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基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制

方琼林

方琼林. 基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
引用本文: 方琼林. 基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
FANG Q L. Fractional order adaptive sliding mode control for nonlinear anti-roll of ship[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
Citation: FANG Q L. Fractional order adaptive sliding mode control for nonlinear anti-roll of ship[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069

基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(51879119,52001134),福建省自然科学基金资助项目(2018J05085,2020J01661)
详细信息
    作者简介:

    方琼林,男,1978年生,硕士,副教授。研究方向:智能船舶。E-mail:fql1437@163.com

    通讯作者:

    方琼林

  • 中图分类号: U664.7+2

Fractional order adaptive sliding mode control for nonlinear anti-roll of ship

  • 摘要:   目的  为了解决船舶非线性横摇的控制问题,提出一种分数阶自适应滑模控制算法。  方法  运用长峰波随机海浪模型,计算随机海浪谱密度、波倾角谱密度和作用于船舶的海浪谱; 基于Lyapunov稳定性理论证明系统横摇角跟踪误差; 设计切换函数,使系统对不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性;分析分数阶、控制律增益、滑模面增益等参数的影响。  结果  结果表明:对各种船速、遭遇浪向等,分数阶自适应滑模控制的横摇角均值和标准差比基本滑模控制的更小。例如,当船速为10 m/s,遭遇浪向角为5°,横摇角均值是基本滑模控制的25.89%,均方差是基本滑模控制的14.32%。  结论  所提分数阶自适应滑模控制算法对不同船速、遭遇浪向等情况的减摇效果良好,鲁棒性较强,控制输入连续,不存在过高增益。
  • 图  1  船舶横摇模型

    Figure  1.  Ship rolling model

    图  2  不同遭遇浪向角下海浪P-M谱(v=10 m/s)

    Figure  2.  P-M spectrum of waves in different directions at v=10 m/s

    图  3  不同船速下海浪P-M谱(${\mu _{\rm{e}}}$=70°)

    Figure  3.  P-M spectrum of waves at different ship speeds when ${\mu _{\rm{e}}}$=70°

    图  4  开环控制与闭环控制时的横摇角曲线

    Figure  4.  Rolling angle curve of open-loop control and closed-loop control

    图  5  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

    Figure  5.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

    图  6  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

    Figure  6.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

    图  7  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

    Figure  7.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

    图  8  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

    Figure  8.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

    图  9  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

    Figure  9.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

    图  10  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

    Figure  10.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

    图  11  不同控制算法的横摇角比较

    Figure  11.  Rolling angles comparison of different control algorithms

    图  12  不同控制算法的控制输入比较

    Figure  12.  Input comparison of of different control algorithms

    图  13  系统相空间控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$= 120°)

    Figure  13.  System phase space control curve (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$= 120°)

    表  1  船模参数

    Table  1.   Parameters of ship model

    参数数值
    总长/m2.8
    型宽/m1.35
    吃水/m0.4
    轻载重量/kg50
    最大负载/kg450
    转动惯量${I_x}$/(kg·m231.38
    阻尼力矩系数B1/(Nm∙rad−1∙s−150.23
    恢复力矩系数C1/(Nm∙rad−11719.5
    系数k/(Nm∙A−15
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    表  2  不同算法计算结果比较

