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随着无人航行平台的迅速发展和任务需求的不断拓展，多平台的编队控制技术受到广泛关注。国内外相关学者在编队控制方面展开了积极的研究，并在不同应用场景下取得了大量研究成果，包括无人机集群[1]、无人艇集群[2]和无人车集群[3]。根据实现思想的不同，经典的编队控制方法主要可以总结为以下3种：基于领航−跟随者[4]的方法、基于行为[5]的方法和虚拟结构法[6]。这些经典编队控制方法虽然各有优缺点，但都难以满足编队控制分布式、自主化和集群化的需求。
近年来，基于一致性的方法通过图论理论描述集群平台之间的通信拓扑，并逐渐融合了其他经典方法，目前已发展成为编队控制的主要方法。当前一致性编队控制问题研究主要集中在一致性控制协议设计及其稳定性分析上。Dong等[7]采用内/外环结构建立了编队控制框架，并基于一致性理论讨论了时延、拓扑切换[8]、外部扰动[9]等条件下无人机集群时变编队控制的稳定性和充要条件。Antonelli等[10]针对一阶系统的时变编队控制问题进行研究，讨论了不同通信拓扑、包含饱和输入约束等多种情况下的编队全局收敛性，并用轮式机器人进行了验证。Zhao等[11]对由无人机和无人车组成的异构集群时变编队控制问题进行了研究，结果显示编队跟踪误差在有限时间内收敛了。上述研究均是针对连续时间系统展开，而针对离散时间系统方面的研究则相对较少。Zhang等[12]通过多步预测控制策略，实现了高阶线性离散时间多智能体系统能够快速收敛至固定编队。Xu等[13]对具有一致通信时延和固定拓扑结构的二阶离散系统的编队控制问题予以了研究。但文献[12-13]所研究的都是固定编队控制问题，所得结论并不能应用于时变编队情况。
由当前研究进展可以看出，一致性方法在连续时间系统编队控制问题中已得到广泛研究，但在实际应用中，因海上无人集群系统通常无法给出连续的控制指令，而将连续系统的结论应用到离散系统中会存在因控制参数不合理而使得系统不收敛的情况。针对离散时间系统编队控制问题，当前文献主要集中在固定编队控制研究方面，难以满足海上无人集群的应用需求。为此，本文拟基于虚拟领航者思想，采用内/外环分层编队控制结构，将一致性编队控制方法应用到海上无人集群时变编队控制中。首先，基于离散时间系统进行系统建模，采用基于位置和速度误差反馈的分布式控制协议；然后，在有向通信拓扑条件下，证明控制协议的稳定性，并给出期望构型可行性条件和控制协议参数，以及控制器更新周期约束条件；最后，仿真验证理论结果的有效性。
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本文符号说明：
${{\bf{1}}_N}$ (${{\bf{0}}_N}$ )表示所有元素均为1(0)的列向量，在不引起歧义的情况下，用${\bf{1}}$ (${\bf{0}}$ )表示元素全为1(0)的相应维数的矩阵或向量；${{{I}}_N}$ 表示N阶单位矩阵；${\rm{i}}$ 为虚数单位，即${{\rm{i}}^2} = 1$ 。考虑由
$N$ 个平台组成海上无人集群，包含无人艇和无人机，记为$ {U}_{1},\;{U}_{2},\;\cdots ,\;{U}_{N}$ ，记${\mathcal{Z}_N} = \{ 1,2, \cdots ,N\} $ 为平台编号集合。集群的通信网络拓扑可以用加权图$ G=(W,\;E,\;{{A}}{)}$ 来描述，其中$ W=\left\{{\omega }_{1},\;{\omega }_{2},\;\cdots ,\;{\omega }_{N}\right\}$ 为图$G$ 的节点集，$ E=\left\{({\omega }_{i},\;{\omega }_{j}):{\omega }_{i},\;{\omega }_{j}\in W\right\}$ 为边集，${{A}} = {[{a_{ij}}]_{N \times N}}$ ，为邻接矩阵。若${U_i}$ 能够接收到${U_j}$ 的信息，则称${U_j}$ 为${U_i}$ 的邻居，则在图$G$ 中存在一条由节点${\omega _j}$ 指向节点${\omega _i}$ 的有向边$ ({\omega }_{j},\;{\omega }_{i})\in E$ 。${a_{ij}}$ 为平台${U_j}$ 的信息对平台${U_i}$ 的权重因子，若$ ({\omega }_{j},\;{\omega }_{i})\in E$ ，则${a_{ij}} > 0$ ，否则，${a_{ij}}=0$ 。若对$ \forall i,\;j\in {{\cal Z}}_{N}$ ，有${a_{ij}} = {a_{ji}}$ ，则称$G$ 为无向图，否则，$G$ 为有向图。若存在一个有序的有向边序列$ ({\omega }_{i},\;{\omega }_{{i}_{1}}),\;({\omega }_{{i}_{1}},\;{\omega }_{{i}_{2}}),\;\cdots ,\;({\omega }_{{i}_{m}},\;{\omega }_{j})\in E$ ，则称图$G$ 中存在由节点${\omega _i}$ 到${\omega _j}$ 的有向路径。若图$G$ 中存在一个节点，其与其他任意节点之间都存在有向路径，则称图$G$ 包含一个有向生成树。图$G$ 的拉普拉斯矩阵${{L}} = {[{l_{ij}}]_{N \times N}}$ 定义为：$${l_{ij}} = \left\{ \begin{aligned} & {\sum\limits_{k = 1,k \ne i}^N {{a_{ik}}} \;,}&{i = j}\\ & { - {a_{ij}}\;,}&{i \ne j} \end{aligned}\right.$$ (1) 下面，将给出分析海上无人集群编队控制问题需要用到的基本引理。
引理1[14]：对于包含
$N$ 个节点的有向图$G$ ，其拉普拉斯矩阵${{L}}$ 具有如下性质：1) 拉普拉斯矩阵
${{L}}$ 至少有一个零特征值，${{\bf{1}}_N}$ 为特征值0对应的特征向量，即${{L}}{{\bf{1}}_N} = {{\bf{0}}_N}$ ；2) 仅当图
$G$ 包含有向生成树时，0是${{L}}$ 的代数重数为1的特征值，其他非零特征值均具有正实部；3) 若图
$G$ 为无向图且是连通的，则0是${{L}}$ 的代数重数为1的特征值，其他非零特征值均为正实数。 -
海上无人集群主要由无人艇集群和无人机集群组成，其运动空间涵盖海面和空中。本文所指的无人机为旋翼无人机，其运动速度与无人艇基本匹配。由于平台特性和运动环境的差异，无人机与无人艇的动力学模型不同。对于海上无人集群中的各平台，考虑到位置控制的时间常数远大于姿态控制，在仅考虑位置和速度的编队控制中，可以把控制器解耦成内环和外环的分层结构分别进行设计[1]，如图1所示。
图 1 内/外环分层编队控制结构框图
Figure 1. Inner/outer loop layered control structure of formation
在内/外环结构中，外环为编队构型控制层，可以根据期望构型、邻居状态、参考航迹等信息计算本机的控制输入，从而使运动平台以期望的速度到达期望的位置；内环控制则根据编队控制层的输出，结合动力学特性，对姿态/舵面、油门/推力进行控制。这种分层控制结构的相关理论和应用已经较为成熟，使得相关研究的重点可以集中到任务决策方法和外环控制律的设计及其稳定性分析上，从而提高了算法对于异构集群的兼容性。本文主要针对外环控制进行研究和分析，因此在编队控制层面上，将无人艇和无人机视为是一个质点系统，每个平台的运动模型可以近似地采用二阶积分器来描述。
$$\left\{ \begin{array}{l} {{{\dot{ x}}}_i}(t) = {{{v}}_i}(t) \\ {{{\dot{ v}}}_i}(t) = {{{u}}_i}(t) \end{array} \right.$$ (2) 在依靠跨域通信网络的编队控制中，状态信息需要通过网络进行周期性的交互和更新。考虑到通信网络传输的数字采样和时间离散特性，采用差分近似法对式（2）进行离散化处理，得到如下二阶离散时间系统形式：
$$\left\{ \begin{array}{l} {{{x}}_i}(t + \delta ) = {{{x}}_i}(t) + \delta {{{v}}_i}(t) \\ {{{v}}_i}(t + \delta ) = {{{v}}_i}(t) + \delta {{{u}}_i}(t) \end{array} \right.$$ (3) 式中：
