船舶稳性是船舶航行安全的重要保障，一直以来受到国际海事组织（IMO）的高度关注。IMO基于大量的事故统计资料和静力学理论，制定了《2008年国际完整稳性规则》^[1]。然而，许多满足现行完整稳性衡准的船舶在航行时仍然发生了事故，为此，IMO又有针对性地开展了第二代完整稳性衡准的制定工作。作为第二代完整稳性的5种失效模式之一，参数横摇衡准包含3层：第1层和第2层为薄弱性衡准，第3层为直接计算^{[2- 3]}。在2019年2月SDC第6次会议上，IMO通过投票初步确定了参数横摇薄弱性衡准规则，后续的工作除了进行大量样船计算并验证第1层和第2层的一致性外，还需要研究船型对参数横摇薄弱性的影响，以期在新一代完整稳性规范实施后为船舶设计提供指导。

目前，针对船型对参数横摇薄弱性影响的研究主要集中在船舶主尺度和船型系数等方面，关于船体型线对参数横摇薄弱性影响的研究还很少。马坤等^[2]选取6艘母型船进行了大量的船型变换，研究了船舶主尺度对参数横摇薄弱性的影响；付超等^[4]针对C11集装箱船的敏感性因素进行了分析，并以散货船型线为参照对其型线进行了修改，使其第2层计算结果明显下降。参数横摇的发生机理与船在波浪中复原力臂的变化密切相关，而船体型线则直接影响到船舶的复原力臂曲线，因此有必要研究船体型线对参数横摇薄弱性的影响。

本文拟选取C11集装箱船、大连400 t渔政船和秋刀鱼渔船作为母型船，首先应用自由曲面变换(free-form deformation，FFD)法对船艏UV度进行变换，然后利用本课题组前期开发的参数横摇薄弱性衡准评估软件对母型船和变换型线后的系列船型进行第1，2层薄弱性计算（该程序的可靠性已得到验证^[5]），最后通过对比计算结果得出船体型线对参数横摇薄弱性的影响规律。

参数横摇薄弱性衡准评估分为2层，其中第1层评估通过计算纵向规则波经过船体时，船舶初稳性高的变化幅值来判断是否满足衡准要求：

式中：$\Delta GM$为纵向规则波通过船体时初稳性高变化幅值，该纵向规则波的波长为船长，波陡为0.0167；$GM$为船舶在计算载况下，在静水中考虑自由液面修正后的初稳性高；${R_{{\rm{PR}}}}$为衡准值，其与船是否为尖舭船，以及舭龙骨宽度和其他船型要素相关。当船舶不满足第1层衡准时，需进行第2层校核。

参数横摇薄弱性衡准的第2层校核分C1和C2两种不同的计算方法。其中C1用于计算船舶在给定的16种波浪条件下的失效概率，C2用于计算船舶在北大西洋海浪谱（或船舶航行海域的海浪谱）所给定的海况下，以不同航速和航向角航行时的失效概率。计算公式^[6-9]为

式中：${W_i}$为权重值；${C_i}$为0或1，通过计算认为在某海况下容易发生参数横时摇取1，否则为0；$Fn{_i}$为计算航速的弗劳德数；${\beta _{\rm {h}}}$，${\beta _{\rm {f}}}$分别代表迎浪和随浪。

当满足$C1 < 0.06$ 或 $C2 < 0.025$的条件时，认为通过了第2层校核。具体计算方法详见参考文献[6]。C2方法因考虑海况数更多，且需要通过求解横摇运动方程来计算横摇幅值，故其计算更为精确，因此本文在进行参数横摇薄弱性衡准第2层校核时仅采用C2方法。

选取C11集装箱船、大连400 t渔政船和秋刀鱼渔船作为母型船进行船型变换，其中C11集装箱船在实际航行中发生过参数横摇。3艘母型船的主要船型参数如表1所示，3艘母型船的型线图如图1~图3所示。

图  1  C11集装箱船型线图

Figure 1.  Lines of C11 container ship

图  2  大连400 t渔政船型线图

Figure 2.  Lines of Dalian 400 t fishery administration ship

图  3  秋刀鱼渔船型线图

Figure 3.  Lines of a Saury fishing ship

本文采用FFD法实现母型船的型线变换。FFD法是船型设计优化过程中常用的方法，该方法可应用于任何曲面，不受曲面表示方法的限制，还可对物体的局部或整体进行变形，变形后的曲面能够保持几何连续性。

FFD法的基本步骤如下：

1） 选定一个长方体形状的控制体包围待变形曲面；

2） 在控制体内选择一系列控制点；

3） 调节控制点位置改变控制体形状，将控制体的变形传递给待变形曲面，实现曲面变形^[10-11]。

图4所示为FFD法控制体及坐标系示意图。其中，O-XYZ为全局坐标系，O′-RST为控制体坐标系，控制体内任意一点的全局坐标与控制点的全局坐标满足伯恩斯坦（Bernstein）多项式：