    Table  2.   Result comparison of different control algorithms

    v
    /$({\rm{m}}\cdot{\rm{s}}^{-1})$
    ${\mu _{\rm{e}}}$
    /(°)
    ${E_{\rm{Open}}}$${\sigma _{\rm{Open}}}$${E_{\rm{SMC}}}$${\sigma _{\rm{SMC}}}$${E_{\rm{FOASMC}}}$${\sigma _{\rm{FOASMC}}}$$\dfrac{{{E_{\rm{FOASMC}}}}}{{{E_{\rm{Open}}}}}$$\dfrac{{{\sigma _{\rm{FOASMC}}}}}{{{\sigma _{\rm{Open}}}}}$$\dfrac{{{E_{\rm{FOASMC}}}}}{{{E_{\rm{SMC}}}}}$$\dfrac{{{\sigma _{\rm{FOASMC}}}}}{{{\sigma _{\rm{SMC}}}}}$
    10502.512 6×10−51.186 3×10−51.232 1×10−61.221 5×10−63.189 3×10−71.749 2×10−71.27×10−21.47×10−225.89×10−214.32×10−2
    602.680 1×10−51.272 0×10−51.251 4×10−61.155 1×10−62.711 2×10−71.518 8×10−71.01×10−21.19×10−221.67×10−213.15×10−2
    702.914 9×10−51.393 8×10−51.199 3×10−61.066 3×10−62.962 7×10−71.457 5×10−71.02×10−21.05×10−224.70×10−213.67×10−2
    803.258 2×10−51.575 9×10−51.288 1×10−68.131 7×10−72.413 3×10−71.426 9×10−70.74×10−20.91×10−218.74×10−217.55×10−2
    903.810 7×10−51.876 6×10−59.003 0×10−78.338 7×10−71.375 3×10−71.083 6×10−70.36×10−20.58×10−215.28×10−212.99×10−2
    1004.934 4×10−52.495 6×10−53.402 1×10−71.402 3×10−61.841 3×10−88.054 7×10−80.04×10−20.32×10−25.41×10−25.74×10−2
    5502.950 7×10−51.412 6×10−51.215 2×10−61.030 4×10−63.240 7×10−71.487 0×10−71.10×10−226.67×10−21.05×10−214.43×10−2
    603.086 9×10−51.484 5×10−51.238 4×10−69.561 8×10−72.919 6×10−71.402 5×10−70.95×10−223.58×10−20.94×10−214.67×10−2
    703.264 7×10−51.579 4×10−51.202 6×10−69.134 2×10−72.492 6×10−71.425 5×10−70.76×10−20.90×10−220.73×10−215.61×10−2
    803.498 1×10−51.705 4×10−51.029 9×10−67.567 6×10−72.137 6×10−71.353 4×10−70.61×10−220.76×10−20.79×10−217.88×10−2
    903.810 7×10−51.876 6×10−59.003 0×10−78.338 7×10−71.375 3×10−71.083 6×10−70.36×10−215.28×10−20.58×10−212.99×10−2
    1004.247 7×10−52.118 3×10−59.596 4×10−77.083 1×10−71.179 2×10−79.110 5×10−80.28×10−20.43×10−212.29×10−212.86×10−2
    1104.907 4×10−52.480 9×10−52.321 2×10−71.471 1×10−61.960 5×10−88.185 3×10−80.04×10−20.33×10−28.45×10−25.56×10−2
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    表  3  不同分数阶阶数的计算结果比较

    Table  3.   Result comparison of fractional orders

    $\alpha $均值方差
    0.91.531 9×10−71.193 6×10−7
    0.11.368 5×10−71.095 4×10−7
    −0.21.002 4×10−81.392 1×10−7
    −0.35.751 9×10−91.228 7×10−7
    −0.47.974 9×10−91.168 3×10−7
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    表  4  不同控制律增益的计算结果比较

    Table  4.   Result comparison of gains of control law

    c均值方差
    1003.498 4×10−71.664 3××10−7
    503.636 3×10−71.728 6××10−7
    104.630 6×10−72.149 1××10−7
    55.484 0×10−72.508 9××10−7
    0.19.514 4×10−75.153 3××10−7
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    表  5  不同滑模面增益的计算结果比较

    Table  5.   Result comparison of sliding mode gains

    λ均值方差
    1001.932 8×10−71.724 9×10−7
    501.837 1×10−71.608 8×10−7
    51.757 7×10−71.550 2×10−7
    11.375 3×10−71.083 6×10−7
    0.51.187 6×10−79.317 8×10−8
    0.14.178 1×10−82.628 9×10−8
    0.052.239 4×10−81.459 0×10−8
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-08-11
  • 修回日期:  2020-11-03
  • 网络出版日期:  2021-03-18

基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(51879119,52001134),福建省自然科学基金资助项目(2018J05085,2020J01661)
    作者简介:

    方琼林,男,1978年生,硕士,副教授。研究方向:智能船舶。E-mail:fql1437@163.com

    通讯作者: 方琼林
  • 中图分类号: U664.7+2

摘要:   目的  为了解决船舶非线性横摇的控制问题,提出一种分数阶自适应滑模控制算法。  方法  运用长峰波随机海浪模型,计算随机海浪谱密度、波倾角谱密度和作用于船舶的海浪谱; 基于Lyapunov稳定性理论证明系统横摇角跟踪误差; 设计切换函数,使系统对不确定性和外部干扰具有较强的鲁棒性;分析分数阶、控制律增益、滑模面增益等参数的影响。  结果  结果表明:对各种船速、遭遇浪向等,分数阶自适应滑模控制的横摇角均值和标准差比基本滑模控制的更小。例如,当船速为10 m/s,遭遇浪向角为5°,横摇角均值是基本滑模控制的25.89%,均方差是基本滑模控制的14.32%。  结论  所提分数阶自适应滑模控制算法对不同船速、遭遇浪向等情况的减摇效果良好,鲁棒性较强,控制输入连续,不存在过高增益。