${{{x}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ ，${{{v}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ ，分别为$t$ 时刻平台${U_i}$ 的位置和速度矢量，其中$n$ 为集群平台运动空间维数；${{{u}}_i}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ ，为加速度控制输入；$t = {t_0} + k\delta $ ，为控制器更新时刻，其中${t_0} \geqslant 0$ 和$\delta > 0$ 分别为初始时刻和控制器更新周期，$ k=0,\;1,\;2\cdots $ 。由于上述离散系统在各维度上是解耦的，所以所有结论可从一维扩展到高维情况，本文选取$n=1$ 的情况进行研究。 -
海上无人集群在执行作战任务时，通常需要保持一定的队形并按照期望航迹编队航行，以实现无人集群协调运动和通信稳定连接。例如，在协同搜索、巡逻任务过程中，海上无人集群通常保持固定的编队以增大探测范围；在查证、定位任务过程中，需要多域多平台持续环绕敌方平台，此时，便需要保持时变编队。期望航迹通常由多条直线段衔接组成，假设存在一个虚拟领航者
${U_0}$ 按照期望航迹匀速运动，其期望航迹可以描述为以下离散系统：$$\left\{ \begin{aligned} & {{{x}}_0}(t + \delta ) = {{{x}}_0}(t) + \delta {{{v}}_0}(t) \\& {{{v}}_0}(t + \delta ) = {{{v}}_0}(t) \end{aligned} \right.$$ (4) 式中：
${{{x}}_0}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ ，${{{v}}_0}(t) \in {{\bf{R}}^n}$ ，分别为$t$ 时刻期望航迹的位置和速度矢量；$\delta > 0$ ，为航迹信息更新周期，与控制器更新周期相等。虚拟领航者并非实体平台，其航迹信息不受其他个体航行信息的影响。在有向通信拓扑中，集群内部分个体能够直接获取虚拟领航者的期望航迹信息。在不同的任务中，可能需要集群保持固定或时变编队。为了理论研究工作的适用性，本文针对集群时变编队控制问题展开了研究，得到的编队控制器同时适用于固定编队和时变编队控制。时变期望构型参数可用如下有界函数表示：
$$ \begin{split} & {{f}}(t) = {[{{f}}_{\rm{x}}^{\rm{T}}(t),\;{{f}}_{\rm{v}}^{\rm{T}}(t),\;{{f}}_{\rm{a}}^{\rm{T}}(t)]^{\rm{T}}}\\& {{{f}}_{\rm{x}}}(t) = {[{f_{{\rm{x}}0}}(t),\;{f_{{\rm{x1}}}}(t),\; \cdots ,\;{f_{{\rm{x}}N}}(t)]^{\rm{T}}}\\& {{{f}}_{\rm{v}}}(t) = {[{f_{{\rm{v}}0}}(t),\;{f_{{\rm{v}}1}}(t),\; \cdots ,\;{f_{{\rm{v}}N}}(t)]^{\rm{T}}}\\& {{{f}}_{\rm{a}}}(t) = {[{f_{{\rm{a}}0}}(t),\;{f_{{\rm{a1}}}}(t),\; \cdots ,\;{f_{{\rm{a}}N}}(t)]^{\rm{T}}} \end{split}$$ (5) 式中：
${{{f}}_{\rm{x}}}(t)$ ，${{{f}}_{\rm{v}}}(t)$ 和${{{f}}_{\rm{a}}}(t)$ 分别为编队参考向量的位置、速度和加速度分量；${f_{{\rm{x}}i}}(t)$ ，${f_{{\rm{v}}i}}(t)$ 和${f_{{\rm{a}}i}}(t)$ 分别为集群个体${U_i}$ 相对于虚拟领航者${U_0}$ 的期望位置、速度和加速度矢量差。按照上述定义，虚拟领航者${U_0}$ 的编队参考向量为${f_{{\rm{x}}0}}(t) = {f_{{\rm{v0}}}}(t) = {f_{{\rm{a}}0}}(t) = 0$ 。对于时变编队控制问题，上述参数是随时间变化的，而对于固定编队控制问题，其固定期望构型参数${{{f}}_{\rm{x}}}(t)$ 为常向量，${{{f}}_{\rm{v}}}(t)={{{f}}_{\rm{a}}}(t)={{\bf{0}}_{N + 1}}$ 。下面，将给出海上无人集群编队控制的定义。定义1：若集群实现了期望时变编队构型
${{f}}(t)$ ，并保持了对期望航迹的跟踪，则称集群实现了期望构型和航迹跟踪。集群实现编队跟踪控制稳定的充要条件为：对任意平台${U_i}$ ($i \in {{\cal Z}_N}$ )，有下式成立：$$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{x_i}(t) - {f_{{\rm{x}}i}}(t) - {x_0}(t)} \right) = 0 \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{v_i}(t) - {f_{{\rm{v}}i}}(t) - {v_0}(t)} \right) = 0 \end{array} \right.$$ (6) -
为便于描述，本节选取
$n=1$ 的情况进行了研究，所得结论能够通过Kronecker积推广至高维情况。令集群位置向量为${{x}}(t) = {[{x_0}(t),{x_1}(t), \cdots ,{x_N}(t)]^{\rm{T}}}$ ，速度向量为${{v}}(t) = {[{v_0}(t),{v_1}(t), \cdots ,{v_N}(t)]^{\rm{T}}}$ ，控制输入为${{u}}(t) = {[{u_0}(t),{u_1}(t), \cdots ,{u_N}(t)]^{\rm{T}}}$ ，代入式（3），整理得到离散时间系统状态空间方程为$$\begin{split} & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t + \delta )} \\ {{{v}}(t + \delta )} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ {\bf{0}}&{{{{I}}_{N + 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t)} \\ {{{v}}(t)} \end{array}} \right] +\\&\qquad\qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{0}}&{\bf{0}} \\ {\bf{0}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}_{N + 1}}} \\ {{{u}}(t)} \end{array}} \right] \end{split}$$ (7) 针对海上无人集群在有向通信拓扑下的分布式编队跟踪控制问题，对于任意平台
${U_i}$ ($i \in {{\cal Z}_N}$ )，采用如下基于邻居位置、速度信息的分布式控制协议：$$ \begin{split} & {u_i}(t) = - \alpha \sum\limits_{j = 0}^N {{a_{ij}}\left[ {{x_i}(t) - {f_{{\rm{x}}i}}(t) - \left( {{x_j}(t) - {f_{{\rm{x}}j}}(t)} \right)} \right]} - \\ &\quad \beta \sum\limits_{j = 0}^N {{a_{ij}}\left[ {{v_i}(t) - {f_{{\rm{v}}i}}(t) - \left( {{v_j}(t) - {f_{{\rm{v}}j}}(t)} \right)} \right]} + {f_{{\rm{a}}i}}(t) \end{split} $$ (8) 式中，
