冲量矩$ H $。由角动量定理,施加冲量矩$ H $前后舰艇的横摇角速度应满足:

      $$H = M\left( {{{\dot \theta }_{t + \varDelta }} - {{\dot \theta }_t}} \right)$$ (8)

      式中:$H$为武器施加在舰艇上的冲量矩;${\dot \theta _t}$为施加冲量矩$ H $前瞬间舰艇的角速度;${\dot \theta _{t + \varDelta }}$为施加冲量矩$H$后瞬间舰艇的角速度。

      因此,武器发射后瞬间的状态是:舰艇的横摇角${\theta _{t + \varDelta }}$不发生改变;角速度${\dot \theta _{t + \varDelta }}$获得一个恒定的增量:

      $${\theta _{t + \varDelta }} = {\theta _t}$$ (9)
      $${\dot \theta _{t + \varDelta }} = \frac{H}{M} + {\dot \theta _t}$$ (10)
    • 基于问题描述,要求武器发射时间序列应满足以下条件:

      1) 武器发射时间序列中的发射时间间隔应该大于武器发射系统允许的最小间隔发射时间;

      2) 在整个武器发射过程中,舰艇横摇角的幅值应该小于规定的最大横摇角;

      3) 武器发射时间序列的总时间应尽可能小。

      武器发射时间序列的图示如图4所示。图中:$s + 1$为武器发射的总次数;${T_{i}}$为第$i - 1$次与第$i$次发射之间的时间间隔,$ i = 1,2, \cdots ,s $${T_0} = 0$${T_{s + 1}} = + \infty $;重新定义${\theta _i}$${\dot \theta _i}$分别为第$i$次武器发射完成后一刻舰艇的横摇角和角速度,$i = 0,1, 2, \cdots ,s$

      Figure 4.  Time series of the launches

      舰艇初始状态(即零时刻)为在静止状态下发射完成一次武器的状态,所以此时舰艇横摇的角度${\theta _0}$=0,横摇的角速度${\dot \theta _0}$为武器冲量矩作用带来的角速度增量$H/M$。舰艇零时刻后的横摇角由舰艇的横摇特性与武器发射时间决定。

      基于以上定义,武器发射时间序列优化模型可以表达为:

      $$ \begin{array}{c} {\rm{min }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^s {{T_i}} {\rm{ }} \\ {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. \quad max(|}}{{\rm{e}}^{ - nt}}({C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}t){\rm{|)}} \leqslant {\theta _{{\rm{limit}}}} \\ t \in [0,{T_{i + 1}}] \\ {T_{i + 1}} \geqslant {T_{{\rm{limit}}}}\\ i = 0,1,2, \cdots ,s \\[-14pt] \end{array} $$ (11)

      式中:${C_{1,i}}$${C_{2,i}}$为待定系数;${\theta _{{\rm{limit}}}}$为最大横摇角;${T_{{\rm{limit}}}}$为最小发射间隔时间。

      $${C_{1,i}} = {\theta _i}$$ (12)
      $${C_{2,i}} = \frac{{{{\dot \theta }_i} + n{\theta _i}}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}$$ (13)

      式中,${\theta _i}$${\dot \theta _i}$分别由上一时刻的待定系数${C_{1,{i - 1}}}$${C_{2,i - 1}}$和时间序列元素${T_i}$决定。因此,给定武器发射时间序列后,以${\theta _0} = 0$${\dot \theta _0} = H/M$为起点,依次计算${C_{1,i}}$${C_{2,i}}$${\theta _i}$${\dot \theta _i}$,即可完全描述舰艇在该时间序列下的横摇运动轨迹。

      $${\theta _i} = {{\rm{e}}^{ - n{T_i}}}\left( {{C_{1,i - 1}}\cos {\omega _{\rm{d}}}{T_i} + {C_{2,i - 1}}\sin {\omega _{\rm{d}}}{T_i}} \right)$$ (14)
      $$\begin{split} & {\dot \theta _i} = {{\rm{e}}^{ - n{T_i}}}[ \left( { - {C_{1,i - 1}}n + {C_{2,i - 1}}{\omega _{\rm{d}}}} \right)\cos {\omega _{\rm{d}}}{T_i} +\\&\quad \left( { - {C_{1,i - 1}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i - 1}}n} \right)\sin {\omega _{\rm{d}}}{T_i} ] + H/M \end{split}$$ (15)