English Abstract

方琼林. 基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
引用本文: 方琼林. 基于分数阶自适应滑模的船舶非线性减摇控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
FANG Q L. Fractional order adaptive sliding mode control for nonlinear anti-roll of ship[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
Citation: FANG Q L. Fractional order adaptive sliding mode control for nonlinear anti-roll of ship[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 16(4): 1–8 doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.02069
    • 船舶横摇是指以船舶重心所在的前、后轴线(纵轴线)为中心的回转摇晃,若幅度过大将严重影响船舶设备的使用、适航性、适居性和安全性。与此同时,横摇还会对舰艇的战斗性能产生严重影响。当横摇角超过某一个限值时会带来船舶倾覆的危险。因此,安装船舶减摇装置是现代船舶设计的焦点之一,例如,减摇水舱、舭龙骨和减摇鳍等。目前,采用的减摇控制算法包括有神经网络控制、预测控制、${H_{\infty} }$控制等。

      20世纪50年代前,苏联学者提出了滑模控制(SMC)方法,其是变结构控制的一个分支,属于非线性控制,通过切换函数来实现,根据系统状态偏离滑模的程度切换控制律或控制器参数。近年来,滑模控制方法在船舶运动领域得到了较快发展。例如,Lavieri等[1]采用滑模技术来减小小型船舶的横摇运动;Moradi等[2]针对船舶航行中影响减摇鳍系统的问题,采取了滑动模态控制;Ngo[3]设计滑动面为期望的轨迹,抑制移动港口的摇摆运动,针对滑模函数及其变化率,采用模糊逻辑调整方案对滑模控制的不连续增益进行调整;Carletti等[4]为减摇和航向保持问题设计了滑膜控制器;Carletti等[5]介绍一种基于自适应神经网络的海洋机动艇鳍片横摇稳定滑模控制,采用径向基函数神经网络自适应学习系统的不确定性界,利用网络输出调整滑模控制增益;Fang等[6]采用一种由滑模控制器和视线制导技术组成的自动驾驶仪系统;Koshkouei等[7]设计了船舶减摇的滑模控制,包括滚翼、滚舵和自动驾驶仪这3个不同的控制器;谢克峰[8]对浮动平台的摇摆实验台设计了积分滑模控制;王世凯等[9]用滑模控制方法设计了同步横摇阻尼和航向保持控制器来调节一阶波浪扰动;梁利华等[10]为减摇鳍设计了切换模糊化非线性自适应滑模控制(ASMC)器;刘文帅[11]设计了滑模反演控制器,操控减摇鳍运动抵消干扰;沈晓[12]设计了反步滑模自适应控制器,应用于航鳍联合减摇控制;胡建章等[13]充分考虑了不确定性干扰来设计欠驱动水面无人艇集群的自适应反步滑模控制器;刘志全等[14]提出的带有航速损失约束的自动舵控制系统,其依据舵角协同控制方法设计航向和舵减摇滑模控制律。

      然而,滑模变结构控制仍存在因为不连续开关特性所引起的系统抖振等问题。例如,当系统运动到滑模面且靠近平衡点时具有一定速度,在惯性等因素的影响下滑模面的两侧会出现反复运动,产生诸如抖振这样的负面效果。

      诞生于1695年的分数阶微积分(fractional-order calculus)是一个重要的数学分支,该方法可处理扰动,且控制性能良好,具有响应速度较快、超调量较低、控制参数范围更宽的特点。为此,赵蕊[15]提出一种基于分数阶PID技术的航向控制器,结合遗传算法完成了控制参数的自动整定,提高了控制器的实用性;Zhou[16]提出一种基于深卷积神经网络的分数阶终端滑模控制策略,用于刚性机器人的跟踪控制,并采用深度学习方法对系统的不确定性进行补偿;Fei[17]提出的递归神经网络分数阶滑模控制方案结合了分数阶控制方法和递归神经网络结构;Modiri[18]采用具有分数阶滑动面的终端滑模控制器,对2个具有参数不确定性和外部干扰的分数阶混沌系统状态进行同步;Han[19]将分数阶滑模面与分数阶非线性扰动观测器相结合,提出一种基于分数阶指令滤波器的反推控制,引入了基于分数阶的命令滤波器。

      鉴于分数阶自适应滑模控制(FOASMC)算法已在其他领域获得应用,但鲜见于国内外相关文献报道,尚未有将分数阶自适应滑模控制算法应用到船舶横摇减摇领域。本文拟在减摇滑模控制中引入分数阶算法,以更好地降低横摇角的均值和标准差,获得更佳的减摇控制效果,进一步克服模型不确定性和外界环境扰动所引起的系统不确定性。