$ \alpha ,\;\beta >0$ ，分别为位置和速度反馈系数。为便于推导，将上述控制协议推广到$i=0$ 的情况，容易得到${u_0}(t) = 0$ 。将控制协议式（8）代入${{u}}(t)$ 中，整理得到$${{u}}(t) = - \alpha {{L}}\left( {{{x}}(t) - {{{f}}_{\rm{x}}}(t)} \right) - \beta {{L}}\left( {{{v}}(t) - {{{f}}_{\rm{v}}}(t)} \right) + {{{f}}_{\rm{a}}}(t)$$ (9) 将式（9）代入式（7），系统状态空间方程转化为如下形式：
$$ \begin{split} & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t + \delta )} \\ {{{v}}(t + \delta )} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t)} \\ {{{v}}(t)} \end{array}} \right] + \\ &\qquad \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{0}}&{\bf{0}} \\ {\alpha \delta {{L}}}&{\beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_{\rm{x}}}(t)} \\ {{{{f}}_{\rm{v}}}(t)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}_{N + 1}}} \\ {\delta {{{f}}_{\rm{a}}}(t)} \end{array}} \right] \end{split} $$ (10) 首先，令
${\psi _{{\rm{x}}i}}(t) = {x_i}(t) - {f_{{\rm{x}}i}}(t) - {x_0}(t)$ ，${\psi _{{\rm{v}}i}}(t) = {v_i}(t) - {f_{{\rm{v}}i}}(t) - {v_0}(t)$ ，当$i=0$ 时，${\psi _{{\rm{x}}0}}(t) = {\psi _{{\rm{v}}0}}(t) = 0$ 。令${{{\psi}} }_{\rm{x}}(t)= {[{\psi }_{\rm{x}0}(t),\;{\psi }_{\rm{x}1}(t),\;\cdots ,\;{\psi }_{{\rm{x}}N}(t)]}^{\rm{T}}$ ，${{\psi }}_{\rm{v}}(t)=[{\psi }_{{\rm{v}}0}(t),\;{\psi }_{{\rm{v}}1}(t),\;\cdots , \;{\psi }_{{\rm{v}}N}(t)]^{\rm{T}}$ ，$ {{\psi}} (t)={[{{{\psi}} }_{\rm{x}}^{\rm{T}}(t),\;{{{\psi}} }_{\rm{v}}^{\rm{T}}(t)]}^{\rm{T}}$ ，则海上无人集群实现期望构型和航迹跟踪的充要条件式（6）可以转化为$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{\psi }}(t) = {\bf{0}}$$ (11) -
定理1：具有有向通信拓扑的海上无人集群在控制协议式（8）的作用下能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件是：当且仅当对于任意
$i \in {{\cal Z}_N}$ ，期望构型满足如下可行性条件：$$\left\{ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{f_{{\rm{x}}i}}(t) + \delta {f_{{\rm{v}}i}}(t) - {f_{{\rm{x}}i}}(t + \delta )} \right){\rm{ = 0}} \\ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left( {{f_{{\rm{v}}i}}(t) + \delta {f_{{\rm{a}}i}}(t) - {f_{{\rm{v}}i}}(t + \delta )} \right){\rm{ = 0}} \end{array} \right.$$ (12) 且以下线性离散时间系统渐近稳定。
$${{\psi }}(t + \delta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]{{\psi }}(t)$$ (13) 证明：根据
${{\psi }}(t)$ 的定义，可得$${{\psi }}(t)=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t) - {{{f}}_{\rm{x}}}(t) - {{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t)} \\ {{{v}}(t) - {{{f}}_{\rm{v}}}(t) - {{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t)} \end{array}} \right]$$ (14) 则有
$${{\psi }}(t + \delta )=\left[ \!\!\!\!{\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t + \delta )} \\ {{{v}}(t + \delta )} \end{array}}\!\!\!\! \right] - \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_{\rm{x}}}(t + \delta )} \\ {{{{f}}_{\rm{v}}}(t + \delta )} \end{array}} \!\!\!\!\right] - \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t + \delta )} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t + \delta )} \end{array}} \!\!\!\!\right]$$ (15) 将式（14）代入式（10），可得
$$ \begin{split} & \quad\;\;\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{x}}(t + \delta )} \\ {{{v}}(t + \delta )} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]{{\psi }}(t) +\\& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ {\bf{0}}&{{{{I}}_{N + 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_{\rm{x}}}(t)} \\ {{{{f}}_{\rm{v}}}(t)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]\cdot\\&\quad\qquad\qquad\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t)} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t)} \end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{0}}_{N + 1}}} \\ {\delta {{{f}}_{\rm{a}}}(t)} \end{array}} \right] \\[-18pt] \end{split} $$ (16) 由式（3），可得