      为了简化数学模型中关于最大横摇角的约束条件,使之可以参与优化计算,推导了$t \in [0,{T_{i + 1}}]$中可能出现的最大横摇角表达式。$\theta \left( t \right)$的表达式如式(16)所示,其图像为一个振幅随$ t $增大而逐渐减小的正弦函数。

      $$\begin{split} & {\theta _{i + 1}}\left( t \right) = {{\rm{e}}^{ - nt}}\left( {{C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}t} \right) = \\&\quad\qquad{{\rm{e}}^{ - nt}}\sqrt {{C_{1,i}}^2 + {C_{2,i}}^2} {\rm{sin}}\left( {{\omega _{\rm{d}}}t + \psi } \right) \end{split}$$ (16)

      式中,$\psi$为相位角。

      只要每个发射间隔中横摇角首先达到的局部极大点或极小点不超过最大横摇角,即可满足要求。为此,可通过计算横摇角${\theta _{i + 1}}\left( t \right)$$t$求导来计算极值点大小,即求解使满足${\dot \theta _{i + 1}}(t)$(横摇角速度)为0时刻的$\bar t$

      $$ \begin{split} & \qquad\qquad\quad\qquad {{\dot \theta }_{i + 1}}(\bar t) =\\& \qquad\quad{{\rm{e}}^{ - n\bar t}}[ \left( { - {C_{1,i}}n + {C_{2,i}}{\omega _{\rm{d}}}} \right)\cos {\omega _{\rm{d}}}\bar t +\\ &\qquad\qquad \left( { - {C_{1,i}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i}}n} \right)\sin {\omega _{\rm{d}}}\bar t ] = \\ & {{\rm{e}}^{ - n\bar t}}\sqrt {{{\left( { - {C_{1,i}}n + {C_{2,i}}{\omega _{\rm{d}}}} \right)}^2} + {{\left( { - {C_{1,i}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i}}n} \right)}^2}} \cdot\\ &\qquad\qquad\qquad\sin ({\omega _{\rm{d}}}\bar t + \varphi ) = 0 \end{split} $$ (17)

      即求解方程:

      $$\sin ({\omega _{\rm{d}}}\bar t + \varphi ) = 0$$ (18)

      式中,$\varphi $为相位差,满足式(19)和式(20)且$\varphi \in [0,2{\text{π}} )$

      $$\cos \varphi = \frac{{ - {C_{1,i}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i}}n}}{{\sqrt {{{\left( { - {C_{1,i}}n + {C_{2,i}}{\omega _{\rm{d}}}} \right)}^2} + {{\left( { - {C_{1,i}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i}}n} \right)}^2}} }}$$ (19)
      $${\rm{sin}}\varphi = \frac{{ - {C_{1,i}}n + {C_{2,i}}{\omega _{\rm{d}}}}}{{\sqrt {{{\left( { - {C_{1,i}}n + {C_{2,i}}{\omega _{\rm{d}}}} \right)}^2} + {{\left( { - {C_{1,i}}{\omega _{\rm{d}}} - {C_{2,i}}n} \right)}^2}} }}$$ (20)

      可以给出局部极值点$ \stackrel{-}{t} $的表达式为:

      $$\bar t = \left\{ { \begin{aligned} & {\frac{{{\text{π}} - \varphi }}{{{\omega _{\rm{d}}}}} = \frac{{{\text{π}} - {\rm{arcsin}}\left( {{\rm{sin}}\varphi } \right)}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}}&{\varphi \in \left[ {0,\frac{1}{2}{\text{π}} } \right)\;\;} \\ & {\frac{{{\text{π}} - \varphi }}{{{\omega _{\rm{d}}}}} = \frac{{{\text{π}} - {\rm{arccos}}\left( {{\rm{cos}}\varphi } \right)}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}}&{\varphi \in \left[ {\frac{1}{2}{\text{π}} ,{\text{π}} } \right)\;\;} \\ & {\frac{{2{\text{π}} - \varphi }}{{{\omega _{\rm{d}}}}} = \frac{{{\text{π}} + {\rm{arcsin}}\left( {{\rm{sin}}\varphi } \right)}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}}&{\varphi \in \left[ {{\text{π}} ,\frac{3}{2}{\text{π}} } \right)\;\;} \\ & {\frac{{2{\text{π}} - \varphi }}{{{\omega _{\rm{d}}}}} = \frac{{{\rm{arccos}}\left( {{\rm{cos}}\varphi } \right)}}{{{\omega _{\rm{d}}}}}}&{\varphi \in \left[ {\frac{3}{2}{\text{π}} ,2{\text{π}} } \right)} \end{aligned}} \right.$$ (21)