    • 本文以船舶质心为原点${O_{\rm{b}}}$,船舶前进方向为${x_{\rm{b}}}$轴,横荡方向为${y_{\rm{b}}}$轴,垂荡方向为${{\textit{z}}_{\rm{b}}}$轴,建立船体的坐标系。图中,$\phi $为船舶横摇角。

      图  1  船舶横摇模型

      Figure 1.  Ship rolling model

      船舶非线性横摇运动模型为[20]

      $$\begin{split} & ({I_x} + \Delta {I_x})\ddot \phi + {B_1}\dot \phi + {B_2}{\rm{|}}\dot \phi {\rm{|}}\dot \phi {\rm{ + }}{C_1}\phi + {C_3}{\phi ^3} + \\&\quad\qquad {C_5}{\phi ^5} = - DGM{\alpha _1} + ku \end{split}$$ (1)

      式中,${I_x}$为相对于船舶重心的纵轴惯量; $\Delta {I_x}$为相对于船舶重心的纵轴附加惯量; $D$为船舶排水量; GM为横稳心高; ${\alpha _1}$为船舶具有遭遇频率的有效波倾角;${C_1},{C_3},{C_5}$为非线性横摇恢复力矩的系数; ${B_1},{B_2}$为非线性阻尼力矩的系数; $u$为控制输入; $k$为系数。

      将长峰波海浪看成由无数个不同波幅和波长的微幅余弦波叠加而成。计算${\alpha _1}$采用下式[20]

      $${\alpha _1} = \sum\limits_{i = 1}^M {{K_{\rm{B}}}{K_{\rm{T}}}\frac{{\omega _i^2}}{g}} \sin {\mu _{\rm{e}}}\sqrt {2{S_{\zeta} }({\omega _i})\Delta {\omega _i}} \cos ({\omega _{{{\rm{e}}_i}}}t + {\varepsilon _i})$$ (2)

      式中, ${K_{\rm{B}}}$为考虑船宽有限性的修正系数; ${K_{\rm{T}}}$为考虑船吃水有限性引起的动水压力修正系数; $g$为重力加速度;${\omega _i}$为第i次谐波的角频率;$\Delta {\omega _i}$是第i次谐波角频率变化量;${\mu _{\rm{e}}}$为船舶航行相对于波浪的角度,即遭遇浪向角; ${S_{\zeta} }$为船舶海浪功率谱,即作用在航行船舶的长峰波随机海浪的频谱; ${\omega _{{{\rm{e}}_i}}}$为第i次谐波的遭遇角频率; ${\varepsilon _i}$为第i次谐波的初相位; M为足够大的整数。

      令状态变量$x = \left[ \begin{array}{l} \phi \\ {\dot \phi } \end{array} \right]$,其中,x1=$\phi $x2=$\dot \phi $,则式(1)可表示为

      $$\left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2} \\ {{\dot x}_2} = f(x,t) + bu + d \end{array} \right.$$ (3)

      分别定义式(3)中的变量如下:

      $$ \begin{array}{c} f(x,t) = - \dfrac{{{B_1}\dot \phi + {B_2}{\rm{|}}\dot \phi {\rm{|}}\dot \phi {\rm{ + }}{C_1}\phi + {C_3}{\phi ^3} + {C_5}{\phi ^5}}}{{{I_x} + \Delta {I_x}}}\\ b = \dfrac{k}{{{I_x} + \Delta {I_x}}}\\ d = - \dfrac{{DGM{\alpha _1}}}{{{I_x} + \Delta {I_x}}} \end{array}$$

      由于实际控制中存在模型的不确定性和外界环境扰动而引起系统不确定性,所以设$\hat f$为对$f$的估计、$\tilde {{f}}$为估计误差,有$\tilde {{f}} = f - \hat {{f}}$。则式(3)可表示为

      $$\left\{ \begin{array}{l} {{\dot x}_1} = {x_2} \\ {{\dot x}_2} = \hat {{f}}(x,t) + \tilde {{f}}(x,t) + bu + d \end{array} \right.$$ (4)
    • Caputo形式的分数阶微积分的定义如下:

      $${}_aD_t^\alpha f(t) = \left\{ \begin{aligned} & {\frac{1}{{\varGamma (m - \alpha )}}\int_0^t {\frac{{{f^{(m)}}(\tau )}}{{{{(t - \tau )}^{\alpha - m + 1}}}}{\rm{d}}\tau } ,}\;\;{m - 1 < \alpha < m} \\ & {\frac{{{{\rm{d}} ^m}}}{{{\rm{d}} {t^m}}}f(t),}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad{\alpha = m} \end{aligned} \right.$$ (5)