$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t + \delta )} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t + \delta )} \end{array}} \right]=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ {\bf{0}}&{{{{I}}_{N + 1}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t)} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t)} \end{array}} \right]$$ (17) 根据拉普拉斯矩阵的性质，有
${{L}}{{\bf{1}}_{N + 1}}={{\bf{0}}_{N + 1}}$ ，则有$$ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\bf{0}}&{\bf{0}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{ - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{x_0}(t)} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{v_0}(t)} \end{array}} \right] = {{\bf{0}}_{2(N + 1)}}$$ (18) 将式（16）~式（18）代入式（15），可得
$$ \begin{split} & {{\psi }}(t + \delta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]{{\psi }}(t) + {{F}}(t) \\&\qquad {{F}}(t) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{f}}_{\rm{x}}}(t) + \delta {{{f}}_{\rm{v}}}(t) - {{{f}}_{\rm{x}}}(t + \delta )} \\ {{{{f}}_{\rm{v}}}(t) + \delta {{{f}}_{\rm{a}}}(t) - {{{f}}_{\rm{v}}}(t + \delta )} \end{array}} \right] \end{split} $$ (19) 海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件式（11）可以等价于
$${{\psi }}(t + \delta ) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]{{\psi }}(t)$$ (20) 渐近稳定，且满足可行性条件
$$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } {{F}}(t) = {{\bf{0}}_{2(N + 1)}}$$ (21) 可以很容易地验证式（21）等价于式（12），结论得以验证。
注释1：由定理1可知，在控制协议式（8）的作用下，并非任意的期望构型都可以实现。式（12）称为期望构型的可行性条件，表示期望构型的位置、速度和加速度分量必须满足运动学特性。不仅如此，该可行性条件还给出了设计时变编队构型的数学准则，在设计期望时变编队构型时，需严格遵守该准则。
在满足可行性条件式（12）的情况下，只要线性离散时间系统式（13）渐近稳定，海上无人集群系统便能够实现编队控制和航迹跟踪。为便于后文推导，令线性离散时间系统式（13）中的系统矩阵为
$${{\varGamma }} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{{I}}_{N + 1}}}&{\delta {{{I}}_{N + 1}}} \\ { - \alpha \delta {{L}}}&{{{{I}}_{N + 1}} - \beta \delta {{L}}} \end{array}} \right]$$ (22) 显然，线性离散时间系统（13）的稳定性与矩阵
${{\varGamma }}$ 的性质有关。下面，将给出线性离散时间系统式（13）渐近稳定的充要条件，在该过程中，需要用到以下结论。引理2：0是拉普拉斯矩阵
${{L}}$ 的代数重数m的特征值，则1是矩阵${{\varGamma }}$ 的代数重数2m的特征值。证明：记拉普拉斯矩阵
${{L}}$ 的特征值为${\tau _i}(i = 1, \cdots ,N)$ ，设矩阵${{\varGamma }}$ 的特征值为$\mu $ ，则由特征值的定义，可知$$\begin{array}{c} \det \left( {\mu {{{I}}_{2(N + 1)}} - {{\varGamma }}} \right) = \\ \displaystyle\prod\limits_{i = 1}^{N + 1} {\left\{ {{{(\mu - 1)}^2} + \left[ {\alpha {\delta ^2} + (\mu - 1)\beta \delta } \right]{\tau _i}} \right\}=0} \\ \; \end{array} $$ (23) 则可求得矩阵
${{\varGamma }}$ 的特征值为$${\mu _{i1,2}} = 1 + \frac{{ - \beta {\tau _i} \pm \sqrt {{\beta ^2}\tau _i^2 - 4\alpha {\tau _i}} }}{2}\delta $$ (24) 令
${\mu _{i1,2}} = 1$ ，有$$ - \beta {\tau _i} \pm \sqrt {{\beta ^2}\tau _i^2 - 4\alpha {\tau _i}} {\rm{ = 0}}$$ (25) 由于
$\alpha > 0$ ，当且仅当${\tau _i}{\rm{ = 0}}$ 时，上式成立，即仅当${\tau _i}{\rm{ = 0}}$ 时，${\mu _{i1,2}} = 1$ ，结论得以验证。定理2：当期望构型满足可行性条件式（12）时，在控制协议式（8）作用下，具有有向通信拓扑的海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件是：矩阵
${{\varGamma }}$ 特征值1的代数重数为2，其余特征值均在单位圆内。证明：对于充分性，由于虚拟领航者不接收其他集群个体的信息，因此系统的拉普拉斯矩阵L可以表示为
$${{L}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{\bf{0}}_{1 \times N}}} \\ {{{{L}}^{{\rm{lf}}}}}&{{{{L}}^{{\rm{ff}}}}} \end{array}} \right]$$ (26) 式中，
${{{L}}^{{\rm{lf}}}}$ 和${{{L}}^{{\rm{ff}}}}$ 为矩阵${{L}}$ 的子块。令${{\xi }} = {[1, {\bf{0}}_N^{\rm{T}}]^{\rm{T}}}$ ，则有$${{{\xi }}^{\rm{T}}}{{L}} = 0 \cdot {{{\xi }}^{\rm{T}}}$$ (27) 式中，
${{{\xi }}^{\rm{T}}}$ 为矩阵${{L}}$ 属于特征值0的左特征向量。根据线性方程组
$\left( {{{{I}}_{2(N + 1)}} - {{\varGamma }}} \right){{x}} = {{\bf{0}}_{2(N + 1)}}$ ，可以很容易地验证其解空间的维数为1，即矩阵${{\varGamma }}$ 特征值1的几何重数为1。并且，矩阵${{\varGamma }}$ 特征值1的代数重数为2，故存在可逆矩阵${{P}}$ ，使${{{P}}^{ - 1}}{{\varGamma P}} = {{J}}$ ，其中${{J}}$ 为${{\varGamma }}$ 的Jordan标准型，可表示为如下形式：$${{J}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1&{\bf{0}} \\ 0&1&{\bf{0}} \\ {\bf{0}}&{\bf{0}}&{{\tilde{ J}}} \end{array}} \right]$$ (28) 式中，