图  4  FFD法控制体及坐标系示意图

Figure 4.  Diagram of the control body and the coordinate system of FFD method

式中：l, m, n分别为控制体在R轴，S轴和T轴方向的控制点个数；r, s, t为控制体内任意点在控制体坐标系下的坐标，满足$0 \leqslant r \leqslant 1$，$0 \leqslant s \leqslant 1$，$0 \leqslant t \leqslant 1$；${Q_{i,j,k}}$为控制点坐标；B为伯恩斯坦多项式基函数^[11]。

使用控制体包围船体舯部至艏部（前半体），将水线以下部分控制点沿船宽方向向外侧拉伸，水线以上部分控制点则沿船宽方向向内压缩，使母型船船艏由V 型变化为U型，由此产生的新船型命名为5号船。假设5号船第i个控制点的变化量为${d_i}$（i=1, 2,···, N，其中N为控制点总数）。将控制点变化量依次设定为$0.2{d_i}$，$0.4{d_i}$，$0.6{d_i}$，$0.8{d_i}$，从而生成4个新船型，分别命名为1，2，3，4号船，母型船编号为0号。应用上述方法变换3艘母型船艏部UV度，在变换时，只保证主尺度不变，并未约束排水量，各种变形均保证线条的光顺性，生成3个系列样船。即每个系列共6艘样船，由0号到5号船，其中母型船编号为0；船艏型线由V型向U型逐渐变化。系列船型中0号和5号船的型线图如图5~图7所示，系列船型的主要船型参数如表2~表4所示。

图  5  C11集装箱船系列0号和5号样船型线图

Figure 5.  No.0 and No.5 ships' lines generated from C11 container ship

图  6  大连400 t 渔政船系列0号和5号样船型线图

Figure 6.  No.0 and No.5 Ships' lines generated from Dalian 400 t fishery administration ship

图  7  秋刀鱼渔船系列0号和5号样船型线图

Figure 7.  No.0 and No.5 Ships' lines generated from Saury fishing ship

研究船体艏部UV度对参数横摇薄弱性第1层校核（以下简称“第1层”）结果的影响。选取3个系列共18艘样船作为研究对象，采用本课题组前期开发的参数横摇薄弱性校核程序进行计算。计算时，假设同一系列样船的重心、吃水等参数相同，且未设置舭龙骨。具体计算结果如表5~表7所示。

由表5~表7可知，C11集装箱船系列样船和秋刀鱼渔船系列样船未通过参数横摇薄弱性第1层衡准校核，大连400 t渔政船系列船型通过了校核。3个系列样船，随着艏部UV度由V型向U型变化，$\Delta GM$与GM同时下降。图8为3个系列样船的第1层计算结果。由图可知，随着艏部型线由V型向U型变化，$\Delta GM/GM$的变化规律并不一致，C11集装箱船和秋刀鱼渔船是上升的，而大连400 t渔政船则是降低的，因为型线变化后$\Delta GM$与GM同时变化，$\Delta GM/GM$的变化趋势与$\Delta GM$，GM的变化程度有关。第1层评估只是简单的经验公式，仅反映了船舶静水中初稳性高和波浪中初稳性高的变化，没有反映阻尼和遭遇频率因素，所以无法从$\Delta GM/GM$的角度判断船艏UV度对参数横摇薄弱性的影响大小。

图  8  3个系列样船第1层计算结果

Figure 8.  Calculation results of level 1 of three series ships

研究船体艏部UV度对系列船型参数横摇薄弱性第2层（以下简称“第2层”）C2计算结果的影响。选取3个系列共18艘样船作为研究对象，采用本课题组前期开发的参数横摇薄弱性校核程序进行计算。在计算时，假设同一系列样船的航速、重心、吃水等参数相同，计算航速为25个，阻尼系数采用池田法进行计算，自摇周期应用《2008年国际完整稳性规则》中的公式计算。若考虑舭龙骨，大连400 t渔政船与秋刀鱼渔船系列样船第2层C2的计算结果将均为0，为了观察C2的变化趋势，未设置舭龙骨。3个系列样船第2层C2的计算结果如表8所示。

校核结果表明，C11集装箱船系列样船未能通过参数横摇薄弱性第2层衡准校核，大连400 t渔政船和秋刀鱼渔船通过了校核。随着船舶艏部UV度由V型向U型变化，C11集装箱船与秋刀鱼渔船的参数横摇薄弱性C2整体呈下降趋势，大连400 t渔政船的参数横摇薄弱性C2小幅上升，如图9所示。