      因此,对武器发射时间序列内第$ i $次发射后,舰艇横摇角的最大横摇角限制如式(22)所示。若第0次发射舰艇横摇角就超过最大横摇角限制,说明舰艇本身的设计是失败的,优化模型也得不到可行解。

      $${\theta _{{\rm{limit}}}} - \left| {{{\rm{e}}^{ - n\bar t}}\left( {{C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}\bar t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}\bar t} \right)} \right| \geqslant 0$$ (22)

      综上所述,若需保持固定发射时间间隔T*,等间隔的武器发射时间序列优化模型可以表达为:

      $$\begin{split} & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm{min }}\quad s{T^*}{\rm{ }} \\ & {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\quad{\theta _{{\rm{limit}}}} - \left| {{{\rm{e}}^{ - n\bar t}}\left( {{C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}\bar t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}\bar t} \right)} \right| \geqslant 0 \\ & \qquad\qquad\qquad\;\; {T^*} \geqslant {T_{{\rm{limit}}}} \\ & \qquad\qquad\qquad i = 1,2, \cdots ,s \end{split} $$ (23)

      若不要求保持固定的发射频率,不等间隔的武器发射时间序列优化模型可以表达为:

      $$ \begin{split} & \qquad\qquad\qquad\quad {\rm{min }}\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^s {{T_i}} {\rm{ }} \\ & {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\quad {\theta _{{\rm{limit}}}} - \left| {{{\rm{e}}^{ - n\bar t}}\left( {{C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}\bar t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}\bar t} \right)} \right| \geqslant 0 \\ & \qquad\qquad\qquad\;\; {T_i} \geqslant {T_{{\rm{limit}}}} \\ & \qquad\qquad\qquad i = 1,2, \cdots ,s \end{split} $$ (24)
    • 本数学模型的优化问题为有约束的非线性优化问题,其一般形式为[19]

      $$ \begin{split} & \quad\min f({{x}}) \\ & {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\quad {{{g}}_{\rm{E}}}({{x}}) = {{0}} \\ &\qquad {{{g}}_{\rm{I}}}({{x}}) \leqslant {{0}} \end{split} $$ (25)

      式中:${{{g}}_{\rm{E}}}({{x}})$为优化问题中的等式约束;${{{g}}_{\rm{I}}}({{x}})$为优化问题中的非等式约束。

      引入松弛变量${{s}}$${{w}}$后,可将不等式约束转化为等式约束。为了保证在优化搜索过程中${{s}} > {{0}}$${{w}} > 0$,使用内点罚函数法定义障碍函数,将式(25)改造为式(26)[20-22]

      $$ \begin{split} & \min f({{x}}) - \mu \sum\limits_{i = 1}^{{m_{\rm{I}}}} {\ln {{{w}}^{(i)}}} \\ & \;\;\;\;\;\;\; {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\quad {{ }}{{{g}}_{\rm{E}}}({{x}}) = {{0}} \\ & \qquad\;\;\;\;\;\;\;\;{{{g}}_{\rm{I}}}({{x}}) + {{w}} = {{0}} \end{split} $$ (26)

      式中:$\mu > 0$,为惩罚因子;${m_{\rm{I}}}$为不等式约束的数量。

      该问题的Lagrange函数为

      $$\begin{split} & L({{x}},{{w}},{{{\lambda }}_{\rm{E}}},{{{\lambda }}_{\rm{I}}}) = f({{x}}) - \mu \sum\limits_{i = 1}^{{m_{\rm{I}}}} {\ln {{{w}}^{(i)}}} +\\&\qquad {{{\lambda }}_{\rm{E}}^{\rm{T}}}{{{g}}_{\rm{E}}}({{x}}) + {{{\lambda }}_{\rm{I}}^{\rm{T}}}({{{g}}_{\rm{I}}}({{x}}) + {{w}}) \end{split}$$ (27)