${\tilde{ J}}$ 为${{J}}$ 的子块。设$ {{P}}=({{{\gamma}} }_{1},\;\cdots ,\;{{{\gamma}} }_{2(N+1)})$ ，${{{P}}^{ - 1}} = {({{{\eta }}_1} , \cdots , {{{\eta }}_{2(N + 1)}})^{\rm{T}}}$ ，代入${{{P}}^{ - 1}}{{\varGamma P}} = {{J}}$ ，可得$$\left\{ \begin{array}{l} {{\varGamma }}{{{\gamma }}_1} = {{{\gamma }}_1} \\ {{\varGamma }}{{{\gamma }}_2} = {{{\gamma }}_1} + {{{\gamma }}_2} \end{array} \right.$$ (29) 式中，
${{{\gamma }}_1}$ ，${{{\gamma }}_2}$ 分别为${{\varGamma }}$ 属于特征值1的特征向量和广义特征向量，计算可得$ {{{\gamma}} }_{1}={[{\bf{1}}_{N+1}^{\rm{T}},\;{\bf{0}}_{N+1}^{\rm{T}}]}^{\rm{T}}$ ，${{{\gamma}} }_{2}= {[{\bf{0}}_{N+1}^{\rm{T}},\;{\dfrac{1}{\delta }}{\bf{1}}_{N+1}^{\rm{T}}]}^{\rm{T}}$ 。同理，可得$$\left\{ \begin{array}{l} {{\eta }}_1^{\rm{T}}{{\varGamma }} = {{\eta }}_1^{\rm{T}} + {{\eta }}_2^{\rm{T}} \\ {{\eta }}_2^{\rm{T}}{{\varGamma }} = {{\eta }}_2^{\rm{T}} \end{array} \right.$$ (30) 式中，
${{\eta }}_{1}^{\rm{T}}$ ，${{\eta }}_{\rm{2}}^{\rm{T}}$ 分别为${{\varGamma }}$ 属于特征值1的左广义特征向量和左特征向量。考虑${{{P}}^{ - 1}}{{P}} = {{I}}$ 这一条件，即${{\eta }}_1^{\rm{T}}{{{\gamma }}_1}={{\eta }}_2^{\rm{T}}{{{\gamma }}_2}=1$ ，计算可得$ {{\eta}}_{1}={[{{{\xi}} }^{\rm{T}},\;{\bf{0}}_{N+1}^{\rm{T}}]}^{\rm{T}}$ ，${{\eta}}_{2}=[{\bf{0}}_{N+1}^{\rm{T}}, \;\delta {{{\xi}} }^{\rm{T}}]^{\rm{T}}$ ，其中${{{\xi }}^{\rm{T}}}$ 是矩阵${{L}}$ 属于特征值0的左特征向量。则有$$ \begin{split} & \underset{k\to +\infty }{\mathrm{lim}}{{{\varGamma}} }^{k}=\underset{k\to +\infty }{\mathrm{lim}}{{P}}\left[\begin{array}{ccc}1& k& {\bf{0}}\\ 0& 1& {\bf{0}}\\ {\bf{0}}& {\bf{0}}& \underset{k\to +\infty }{\mathrm{lim}}{\tilde{{J}}}^{k}\end{array}\right]{{P}}^{-1}=\\&\qquad \underset{k\to +\infty }{\mathrm{lim}}({{{\gamma}} }_{1},\;{{{\gamma}} }_{2})\left[\begin{array}{cc}1& k\\ 0& 1\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{{{\eta}} }_{1}^{\rm{T}}\\ {{{\eta}} }_{2}^{\rm{T}}\end{array}\right)+\\&\quad ({{{\gamma}} }_{3},\;\cdots ,\;{{{\gamma}} }_{2(N+1)})\underset{k\to +\infty }{\mathrm{lim}}{\tilde{{J}}}^{k}\left(\begin{array}{c}{{{\eta}} }_{3}^{\rm{T}}\\ \vdots \\ {{{\eta}} }_{2(N+1)}^{\rm{T}}\end{array}\right) \end{split}$$ (31) 由于矩阵
${{\varGamma }}$ 除2个特征值为1外，其余特征值均在单位圆内，即有$\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {{\tilde{ J}}^k} = {\bf{0}}$ ，则$$ \begin{split} & \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {{{\varGamma }}^k} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } ({{{\gamma }}_1},{{{\gamma }}_2})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&k \\ 0&1 \end{array}} \right]\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\eta }}_1^{\rm{T}}} \\ {{{\eta }}_2^{\rm{T}}} \end{array}} \right) = \\ &\qquad \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}}&{k\delta {{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}} \\ {\bf{0}}&{{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right] \end{split} $$ (32) 将式（32）代入线性离散时间系统式（13）中，记初始时刻为
${t_0}$ ，可得$$ \begin{split} & \qquad\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {{\psi }}(t) = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {{\psi }}({t_0} + k\delta ) = \\ & \quad\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}}&{k\delta {{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}} \\ {\bf{0}}&{{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}} \end{array}} \right]{{\psi }}({t_0})= \\ & \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}{{{\psi }}_{\rm{x}}}({t_0}) + k\delta {{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}{{{\psi }}_{\rm{v}}}({t_0})} \\ {{{\bf{1}}_{N + 1}}{{{\xi }}^{\rm{T}}}{{{\psi }}_{\rm{v}}}({t_0})} \end{array}} \right] \end{split}$$ (33) 因为