图  9  3个系列样船第2层C2计算结果

Figure 9.  Calculation results of level 2 C2 of three series ships

由表8可见，大连400 t渔政船系列船型和秋刀鱼渔船系列船型的0号到1号船第2层C2的计算结果略有增加。将以大连400 t渔政船为例分析C2计算结果略微上升的原因。表9所示为大连400 t渔政船迎浪航行时不同航速、不同波陡条件下横摇幅值的计算结果。表中，横摇幅值的单位为（°），波陡航速序号0，1，2，3分别代表服务航速为0，${V_{\rm{S}}}$，${{\sqrt 3 }}{V_{\rm{S}}} /{2}$，${V_{\rm{S}}}/{2}$。由表9可知，在航速为${{\sqrt 3 }}{V_{\rm{S}}}/{2}$，波陡为0.1时，随着船艏型线由V型向U型变化，横摇幅值逐渐变小；在航速为${{\sqrt 3 }}{V_{\rm{S}}}/{2}$，波陡为0.09以及航速为${V_{\rm{S}}}/{2}$，波陡为0.1时，由2号船到3号船横摇幅值由0°分别增加到38.5°和44°，使得接下来插值过程中部分海况的横摇幅值大于25°，最终导致3号船第2层C2的校核结果比2号船大。这2种情况下横摇幅值突变的原因是0~2号船满足式(5)，按照草案的规定不易发生参数横摇，横摇幅值取0°，而3~5号船因不满足该条件，故需要计算横摇幅值。

式中：$G{M_{{\rm{amp}}}}$为波浪中初稳性高变化幅值，m；$GM$为静水中初稳性高，m；$G{M_{{\rm{mean}}}}$为波浪中初稳性高变化的平均值，m；${\omega _{\rm{e}}}$为遭遇频率；${\omega _\phi }$为自摇频率；$\alpha $为一次横摇阻尼系数。

若不考虑该条件，对0到5号船应用平均法计算横摇幅值，由表10~表11可知，2种计算条件下，0~2号船 的横摇幅值小于25°且逐渐减小，3号船的横摇幅值产生了突变。3号船产生突变的原因为：从0号到5号船，船舶自摇频率${\omega _\phi }$逐渐接近遭遇频率${\omega _{\rm{e}}}$的一半，3号船进入参数横摇激励频率范围，因此使得横摇幅值产生突变，最终导致C2计算结果略有增加。

按式(6)计算3艘样船的横摇阻尼力矩。

式中：$R$为横摇阻尼力矩，N·m；${I_{xx}}$，${J_{xx}}$分别为横摇惯性矩与附加惯性矩，m⁴；$\alpha $，$\gamma $分别为线性阻尼系数和三次阻尼系数；$\dot \phi $为横摇角速度，rad/s。

航速为服务航速，3个系列船型不同横摇角速度下的横摇阻尼力矩（单位：N·m）计算结果如表12~表14所示。从表中可看出，随着船艏型线由V型向U型变换，C11集装箱船的横摇阻尼力矩增加了；秋刀鱼渔船在横摇角速度大于0.14 rad/s时，阻尼力矩增加；而大连400 t渔政船的横摇阻尼力矩减小，该系列船型C2的变化趋势与其他系列船型不同。

本文选取C11集装箱船、大连400 t渔政船、秋刀鱼渔船为母型船，应用FFD法对3艘母型船艏部UV度进行变换，生成了3个系列共15艘新船型，并对3个系列共18艘样船进行了参数横摇薄弱性校核，探究了船体型线对参数横摇薄弱性的影响规律，可为参数横摇薄弱性衡准在国内的推广应用提供技术依据。通过本文的研究，主要得到以下结论：

1) 对于参数横摇薄弱性第1层衡准，船舶艏部型线由V型向U型变化时，船舶在静水中的初稳性高减小，波浪中初稳性高的变化幅值逐渐减小，3个系列样船第1层$\Delta GM/GM$的变化并不一致，且仅从$\Delta GM/GM$不能充分反映船体形状对参数横摇薄弱性的影响规律。

2) 对于参数横摇薄弱性第2层衡准，随着船舶艏部型线由V型向U型变化，C11集装箱船与秋刀鱼渔船的参数横摇薄弱性第2层C2整体呈现下降的趋势，船舶参数横摇失效概率降低，船舶越不容易发生参数横摇，而大连400 t渔政船的C2则有小幅的上升。

3) 大连400 t渔政船的C2有小幅的上升是因为自摇频率逐渐接近于遭遇频率的一半，进入了参数横摇的激励频率范围，在某些航速与波陡组合下，横摇幅值还出现了突然上升情况，同时随着型线由V型变换为U型，大连400 t渔政船的横摇阻尼力矩减小，最终导致第2层C2的计算结果上升。