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夹层板是一种由上下面板和支撑上下面板的中间心层组成，通常心层与面板的连接方式可以是激光焊接[1][2]，或者粘结[3]。这样组成的新结构可以称作为结构复合材料，与普通的板或加筋板相比，具有比强度高，比刚度高的优点，经常被应用到船舶工程、航空航天工程，列车车厢和桥梁工程中[4]。由于夹层板中的心层具有形式多样，材料选择空间大，可设计范围宽泛的优点，人们对它的研究也颇多。心层的结构形式可以是波纹型（V型），I型，Y型，O型，Z型和梯形等。关于波纹夹层板弯曲问题的研究中，逐渐形成了两个研究方向，一个方向是把波纹夹层板等效成正交异性板，按照正交异性板求解[5]；另一个方向则是直接根据心层的实际形状，忽略面板与心层连接位置处的剪应力连续条件，上下面板运用经典薄板理论，心层采用一阶剪切变形理论求解[6]。在第一个研究方向中，等效刚度和等效弹性参数的确定和计算方法是重点。1951年，Libove C把波纹夹层板整体等效成正交异性板，考虑夹层板拉伸与弯曲耦合，剪切与扭转耦合，并在弯曲问题中考虑了横向剪切力，运用变形等效原理推导了夹层板的等效刚度、等效模量和等效泊松比等弹性常数[7]。后来，Libove C的这一研究成果被很多学者重视，纷纷运用他的方法研究其他结构形式的夹层板的弹性常数，如Fung T C研究了Z型和C型夹层板的弹性常数计算方法[8]-[10]；Atashipour S R用Libove C的方法推导了正弦波纹心层的弹性常数[11]。文献[3]和[12]沿用了Libove C的方法，但是把夹层板的生产工艺一并考虑，即把面板与心层间的粘结层或焊缝层的受力状态做定量分析，推导了更为精准的弹性常数。Shaban M[13]采用能量法研究了梯形心层的等效弹性模量和模量与截面参数的变化规律，Bartolozzi G[14][15]、Park K[16]和Wang H[17]分别用不同方法研究了心层的等效弹性模量，根据心层等效弹性模量如何计算夹层板的整体刚度都没有提及。直接按照Libove C的方法求解夹层板整体弯曲刚度和剪切刚度，过程非常复杂。本文采用先求解心层等效弹性参数，然后应用层合板理论，计算整体弯曲刚度和剪切刚度。将整体弯曲刚度和剪切刚度代入正交异性板弯曲微分方程中，即可确定夹层板的弯曲微分方程。采用双傅立叶级数法求解该微分方程，从而计算出面板位移和应力。
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心层等效弹性模量的计算原理是变形等效，即外力相等的条件下，波纹心层实际的位移和均质模型的位移相等。Bartolozzi G[14]提出了一种计算正弦波纹板心层等效弹性模量的方法，本文参考这种方法，推导三角形波纹板的心层弹性模量。波纹夹层板和坐标系如图1所示，x轴沿着心层的母线方向，y轴沿着心层的波纹方向，z轴垂直于xoy平面，指向下方；xoy平面位于夹层板心层的中面。z<0一侧的面板叫上面板，z>0一侧的面板叫下面板。上面板厚度为tt，下面板厚度为tb，心层板厚tc，心层净高hc，心层周期长度lc，心层半周期斜面边长为l。心层倾斜面与面板夹角为
$\theta $ 。分析时，以普遍常见的上下面板，心层都用同一种材料制造的夹层板为研究对象，材料的弹性模量为E，剪切弹性模量为G，泊松比为μ；等效弹性模量推导过程中，x方向长度设为单位长度。
图 1 夹层板与坐标系统
Figure 1. Sandwich and coordinate system
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根据夹层板的周期性，为了简化公式推导，把坐标系原点移到上面板与心层中面交线的位置，如图2所示。为了得到剪切模量
$G_{y{\textit{z}}}^c$ ，在半周期心层结构的最高点施加x方向的水平力Fh，需要求出在水平力Fh作用下的上边沿水平位移${\varDelta _h}$ 。为了使结构处于纯剪切状态，最高点的转角和非水平方向的位移应当为零。为达到这一条件，需要在最高点施加虚拟的力矩M0和垂直力Fv，使得垂直位移${\varDelta _v}$ 和转角${\varDelta _m}$ 都为零。
图 2 计算
$G_{y{\textit{z}}}^c$ 模型与坐标系统Figure 2. Model for calculating
$G_{y{\textit{z}}}^c$ and coordinate system在图2所示的坐标系中，半周期的心层中心线方程可以表示为
$$f\left( y \right) = \frac{{2{h_c}}}{{{l_c}}}y$$ (1) 图2所示的心层任意一点的内力力矩M，拉力N和剪切力T，分别表示如下
$$M = {F_h}\left[ {{h_c} - f(y)} \right] + {F_v}\left[ {{l_c}/2 - y} \right] + {M_0}$$ (2) $$N = {F_h}\cos \theta - {F_v}\sin \theta $$ (3) $$T = {F_h}\sin \theta + {F_v}\cos \theta $$ (4) 根据卡氏定理，心层顶点的位移可以按照式（5）-（7）计算