${\psi _{{\rm{x}}0}}(t) = {\psi _{{\rm{v0}}}}(t) = 0$ ，则有$$ {{{\xi}} }^{\rm{T}}{\psi }_{\rm{x}}(t)=0,\;\;{{{\xi}} }^{\rm{T}}{\psi }_{\rm{v}}(t)=0$$ (34) 将式（34）代入式（33），可得
$$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {{\psi }}(t) = {{\bf{0}}_{2(N + 1)}}$$ (35) 线性离散时间系统式（13）渐近稳定，由定理1可知，海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪，定理的充分性得以验证。
对于必要性，采用反证法进行证明。假设矩阵
${{\varGamma }}$ 特征值1的代数重数大于2，则${\tilde{ J}}$ 至少有1个特征值的幅值大于1，即$\mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } {{\tilde{ J}}^k} \ne {\bf{0}}$ ，故可进一步推导得到$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } {{\psi }}(t) \ne {{\bf{0}}_{2(N + 1)}}$ 。线性离散时间系统式（13）非渐近稳定，显然与海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪相矛盾，定理的必要性得以验证。注释2：由定理2可知，当矩阵
${{\varGamma }}$ 特征值1的代数重数为2，其余特征值均在单位圆内时，线性离散时间系统式（13）渐近稳定。而矩阵${{\varGamma }}$ 的特征值取值与拉普拉斯矩阵${{L}}$ 、参数$\alpha ,\;\beta$ 和控制器更新周期$\delta $ 相关。下面，进一步推导两者之间的关系。定理3：当期望构型满足可行性条件式（12）时，在控制协议式（8）的作用下，具有有向通信拓扑的海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件是：通信拓扑具有以虚拟领导者为根节点的有向生成树，且参数
$\alpha ,\;\beta$ 和控制器更新周期$\delta $ 满足下式：$$\left\{ { \begin{aligned} & {(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i}) > 0} \\ & {\beta - \alpha \delta > 0} \\ & {{{(\beta \! -\! \alpha \delta )}^2}|{\lambda _i}{|^2}\left[ {(\alpha {\delta ^2} \!-\! 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2}\! + \!4{\rm{Re}} ({\lambda _i})} \right] \!-\! 4\alpha {{{\rm{Im}} }^2}({\lambda _i}) \!>\! 0} \end{aligned}} \right.$$ (36) 式中，
${\lambda _i}$ 为拉普拉斯矩阵${{L}}$ 除0以外的所有特征值，${\rm{Re}} ({\lambda _i})$ 和${\rm{Im}} ({\lambda _i})$ 分别为其实部和虚部。证明：对于必要性，由定理2可知，海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件是：矩阵
${{L}}$ 特征值1的代数重数为2，其余特征值均在单位圆内。结合引理2可知，拉普拉斯矩阵${{L}}$ 仅有一个零特征值，记为${\lambda _1} = 0$ 。令$\mu - 1 = s$ ，由式（23），可得$$ {s}^{2}+\beta \delta {\lambda }_{i}s+\alpha {\delta }^{2}{\lambda }_{i}=0(i=2,\;\cdots ,\;N+1)$$ (37) 矩阵
${{\varGamma }}$ 除特征值1外，其余特征值均在单位圆内，则有${\rm{Re}} (s) < 0$ 。设${s_{i1}},{s_{i2}}$ 为式（37）的一对根，则${s_{i1}} + {s_{i2}} = - \beta \delta {\lambda _i}$ ，则有$$ \begin{split} & {\rm{Re}} ({\lambda _i}) = - \frac{1}{{\beta \delta }}{\rm{Re}} ({s_{i1}} + {s_{i2}})=\\ & - \frac{1}{{\beta \delta }}\left( {{\rm{Re}} ({s_{i1}}) + {\rm{Re}} ({s_{i2}})} \right) > 0 \end{split} $$ (38) 根据引理1第2)条可知，通信拓扑包含有向生成树。由于虚拟领导者不接收其他集群个体的信息，只要通信拓扑包含有向生成树，则虚拟领导者必为生成树的根节点。因此，通信拓扑具有以虚拟领导者为根节点的有向生成树。
由式(23)构造
$g(\mu ) \!=\! {(\mu - 1)^2} \!+\! [\alpha {\delta ^2} \!+\! (\mu \!-\! 1)\beta \delta ]{\lambda _i}$ ，其中$ i=2,\;\cdots ,\;N+1$ 。矩阵${{\varGamma }}$ 除特征值1外，其余特征值均在单位圆内，可以等价于：$g(\mu )$ 的解满足$\left| \mu \right| < 1$ ，即$g(\mu )$ 是Schur稳定的。利用双线性变换$\mu = \dfrac{{\sigma + 1}}{{\sigma - 1}}$ ，可得$$ \begin{split} & \qquad\gamma (\sigma ) = \frac{{{{(\sigma - 1)}^2}}}{{\alpha {\lambda _i}{\delta ^2}}}g\left( {\frac{{\sigma + 1}}{{\sigma - 1}}} \right) = \\ & {\sigma ^2} + \frac{{2(\beta - \alpha \delta )}}{{\alpha \delta }}\sigma + \frac{{\alpha {\lambda _i}{\delta ^2} - 2\beta {\lambda _i}\delta + 4}}{{\alpha {\lambda _i}{\delta ^2}}} \end{split} $$ (39) 将
$\sigma = {\rm{i}}\omega $ 代入式（39），可得$$ \begin{split} & \gamma ({\rm{i}}\omega ) = {({\rm{i}}\omega )^2} + \frac{{2\delta (\beta - \alpha \delta )}}{{\alpha {\delta ^2}}}({\rm{i}}\omega ) + \\ &\qquad \frac{{(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{{\bar \lambda }_i}}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}} \end{split} $$ (40) 式中，
${\bar \lambda _i}$ 为${\lambda _i}$ 的共轭复数。$\gamma ({\rm{i}}\omega )$ 的实部和虚部分别为：$$ \begin{split} & m(\omega ) = {\rm{Re}} \left( {\gamma ({\rm{i}}\omega )} \right) = - {\omega ^2} + \frac{{(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i})}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}} \\ & n(\omega ) = {\rm{Im}} \left( {\gamma ({\rm{i}}\omega )} \right) = \frac{{2\delta (\beta - \alpha \delta )}}{{\alpha {\delta ^2}}}\omega - \frac{{4{\rm{Im}} ({\lambda _i})}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}} \\[-18pt] \end{split} $$ (41) 由Hermite-Biehler定理可知，二次复系数多项式