      式中,${{{\lambda }}_{\rm{E}}}$${{{\lambda }}_{\bf{I}}}$分别为约束条件${{{g}}_{\rm{E}}}({{x}})$${{{g}}_{\rm{I}}}({{x}})$的拉格朗日乘子。

      对于式(26)所示的等式约束问题,采用Karush-Kuhn-Tucker条件(KKT条件)可以表达为

      $$\left( \begin{array}{c} \nabla f({{x}}) + {{{J}}_{\rm{E}}^{\rm{T}}}({{x}}){{{\lambda }}_{\rm{E}}} + {{{J}}_{\rm{I}}^{\rm{T}}}({{x}}){{{\lambda }}_{\rm{I}}} \\ - \mu {{{W}}^{ - 1}}{{e}} + {{{\lambda }}_{\rm{I}}} \\ {{{g}}_{\rm{E}}}({{x}}) \\ {{{g}}_{\rm{I}}}({{x}}) + {{w}} \\ \end{array} \right) = {{0}}$$ (28)

      式中:${{{J}}_{\rm{E}}^{\rm{T}}}({{x}})$${{{J}}_{\rm{I}}^{\rm{T}}}({{x}})$分别为约束条件${{{g}}_{\rm{E}}}({{x}})$${{{g}}_{\rm{I}}}({{x}})$的Jacobi矩阵;${{W}}$为松弛变量${{w}}$各元素顺序组成的对角阵;${{e}}$为单位列矩阵。

      将牛顿迭代法应用于该问题,得到方程式(29)。对该问题给定初始点${({{{x}}^{(i)}},{{{w}}^{(i)}})^{\rm{T}}}$后,求解式(29)可得到搜索步长${{\rm{(}}\Delta {{x}},\Delta {{w}})^{\rm{T}}}$,由此即可计算出下一个搜索点${({{{x}}^{(i + 1)}},{{{w}}^{(i + 1)}})^{\rm{T}}} = {({{{x}}^{(i)}},{{{w}}^{(i)}})^{\rm{T}}} + {{\rm{(}}\Delta {{x}},\Delta {{w}})^{\rm{T}}}$

      $$\begin{split} & \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\nabla ^2}_{xx}L}&{{0}}&{{{{J}}_{\rm{E}}^{\rm{T}}}({{x}})}&{{{{J}}_{\rm{I}}^{\rm{T}}}({{x}})} \\ {{0}}&{\mu {{{W}}^{ - 2}}}&{{0}}&{{I}} \\ {{{{J}}_{\rm{E}}}({{x}})}&{{0}}&{{0}}&{{0}} \\ {{{{J}}_{\rm{I}}}({{x}})}&{{I}}&{{0}}&{{0}} \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {{x}}} \\ {\Delta {{w}}} \\ {\Delta {{{\lambda }}_{\rm{E}}}} \\ {\Delta {{{\lambda }}_{\rm{I}}}} \end{array}} \right) =\\& \;\;\;\;\qquad\left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - \nabla f({{x}}) - {{{J}}_{\rm{E}}^{\rm{T}}}({{x}}){{{\lambda }}_{\rm{E}}} - {{{J}}_{\rm{I}}^{\rm{T}}}({{x}}){{{\lambda }}_{\rm{I}}}} \\ {\mu {{{W}}^{ - 1}}{{e}} - {{{\lambda }}_{\rm{I}}}} \\ { - {{{g}}_{\rm{E}}}({{x}})} \\ { - {{{g}}_{\rm{I}}}({{x}}) - {{w}}} \end{array}} \right) \end{split}$$ (29)

      本文使用基于上述原理的Matlab优化工具箱fmincon,选取内点法(interior-point)求解优化问题式(23)和式(24)[23]。本算例中,计算参数如表1所示。