      式中,dm/dtm 为传统意义上的微分,其中m为不小于分数阶α的最小整数,t 为时间; τ 为积分变量;当$\alpha > 0$时,${}_aD_t^\alpha $为分数阶微分,而当$\alpha < 0$时,其为分数阶积分;$\varGamma (x)$为伽马函数,$\varGamma (x) = \displaystyle \int_0^\infty {{e^{ - t}}{t^{x - 1}}{\rm{d}}t}$,其中e为横摇角误差。

    • ${\phi _{\rm{d}}}$为船舶的期望横摇角,横摇角误差$e = \phi - $$ {\phi _{\rm{d}}}$。当期望横摇角为0时,则横摇角误差表示为$e = \phi = {x_1}$

      取滑模函数${{\mathit{\boldsymbol{s}}}}$

      $${{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{\rm{ = }}\lambda \dot e + {D^{\alpha - 1}}e$$ (6)

      式中,$\lambda $为滑模面增益系数,$\lambda > 0$

      取控制律为

      $${{\mathit{\boldsymbol{u}}}} = {(\lambda b)^{ - 1}}[ - {{\hat{{f}}}} - {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}}) - {D^\alpha }e]$$ (7)

      式中,c为控制律增益,且满足下式:

      $${{c}} > |d{|_{\max }}$$ (8)

      取自适应控制律为

      $${{{\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}}}^{\rm{T}}}{\rm{ = }} - \frac{{{{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}}}\lambda }}{\eta }$$ (9)

      式中,$\eta $为增益,$\eta > 0$

    • 定理:基于Lyapunov稳定性理论,考虑船舶非线性横摇系统运动学方程式(4)和基于分数阶自适应滑模控制器式(8)及自适应控制律式(9),则系统的横摇角跟踪误差将渐进稳定。

      证明:取Lyapunov函数$V$

      $$V = \frac{1}{2}{{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{\rm{ + }}\frac{1}{2}{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}^{\rm{T}}}\eta \tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}$$ (10)

      对式(10)求导,可得

      $$\dot V = {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\dot {{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{\rm{ + }}{{{\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}}}^{\rm{T}}}\eta {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}}$$ (11)

      对式(6)求导,可得

      $$\dot {{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{\rm{ = }}\lambda \ddot e + {D^\alpha }e$$ (12)

      $e = \phi = {x_1}$代入式(12),可得

      $$\dot {{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{\rm{ = }}\lambda {\ddot x_1} + {D^\alpha }e$$ (13)

      将式(4)代入式(13),可得

      $${\;\;\;\;\;\;\dot {{\mathit{\boldsymbol{s}}}} = \lambda {\dot x_2} + {D^\alpha }e = \lambda (\hat{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + \tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + b{{\mathit{\boldsymbol{u}}}} + d) + {D^\alpha }e}$$ (14)

      将(7)式代入式(14),可得

      $$\begin{split} & \dot {{\mathit{\boldsymbol{s}}}} = \lambda (\hat{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + \tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + d) - \lambda {{\hat{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}} - \lambda {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}}) - {D^\alpha }e + {D^\alpha }e =\\&\qquad\qquad\qquad \lambda (\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + d) - \lambda {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}}) \end{split}$$ (15)

      将式(15)代入式(11),可得

      $$\dot V = {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }[\lambda (\tilde{{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}} + d) - \lambda {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}})]{\rm{ + }}{{{\dot{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}}}^{\rm{T}}}\eta {{\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}}}}$$ (16)

      将式(9)代入式(16),可得

      $$\begin{split} & \dot V = {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }[\lambda (\tilde{{\mathit{\boldsymbol{f}}}} + d) - \lambda {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}})] - \frac{{{{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}}}\lambda }}{\eta }\eta {{\tilde{{f}}}} = \\&\;\;\;\;\;\;{{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\lambda d - {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\lambda {{c}}{\rm{sgn}} ({{\mathit{\boldsymbol{s}}}}) = {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\lambda d - |{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{{\rm{|}}^{\rm{T}} }\lambda {{c}} \end{split}$$ (17)

      当满足式(8)条件成立时,则

      $$ {\;\;\;\;\;\;\dot V \leqslant {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\lambda d - |{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}{{\rm{|}}^{\rm{T}} }\lambda |d{|_{\max }} \leqslant {{{\mathit{\boldsymbol{s}}}}^{\rm{T}} }\lambda (d - |d{|_{\max }}) \leqslant 0} $$ (18)