$\gamma (\sigma )$ 是Hurwitz稳定的，且仅当下列条件成立时：1）
$m(\omega )=0$ 有2个不同的根，设为${m_1} < {m_2}$ ；2)
$n(\omega )=0$ 的单根${n_1}$ 满足${m_1} < {n_1} < {m_2}$ ；3）
$ m(0)n'(0) - m'(0)n(0) > 0$ 。将上述条件代入式（41），可得
$$\left\{ { \begin{aligned} & {\frac{{(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i})}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}} > 0} \\ & {\left| {\frac{{2{\rm{Im}} ({\lambda _i})}}{{\delta (\beta - \alpha \delta )|{\lambda _i}{|^2}}}} \right| < \sqrt {\frac{{(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i})}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}}} } \\ & {\frac{{(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i})}}{{\alpha |{\lambda _i}{|^2}{\delta ^2}}} \cdot \frac{{2(\beta - \alpha \delta )}}{{\alpha \delta }} > 0} \end{aligned}} \right.$$ (42) 求解不等式组（42），可得
$$\left\{ \begin{aligned} & {(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i}) > 0} \\ & {\beta - \alpha \delta > 0} \\ & {{(\beta - \alpha \delta )}^2}|{\lambda _i}{|^2}\left[ {(\alpha {\delta ^2} - 2\beta \delta )|{\lambda _i}{|^2} + 4{\rm{Re}} ({\lambda _i})} \right] -\\&\qquad 4\alpha {{{\rm{Im}} }^2}({\lambda _i}) > 0 \end{aligned} \right.$$ (43) 定理的必要性得以验证。
对于充分性，因为通信拓扑具有有向生成树，由引理1的第2)条可知，拉普拉斯矩阵
${{L}}$ 仅有一个零特征值。根据引理2，可得矩阵${{\varGamma }}$ 特征值1的代数重数为2。通过必要性的证明过程可知，当$\alpha ,\;\beta ,\;\delta$ 的取值满足式（36）时，$g(\mu )$ 的解满足$\left| \mu \right| < 1$ ，即矩阵${{\varGamma }}$ 除特征值1外，其余特征值均在单位圆内。由定理2可知，海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪，定理的充分性得以验证。注释3：系统的稳定性与控制协议参数
$\alpha ,\;\beta $ 、控制器更新周期$\delta $ 和拉普拉斯矩阵L的特征值${\lambda _i}$ 直接相关。在固定通信拓扑下，可以直接求得拉普拉斯矩阵L的特征值${\lambda _i}$ ，进一步确定符合不等式组（36）的$\alpha ,\;\beta ,\;\delta $ 取值，可使系统稳定[15]。文献[16]指出，在拒止环境中，通信组网链路的可靠性将大幅下降，通信链路频繁断开，因此需要研究切换拓扑情况下的编队控制。针对通信拓扑变化的情况，可能会导致不等式组(36)不成立，此时，需要重新确定参数取值，确保编队控制的稳定性。本文提出的编队控制方法同样适用于无向通信拓扑情况，下面，将不加证明地给出如下结论。
推论：当期望构型满足可行性条件式（12）时，在控制协议式（8）的作用下，具有无向通信拓扑的海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件是：无向通信拓扑连通且参数
$\alpha ,\;\beta$ 和控制器更新周期$\delta $ 满足$$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\max ({\lambda _i}) < \dfrac{4}{{2\beta \delta - \alpha {\delta ^2}}}} \\ {\beta - \alpha \delta > 0} \end{array}} \right.$$ (44) -
本节将通过数值仿真对所提出的编队控制方法进行验证。设定海上无人集群由1个虚拟领航者、2架无人机和7艘无人艇组成，并假设平台在编队航行过程中高度不变，只考虑水平面的运动。仿真中涉及到的位置、速度、加速度的单位分别为m，m/s和m/s2。集群平台之间的有向通信拓扑图
$G$ 如图2所示。
图 2 海上无人集群通信拓扑示意图
Figure 2. The communication topology of MUV swarms
显然，有向通信拓扑包含以虚拟领航者为根节点的有向生成树。编队队形信息矩阵为
$$\begin{split} & {{{F}}_{\rm{d}}} \!=\! \left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 100}\!\!\!\!&\!\!\!\!{100}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 200}\!\!\!\!&\!\!\!\!{200}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 300}\!\!\!\!&\!\!\!\!{300}\!\!\!\!&\!\!\!\!{ - 400}\!\!\!\!&\!\!\!\!{400} \\ 0\!\!\!\!&\!\!\!\!{300}\!\!\!\!&\!\!\!\!{200}\!\!\!\!&\!\!\!\!{200}\!\!\!\!&\!\!\!\!{100}\!\!\!\!&\!\!\!\!{100}\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{300}\!\!\!\!&\!\!\!\!{300} \\ 0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!0\!\!\!\!&\!\!\!\!{500}\!\!\!\!&\!\!\!\!{500} \end{array}} \!\!\!\!\right]\\[-12pt]& \; \end{split}$$ (45) 设计海上无人集群的期望构型如图3所示，其中7艘无人艇组成楔形编队，2架无人机在无人艇编队上空并排航行。
图 3 海上无人集群期望构型示意图
Figure 3. The expected formation of MUV swarms
航行过程中，当虚拟领航者运动转向时，期望构型参数是实时变化的。根据虚拟领航者的位置、速度信息和队形信息矩阵