      参数数值
      总惯性矩$M$/ (kg·m2)1 000
      阻尼力矩系数$C$/(kg·m2·s−1)5
      复原力矩系数$K$/(kg·m2·s−2)100
      最大横摇角${\theta _{{\rm{limit}}}}$/(°)7
      最小间隔发射时间${T_{{\rm{limit}}}}$/ s0.5
      武器冲量矩$H$/(kg·m2·s−1)15
      发射次数s+12,3,···,11

      Table 1.  Calculation parameters

    • 以最小间隔发射时间${T_{{\rm{limit}}}}$为发射时间序列进行舰艇横摇时历曲线的仿真。此时,${{T}} = [0, 0.5, 0.5, 0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5,0.5]^{\rm{T}}$,计算未经过优化的发射总时间,并观察其是否满足最大横摇角的要求。

      最小间隔发射的舰艇横摇时历曲线如图5所示。在该发射时间序列下,完成11次发射的总时间为5 s;在第5次发射后,在惯性作用下舰艇的横摇角超过了规定的最大横摇角7°。因此,这种发射时间序列不满足使用要求。

      Figure 5.  Curve of ship roll motion with the minimum launch interval

    • 等间隔的武器发射时间序列优化结果如表2所示。

      $s$12345678910
      ${T^*}/{\rm{s}}$0.502.012.492.492.492.492.492.492.492.49

      Table 2.  Optimum time series with equal launch intervals

      其中,完成11次发射的舰艇横摇时历曲线如图6所示。在该发射时间序列下,完成11次发射的总时间为24.90 s;舰艇的横摇角始终在最大横摇角7°以内。

      Figure 6.  Optimum curve of ship roll motion with equal launch intervals

      图6中可以观察到,舰艇横摇时历曲线为一个近似的振幅逐渐减小的正弦函数,在第3次发射后达到振幅最大点,因此保证了在后续发射过程中横摇角始终满足要求。

      可以验证对于所有$s > 2$的情况,等间隔的武器发射时间序列均服从上述策略,其发射总时间(单位:s)可以表达为

      $${T_{{\rm{te}}}} = 2.49s$$ (30)

      不等间隔的武器发射时间序列优化结果如表3所示。

      时间间隔/s$s$
      12345678910
      ${T_0}$0.000.000.000.000.000.000.000.000.000.00
      ${T_1}$0.500.500.500.500.500.500.500.500.500.50
      ${T_2}$3.214.935.926.993.213.213.213.213.21
      ${T_3}$0.500.500.504.603.213.213.213.21
      ${T_4}$0.500.500.502.631.241.241.24
      ${T_5}$0.500.500.502.631.241.24
      ${T_6}$0.500.500.502.631.24
      ${T_7}$0.500.500.502.63
      ${T_8}$0.500.500.50
      ${T_9}$0.500.50
      ${T_{10}}$0.50

      Table 3.  Optimum time series with unequal launch intervals

      其中,完成11次发射的舰艇横摇时历曲线如图7所示。在该发射时间序列下,完成11次发射的总时间为14.75 s;舰艇的横摇角始终在最大横摇角7°以内。

      Figure 7.  Optimum curve of ship roll motion with unequal launch intervals

      图7可以观察到,该优化后的舰艇横摇时历曲线体现了3种减少发射总时间的不同策略:在开始阶段,舰艇第0次发射后在到达最大横摇角前还可以承受多次发射,所以应尽可能多地发射。在中间阶段,利用发射带来的角速度增量对冲原先的横摇角速度,使舰艇再次横摇到最大横摇角。${T_3}$~${T_6}$均采用了该策略,形成了3个相同的发射周期。最后阶段,在总机械能由于阻尼的作用而减小,且负方向的横摇角速度足够大时,以最小间隔发射时间快速地把剩下的弹药全部发射完,保证武器全部发射完成以后舰艇的最大横摇角满足要求。从图7可以观察到,${T_8}$~${T_{10}}$均取0.5 s,而在弹药全部发射完后的3 s内舰艇发生的最大一次横摇运动正好为7°。

      可以验证对于所有$s > 7$的情况,不等间隔的武器发射时间序列均服从上述策略,其发射总时间${T_{{\rm{tue}}}}$可以表达为

      $$\begin{split} {T_{{\rm{tue}}}} = & 0.50 + 3.21 \times 2 + 1.24\left( {s - 7} \right) + \\& 2.63 + 0.50 \times 3 = 1.24s + 2.40 \end{split}$$ (31)