$${\Delta _h} = \int_0^{lc/2} {\left( {\dfrac{{M\dfrac{{\partial M}}{{\partial {F_h}}}}}{{EI}} + \dfrac{{N\dfrac{{\partial N}}{{\partial {F_h}}}}}{{EA}} + \dfrac{{T\dfrac{{\partial T}}{{\partial {F_h}}}}}{{G\kappa A}}} \right)} \dfrac{{dy}}{{\cos \theta }}$$ (5) $${\Delta _v} = \int_0^{lc/2} {\left( {\dfrac{{M\dfrac{{\partial M}}{{\partial {F_v}}}}}{{EI}} + \dfrac{{N\dfrac{{\partial N}}{{\partial {F_v}}}}}{{EA}} + \dfrac{{T\dfrac{{\partial T}}{{\partial {F_v}}}}}{{G\kappa A}}} \right)} \dfrac{{dy}}{{\cos \theta }}$$ (6) $${\Delta _m} = \int_0^{lc/2} {\left( {\dfrac{{M\dfrac{{\partial M}}{{\partial {M_0}}}}}{{EI}} + \dfrac{{N\dfrac{{\partial N}}{{\partial {M_0}}}}}{{EA}} + \dfrac{{T\dfrac{{\partial T}}{{\partial {M_0}}}}}{{G\kappa A}}} \right)} \dfrac{{dy}}{{\cos \theta }}$$ (7) 其中，I，A是心层纵截面的惯性矩和面积。
$\kappa $ 是剪切修正系数。对于矩形截面，$I = t_c^3/12,A = {t_c}, \kappa = 5/6$ 。在纯剪切状态下，垂向位移${\Delta _v}$ 和转角${\Delta _m}$ 都为零。将式（1）-（4）代入式（5）-（7），则可以算出这三项位移，用矩阵方式表示如下
$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta _h}} \\ {{\Delta _v}} \\ {{\Delta _m}} \end{array}} \right] = \frac{1}{{EA}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}&{{a_{13}}} \\ {}&{{a_{22}}}&{{a_{23}}} \\ {sys.}&{}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_h}} \\ {{F_v}} \\ {{M_0}} \end{array}} \right]$$ (8) 简写为
$$ \Delta = \frac{1}{{EA}}aF $$ (9) 其中，矩阵中元素a11，a12······的计算，列于附录中。在式（8）中代入
${\Delta _v} = 0$ ，${\Delta _m} = 0$ ，可以求出${\Delta _h}$ 。$$\begin{split} & \qquad {\Delta _h} = \frac{1}{{EA}}\frac{{\left| a \right|}}{{{a_{22}}{a_{33}} - a_{23}^2}}{F_h} =\\& \frac{{{{\left( {{l_c}^2 + 4h_c^2} \right)}^2}\left[ {\kappa {l^2} + 2(1 + \mu )t_c^2} \right]{F_h}}}{{4E{t_c}l\left\{ {4\kappa h_c^2t_c^2 + l_c^2\left[ {\kappa {l^2} + 2\left( {1 + \mu } \right)t_c^2} \right]} \right\}}} \end{split}$$ (10) 心层的等效弹性模量可以通过定义式求出。
$$G_{y{\textit{z}}}^c \!=\! \frac{{{\tau _{y{\textit{z}}}}}}{{{\gamma _{y{\textit{z}}}}}} \!= \!\frac{{2{F_h}/{l_c}}}{{{\Delta _h}/{h_c}}} \!= \!\frac{{8E{t_c}{h_c}l\left\{ {4\kappa h_c^2t_c^2 + l_c^2\left[ {\kappa {l^2} + 2\left( {1 + \mu } \right)t_c^2} \right]} \right\}}}{{{l_c}{{( {{l_c}^2 + 4h_c^2} )}^2}\left[ {\kappa {l^2} + 2(1 + \mu )t_c^2} \right]}}$$ (11) -
计算y方向的拉压等效弹性模量
$E_y^c$ 时，仅需要在半周期的心层顶点加载水平力${F_h}$ 和限制转角的力矩${M_0}$ ，垂向位移不必限制。求等效弹性模量$E_y^c$ 的过程与2.1节的过程类似，仅需在2.1节的推导过程中令${F_v} = 0$ 即可。半周期心层中任意一点的内力表达式如下$$M = {F_h}\left[ {{h_c} - f(y)} \right] + {M_0}$$ (12) $$N = {F_h}\cos \theta $$ (13) $$T = {F_h}\sin \theta $$ (14) 注意到