      $\dot V$为负定的。根据Lyapunov稳定性理论,系统渐进稳定。定理得证。

      为了防止造成抖振,采用如下饱和函数代替符号函数。

      $${\rm{sat}}({{h}}) = \left\{ \begin{split} & {1,}\qquad &{h > {\varDelta }} \\ & {\frac{h}{{\varDelta }},}\qquad &{ - \varDelta \leqslant h \leqslant {\varDelta }} \\ & { - 1,}\qquad &{h < - {\varDelta }} \end{split}\right.$$ (19)

      式中,$\varDelta $为边界层参数;${\rm{sat}}(h)$$h$的饱和函数,其中$h$为任意实数。

    • 为验证基于分数阶自适应滑模控制算法在船舶横摇中的控制效果,采用表1所示主要参数[1]

      表 1  船模参数

      Table 1.  Parameters of ship model

      参数数值
      总长/m2.8
      型宽/m1.35
      吃水/m0.4
      轻载重量/kg50
      最大负载/kg450
      转动惯量${I_x}$/(kg·m231.38
      阻尼力矩系数B1/(Nm∙rad−1∙s−150.23
      恢复力矩系数C1/(Nm∙rad−11719.5
      系数k/(Nm∙A−15

      该船模数学模型的主要参数如下:${I_x} = 27.5$${B_1} = 115$${C_1} = 2\;465$$k = 3.25$

    • 实验测试采用Intel(R) Core(TM) i3-4150T CPU @ 3.00 GHz 3.00 GHz、内存4.00 GB的64位操作系统、基于x64的处理器完成。图2为船速v=10 m/s、不同遭遇浪向角(μe)下海浪的Pierson-Moscowitz(P-M)谱曲线,图3为遭遇浪向角70°时不同船速下海浪的P-M谱曲线。

      图  2  不同遭遇浪向角下海浪P-M谱(v=10 m/s)

      Figure 2.  P-M spectrum of waves in different directions at v=10 m/s

      图  3  不同船速下海浪P-M谱(${\mu _{\rm{e}}}$=70°)

      Figure 3.  P-M spectrum of waves at different ship speeds when ${\mu _{\rm{e}}}$=70°

      图4为船速5 m/s、遭遇浪向角60°时开环控制与闭环控制时的横摇角曲线。

      图  4  开环控制与闭环控制时的横摇角曲线

      Figure 4.  Rolling angle curve of open-loop control and closed-loop control

      参数设置如下:$\alpha = 0.9,c = 0.16,\lambda = 1$图5为船速5 m/s、遭遇浪向角80°时的横摇角滑模闭环控制曲线, 图6为船速5 m/s、遭遇浪向角90°时的横摇角滑模闭环控制曲线,图7为船速5 m/s、遭遇浪向角100°时的横摇角滑模闭环控制曲线。

      图  5  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

      Figure 5.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

      图  6  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

      Figure 6.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

      图8为船速10 m/s、遭遇浪向角80°时的横摇角滑模闭环控制曲线,图9为船速10 m/s、遭遇浪向角90°时的横摇角滑模闭环控制曲线,图10为船速10 m/s、遭遇浪向角100°时的横摇角滑模闭环控制曲线。

      图  7  横摇角滑模闭环控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

      Figure 7.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

      图  8  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

      Figure 8.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=80°)

      图  9  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

      Figure 9.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=90°)

      图  10  横摇角滑模闭环控制曲线(v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

      Figure 10.  Sliding mode closed loop control curve of rolling angle (v=10 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$=100°)

      图11为本文所提分数阶自适应滑模控制算法与基本滑模控制算法、自适应滑模控制算法计算结果比较。

      图  11  不同控制算法的横摇角比较

      Figure 11.  Rolling angles comparison of different control algorithms

      图12为本文所提分数阶自适应滑模控制算法与基本滑模控制算法的控制输入比较。由图可见,本算法能减少控制输入的抖振现象。

      图  12  不同控制算法的控制输入比较

      Figure 12.  Input comparison of of different control algorithms

      图13所示为系统相空间控制曲线。由图可见,系统被控后稳定在原点,相空间的轨迹是收缩的,逐渐趋近于原点,运动稳定,且对初始条件不敏感。

      图  13  系统相空间控制曲线(v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$= 120°)

      Figure 13.  System phase space control curve (v=5 m/s,${\mu _{\rm{e}}}$= 120°)