      比较等间隔和不等间隔的武器发射时间序列:在2种发射模式下,横摇角均为正值,即舰艇未经过平衡位置做逆时针运动。这是因为抑制舰艇运动响应是通过利用负方向的角速度对冲发射引起的角速度增量来实现的。如果舰艇做逆时针运动且经过平衡位置后再发射,记该发射角度为${\theta _{l - }}$,认为可以满足运动响应且发射间隔最短,那么必然存在一个经过平衡位置前的角度位置${\theta _{l + }}$,并满足${\theta _{l - }} = - {\theta _{l + }}$,且在横摇阻尼的作用下,2个位置的横摇角速度有关系${\dot \theta _{l - }} < {\dot \theta _{l + }}$。这就意味着在${\theta _{l + }}$发射能够更好地抑制横摇运动且发射间隔更短。所以舰艇在最优武器发射时间序列下不可能经过平衡位置做逆时针运动。从发射时间来看,相同发射次数下不等间隔发射的总时间仅为等间隔的一半,发射效率更高。这是因为等间隔的武器发射时间序列优化模型(式(23))可以转化为与不等间隔发射模型(式(24))相似的形式,如式(32)所示。所以事实上等间隔发射模型是不等间隔发射模型的一个约束条件更多的特例,优化结果一定不会优于不等间隔发射。

      $$ \begin{split} & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad {\rm{min }}\sum\limits_{i = 1}^s {{T_i}} {\rm{ }} \\ & {\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }}\quad {\theta _{{\rm{limit}}}} - \left| {{{\rm{e}}^{ - n\bar t}}\left( {{C_{1,i}}\cos {\omega _{\rm{d}}}\bar t + {C_{2,i}}\sin {\omega _{\rm{d}}}\bar t} \right)} \right| \geqslant 0 \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {T_i} \geqslant {T_{{\rm{limit}}}} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {T_i} = {T_1} \\ & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\qquad\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; i = 1,2, \cdots ,s \end{split} $$ (32)

      对武器系统本身的性能来说,不等间隔发射也是优于等间隔发射的。每发弹药发射的初始条件不同,会引起不同的起始扰动,从而严重影响射击精度和射击密集度[24]。在舰艇上,可以将舰艇的横摇角和横摇角速度看作每发弹药发射的初始条件。于存贵等[25]对舰艇横浪、斜浪和顶浪工况下火箭炮的发射进行了动力学仿真,认为船舶在波浪作用下产生的摇荡运动会对火箭炮的射击效果产生影响。本文中,最优的不等间隔发射时间序列在中间阶段产生了$s - 7$个相同的发射周期,所以中间阶段的舰艇横摇角和横摇角速度相同。又由于此时舰艇横摇运动刚刚越过角度峰值,横摇角速度也相对较小。这对减小武器发射的初始扰动,提升射击精度和射击密集度非常有利。此外,在武器大量发射的情况下,也可以近似看作是等间隔发射,所以对武器发射控制系统的要求不会很高。

    • 本文基于船舶线性横摇模型和角动量定理,建立了武器发射过程的数学模型,并求解了满足运动响应约束条件的最速武器发射时间序列,得到以下主要结论:

      1) 以最小间隔发射时间连续发射可能无法满足使用要求,优化后的武器发射时间序列在满足最大横摇角要求的前提下可以最小化发射总时间;

      2) 优化的等间隔发射舰艇横摇曲线呈振幅不断减小的正弦函数状。

      3) 不等间隔的武器发射时间序列的优化结果揭示了3类提升发射速度的策略—开始阶段尽可能多地发射,中间阶段利用舰艇横摇的负角速度实现周期性地发射,最后阶段通过延长某一次发射间隔实现最小时间间隔的连续发射。

      4) 舰艇在最优武器发射时间序列下不可能经过平衡位置做反方向横摇运动。

      5) 不等间隔的武器发射时间序列相对等间隔发射可以节省约一半的发射时间,并提高射击精度和密集度,大大提升了小型水面舰艇的使用性、战斗力和生命力。

Reference (25)

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