${{{F}}_{\rm{d}}}$ ，可以计算得到实时的期望构型位置参数。结合定理1给出的编队可行性条件式（12），可令$$\left\{ \begin{array}{l} {{{f}}_{\rm{v}}}(t) = \dfrac{{{{{f}}_{\rm{x}}}(t + \delta ) - {{{f}}_{\rm{x}}}(t)}}{\delta } \\ {{{f}}_{\rm{a}}}(t) = \dfrac{{{{{f}}_{\rm{v}}}(t + \delta ) - {{{f}}_{\rm{v}}}(t)}}{\delta } \end{array} \right.$$ (46) 通过式（46），可实时迭代求出期望构型的位置、速度和加速度信息。根据文献[15]给出的参数选择方法，首先计算拉普拉斯矩阵的特征值，设置
$ \alpha =0.2,\;\beta =0.4$ 。代入不等式方程组（36）中，可计算得到控制器更新周期的约束条件为$\delta < 0.565\;7$ 。为兼顾系统稳定时间和通信代价，这里取$\delta =0.5$ 。图4给出了仿真中海上无人集群编队轨迹的俯视图和侧视图，其中红色细实线为虚拟领航者，正方形和圆圈分别为无人机和无人艇。由图4(a)可以看到，集群在初始位置时并没有形成期望编队，存在一定的位置偏差，但在编队控制器的作用下，逐渐生成期望编队。生成期望编队后，在虚拟领航者直线运动或转弯运动的情况下，海上无人集群均能始终保持期望编队。由图4(b)可以看到，无人机在500 m高度飞行，能够与水面无人艇保持期望编队，验证了所提编队控制器的有效性。为了更加清晰地展现编队控制过程，图5给出了不同时间段的集群编队运动轨迹。
图 4 海上无人集群编队轨迹图
Figure 4. The formation path of MUV swarms
图 5 海上无人集群编队过程图
Figure 5. The formation process of MUV swarms
由图5可以看到，在初始时刻，集群编队轨迹存在一定的波动，这是因为集群在初始位置时并未形成期望的编队，存在一定的位置偏差。在航行1 000 m后，编队生成并基本保持稳定。编队在直线段航行时，编队误差几乎接近于0；而在转弯段时，1号无人艇的轨迹与虚拟领航者并没有完全重合，存在一定的稳态误差。为了直观分析编队误差随时间变化的情况，图6给出了编队位置误差和编队速度误差随时间变化的曲线。
图 6 编队位置和速度误差随时间变化曲线
Figure 6. Time history curves of formation position and velocity error
从图6中可以看出，由于集群初始状态与期望编队存在一定的偏差，故在初始时刻位置和速度误差较大，至150 s左右时位置和速度误差基本能够收敛至0。当虚拟领航者开始执行转弯动作时，编队位置误差会出现一个10 m的波动，然后在转弯过程中保持5 m的稳态误差。而在虚拟领航者开始或结束转弯时，编队速度误差会出现一个10 m/s的波动，约在5 s内收敛至0。图7给出了仿真中海上无人集群各个平台速度随时间变化的曲线，图中Vx，Vy分别为X，Y方向的速度。
图 7 海上无人集群速度随时间变化曲线
Figure 7. Time history curves of velocity of MUV swarms
从图7中可以看到，在初始时刻，因编队误差导致控制量较大，从而使得初始时刻的速度变化较为剧烈，且存在一定的超调。随着编队误差的逐渐降低，海上无人集群平台的速度与虚拟领航者逐渐趋于一致。当虚拟领航者转弯时，其他平台的速度会发生较为剧烈的变化，并迅速趋于稳定。在转弯过程中，各平台的速度并没有与虚拟领航者保持一致。因为在转弯过程中需要保持编队，而这会导致转弯半径不同，从而使得转弯过程中的速度存在一定的差异。在直线段航行时，所有平台的航行速度与虚拟领航者的速度保持一致，实现了稳定的编队保持。
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本文研究了海上无人集群一致性分布式编队控制问题，采用基于位置和速度反馈误差的控制协议，分别给出了无向及有向通信拓扑条件下控制协议参数和控制器更新周期的约束条件，所得结论适用于固定和时变编队控制。结果表明，集群实现编队控制稳定的条件较为严格。当有向通信拓扑存在以虚拟领航者为根节点的有向生成树，且控制协议参数、拉普拉斯矩阵的特征值和控制器更新周期需耦合满足一定的约束条件时，才能实现编队控制的稳定。本文研究没有考虑通信时延的影响，这将在后续的工作中进一步深入探讨。
Distributed formation control for swarms of marine unmanned vehicle with directed interaction topology
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摘要:
目的 为解决海上无人集群在有向通信拓扑条件下的编队控制问题，对无人艇（USV）和无人机（UAV）集群编队跟踪控制问题进行研究。 方法 采用内/外环分层编队控制结构进行系统建模，利用离散时间系统对海上无人集群编队控制问题进行描述，以提高编队控制方法对异构集群的兼容性和实用性。基于虚拟领航者思想，采用基于邻居位置和速度误差反馈的分布式编队控制协议，给出海上无人集群能够实现期望构型和航迹跟踪的充要条件。 结果 仿真结果表明，当通信拓扑存在有向生成树，且在控制协议参数和控制器更新周期满足给定约束条件的情况下，海上无人集群能够实现稳定的编队控制。 结论 所提方法能够适用于海上无人集群在有向通信拓扑条件下的编队控制，具有一定的应用价值。 Abstract:Objectives In order to realize the formation control of swarms of marine unmanned vehicle (MUV) with directed interaction topology, the formation tracking control of unmanned surface vehicle (USV) and unmanned aerial vehicle (UAV) swarms is studied. Methods An inner/outer loop layered control structure of formation is adopted to model the system, and the discrete-time system is used to describe the formation control problem of MUV swarms, improving the compatibility and practicability of the method for heterogeneous swarms. Based on the idea of a virtual leader, a distributed formation control protocol based on neighbor position and velocity error feedback is adopted, and the necessary and sufficient conditions for MUV swarms to realize the desired configuration and path tracking are given. Results The simulation results show that MUV swarms can achieve stable formation control when there is a directed spanning tree in the interaction topology, and the parameters of the control protocol and discrete time period meet the given constraints. Conclusions This method has application value in the formation control of MUV swarms with directed interaction topology. -
图 6 编队位置和速度误差随时间变化曲线
Figure 6. Time history curves of formation position and velocity error
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