      由图可见,系统被控后稳定在原点,相空间的轨迹是收缩的,逐渐趋近于原点,运动稳定,且对初始条件不敏感。

      综合以上各图可以看出,对于不同的船速、遭遇浪向角等情况,分数阶自适应滑模控制均有更好的减摇控制效果。

      为了验证本文所提算法的有效性,将本文所提算法与基本滑模控制算法进行了比较。表2给出了不同船速和遭遇浪向角下控制系统横摇角的均值和标准差。参数设置如下:$c = 1$$\alpha = 0.5$$\lambda = 1$。表中数据均为计算20次后的平均值,具有统计意义。其中,${E_{\rm{FOASMC}}}$${\sigma _{\rm{FOASMC}}}$表示用分数阶自适应滑模控制算法计算的横摇角均值和方差,${E_{\rm{SMC}}}$${\sigma _{\rm{SMC}}}$表示用基本滑模控制算法计算的横摇角均值和方差,${E_{\rm{Open}}}$${\sigma _{\rm{Open}}}$表示用开环控制算法计算的横摇角均值和方差。

      表 2  不同算法计算结果比较

      Table 2.  Result comparison of different control algorithms

      v
      /$({\rm{m}}\cdot{\rm{s}}^{-1})$
      ${\mu _{\rm{e}}}$
      /(°)
      ${E_{\rm{Open}}}$${\sigma _{\rm{Open}}}$${E_{\rm{SMC}}}$${\sigma _{\rm{SMC}}}$${E_{\rm{FOASMC}}}$${\sigma _{\rm{FOASMC}}}$$\dfrac{{{E_{\rm{FOASMC}}}}}{{{E_{\rm{Open}}}}}$$\dfrac{{{\sigma _{\rm{FOASMC}}}}}{{{\sigma _{\rm{Open}}}}}$$\dfrac{{{E_{\rm{FOASMC}}}}}{{{E_{\rm{SMC}}}}}$$\dfrac{{{\sigma _{\rm{FOASMC}}}}}{{{\sigma _{\rm{SMC}}}}}$
      10502.512 6×10−51.186 3×10−51.232 1×10−61.221 5×10−63.189 3×10−71.749 2×10−71.27×10−21.47×10−225.89×10−214.32×10−2
      602.680 1×10−51.272 0×10−51.251 4×10−61.155 1×10−62.711 2×10−71.518 8×10−71.01×10−21.19×10−221.67×10−213.15×10−2
      702.914 9×10−51.393 8×10−51.199 3×10−61.066 3×10−62.962 7×10−71.457 5×10−71.02×10−21.05×10−224.70×10−213.67×10−2
      803.258 2×10−51.575 9×10−51.288 1×10−68.131 7×10−72.413 3×10−71.426 9×10−70.74×10−20.91×10−218.74×10−217.55×10−2
      903.810 7×10−51.876 6×10−59.003 0×10−78.338 7×10−71.375 3×10−71.083 6×10−70.36×10−20.58×10−215.28×10−212.99×10−2
      1004.934 4×10−52.495 6×10−53.402 1×10−71.402 3×10−61.841 3×10−88.054 7×10−80.04×10−20.32×10−25.41×10−25.74×10−2
      5502.950 7×10−51.412 6×10−51.215 2×10−61.030 4×10−63.240 7×10−71.487 0×10−71.10×10−226.67×10−21.05×10−214.43×10−2
      603.086 9×10−51.484 5×10−51.238 4×10−69.561 8×10−72.919 6×10−71.402 5×10−70.95×10−223.58×10−20.94×10−214.67×10−2
      703.264 7×10−51.579 4×10−51.202 6×10−69.134 2×10−72.492 6×10−71.425 5×10−70.76×10−20.90×10−220.73×10−215.61×10−2
      803.498 1×10−51.705 4×10−51.029 9×10−67.567 6×10−72.137 6×10−71.353 4×10−70.61×10−220.76×10−20.79×10−217.88×10−2
      903.810 7×10−51.876 6×10−59.003 0×10−78.338 7×10−71.375 3×10−71.083 6×10−70.36×10−215.28×10−20.58×10−212.99×10−2
      1004.247 7×10−52.118 3×10−59.596 4×10−77.083 1×10−71.179 2×10−79.110 5×10−80.28×10−20.43×10−212.29×10−212.86×10−2
      1104.907 4×10−52.480 9×10−52.321 2×10−71.471 1×10−61.960 5×10−88.185 3×10−80.04×10−20.33×10−28.45×10−25.56×10−2

      由以上结果的比较可见,与基本滑模控制算法相比,在相同实例和运行条件下,分数阶自适应滑模控制算法得到的横摇角均值和标准差更小,控制效果更好,减摇控制结果令人满意。

    • 为了了解各个主要参线对算法计算性能的影响,分别对分数阶、控制律增益、滑模面增益等参数取不同的数值,分别比较其对控制效果的影响。

    • 对4.3节所述运动情况,取$c = 1$$\lambda = 1$$v = $$ 5\;{\rm{m}} /{\rm{s}}$${\mu _{{e}}} = {90^ \circ }$,其他参数不变。不同分数阶微分阶数计算的横摇角均值和方差如表3所示。

      表 3  不同分数阶阶数的计算结果比较

      Table 3.  Result comparison of fractional orders

      $\alpha $均值方差
      0.91.531 9×10−71.193 6×10−7
      0.11.368 5×10−71.095 4×10−7
      −0.21.002 4×10−81.392 1×10−7
      −0.35.751 9×10−91.228 7×10−7
      −0.47.974 9×10−91.168 3×10−7

      表3可见,当分数阶微分的阶数较小时,横摇角均值较小,即系统稳态误差较小;当分数阶积分的阶数较大时,横摇角标准差较小,即系统波动较小,与稳定期望值的偏离程度较小。

      基于分数阶滑模控制能使系统收敛。不同分数阶下调节过程的性能有异,故可根据实际情况,选取不同分数阶微积分算子,使系统满足不同的动态和静态,控制效果更好。因整数阶微分是特例,整数阶积分是分数阶微积分的特例,故整数阶微积分是分数阶微积分的特例。分数阶微积分参数选择范围更大、更灵活。

    • 对于4.3节所述运动情况,取$\alpha = 0.5$$\lambda = 1$$v = 5\;{\rm{m}} /{\rm{s}}$${\mu _{\rm{e}}} = {90^ \circ }$,其他参数不变,不同控制律增益c情况下船舶横摇角的均值和方差值见表4

      表 4  不同控制律增益的计算结果比较

      Table 4.  Result comparison of gains of control law

      c均值方差
      1003.498 4×10−71.664 3××10−7
      503.636 3×10−71.728 6××10−7
      104.630 6×10−72.149 1××10−7
      55.484 0×10−72.508 9××10−7
      0.19.514 4×10−75.153 3××10−7

      表4可见:当c值较大时,横摇角均值较小,即系统稳态误差较小,且横摇角标准差较小,即系统波动较小,与稳定期望值的偏离程度较小。

    • 对4.3节所述运动情况,取$\alpha = 0.5$$c = 1$$v = $$ 5\;{\rm{m}} /{\rm{s}}$${\mu _{{e}}} = {90^ \circ }$,其他参数不变,不同滑模面增益λ情况下的船舶横摇角的均值和方差值见表5

      表 5  不同滑模面增益的计算结果比较

      Table 5.  Result comparison of sliding mode gains

      λ均值方差
      1001.932 8×10−71.724 9×10−7
      501.837 1×10−71.608 8×10−7
      51.757 7×10−71.550 2×10−7
      11.375 3×10−71.083 6×10−7
      0.51.187 6×10−79.317 8×10−8
      0.14.178 1×10−82.628 9×10−8
      0.052.239 4×10−81.459 0×10−8

      表5可看出:当λ的值较小时,船舶横摇角均值较小,即系统稳态误差较小;而且横摇角标准差较小,即系统波动较小,与稳定期望值的偏离程度较小。

    • 本文针对船舶非线性横摇运动控制问题,提出了一种分数阶自适应滑模控制算法,证明了闭环系统的稳定性。对分数阶微积分的阶数、控制率增益和滑模面增益系数进行了比较,分析其对控制效果的影响。实验结果证明,新算法在不同船速、遭遇浪向角的情况下,相对于基本滑模控制算法都有更好的减摇控制效果。与基本滑模控制算法相比,在相同的实例和运行条件下,分数阶自适应滑模控制的横摇角均值和标准差更小,控制效果更好。例如,当船速10 m/s、遭遇浪向角5°时,本文控制算法控制的横摇角均值是基本滑模控制的25.89%,均方差是基本滑模控制的14.32%,减摇控制结果令人满意。当分数阶微分的阶数较小时,横摇角均值较小,即系统稳态误差较小; 当分数阶积分的阶数较大时,横摇角标准差较小,即系统波动较小,与稳定期望值的偏离程度较小; 控制率增益较大时,船舶横摇角均值较小(即系统稳态误差较小)且横摇角标准差也较小(即系统波动较小),与稳定期望值的偏离程度较小; 当滑模面增益较小时,船舶横摇角均值较小(即系统稳态误差较小)且横摇角标准差也较小,即系统波动较小,与稳定期望值的偏离程度较小。

      下一步将继续改进本控制算法,以进一步提高非线性横摇运动的控制精度和鲁棒性能。

参考文献 (20)

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