${F_v} = 0$ ，式（8）就退化成$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\Delta _h}} \\ {{\Delta _m}} \end{array}} \right] = \frac{1}{{EA}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{13}}} \\ {{a_{31}}}&{{a_{33}}} \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_h}} \\ {{M_0}} \end{array}} \right]$$ (15) 计算
$E_y^c$ 时，构件应该处于拉伸状态，则转角${\Delta _m} = 0$ ，求出$${\Delta _h} \!=\! \frac{1}{{EA}}\frac{{{a_{11}}{a_{33}} - a_{13}^2}}{{{a_{33}}}}{F_h}\! =\! \frac{{\left\{ {\kappa l_c^2t_c^2 + 4h_c^2\left[ {\kappa {l^2} \!+\! 2(1 + \mu )t_c^2} \right]} \right\}{F_h}}}{{4Et_c^3\kappa l}}$$ (16) 夹层板心层的弹性模量可以根据应力应变关系式求得。
$$E_y^c = \frac{{{\sigma _y}}}{{{\varepsilon _y}}} = \frac{{{F_h}/{h_c}}}{{2{\Delta _h}/{l_c}}} = \frac{{2Et_c^3\kappa l{l_c}}}{{{h_c}\kappa l_c^2t_c^2 + 4h_c^3\left[ {\kappa {l^2} + 2(1 + \mu )t_c^2} \right]}}$$ (17) -
计算x方向的拉压等效弹性模量
$E_x^c$ ，则仅需要在x方向加载${F_x}$ ，保证心层的应变与均质等效模型的应变相同即可。$${\varepsilon _x} = \frac{{{F_x}}}{{E{t_c}l}} = \frac{{{F_x}}}{{E_x^c{l_c}{h_c}/2}}$$ (18) 从（18）式中解出
$E_x^c$ 。$$E_x^c = \frac{{2E{t_c}l}}{{{h_c}{l_c}}}$$ (19) -
计算夹层板心层等效剪切模量
$G_{zx}^c$ 时，保持心层处于纯剪切状态，心层顶部纵截面和底部纵截面加载方向相反的Fx，顶部沿着x轴正向（如图3所示）。为了保持平衡，必须在心层前后截面加载方向相反的Fxl
图 3 计算
$G_{zx}^c$ 力学模型Figure 3. Mechanics model for calculating
$G_{zx}^c$ 心层前部截面的剪应力
$${\tau _1} = \frac{{{F_x}l}}{{l{t_c}}} = \frac{{{F_x}}}{{{t_c}}}$$ 如图4，∏1平面（法向量为n）上的剪应力，可由剪应力互等定理得出也为τ1。∏2平面的剪应力由边界面力为零得出其剪应力为零。所以在一系列与∏2平面平行的平面族中，心层顶部矩形剪切变形
$${\Delta _x} = {\gamma _{zx}}l = \frac{{{F_x}l}}{{G{t_c}}}$$ (20) 
图 4 心层前端面受力状态
Figure 4. Stress state of the core front face
为了求得
$G_{{\textit{z}}x}^c$ ，在均质等效模型上表面加同样载荷。则等效模型的剪切变形为$${\Delta _{xe}} = {\gamma _{{\textit{z}}xe}}{h_c} = \frac{{{F_x}{h_c}}}{{G_{{\textit{z}}x}^c{A_e}}} = \frac{{{F_x}{h_c}}}{{G_{x{\textit{z}}}^c{l_c}/2}} = \frac{{2{F_x}{h_c}}}{{G_{x{\textit{z}}}^c{l_c}}}$$ (21) 原模型与等效模型具有相同的剪切变形，即式（20）与式（21）相等。求出
$G_{{\textit{z}}x}^c$ 。$$G_{x{\textit{z}}}^c = \frac{{2G{h_c}{t_c}}}{{l{l_c}}}$$ (22) 在推导
$G_{{\textit{z}}x}^c$ 时，文献[14]加载外力的作用面法向量并非是图4中的z1轴，这与$G_{{\textit{z}}x}^c$ 的定义似乎不相符。并且求解剪切变形采用的是铁木辛科（Timoshenko）梁理论，这与心层处于纯剪切的前提也不相符。用同样方法可以推导出
$G_{yx}^c$ 的表达式。$$G_{yx}^c = \frac{{G{l_c}{t_c}}}{{2{h_c}l}}$$ (23) -
$\mu _{xy}^c$ 是指y方向的应力引起的x方向的应变与y方向应变的负值，$\mu _{xy}^c$ 的含义也类似。用公式表达就是$$\mu _{xy}^c = - \frac{{{\varepsilon _x}}}{{{\varepsilon _y}}}$$ (24) 还是考虑2.2节的载荷状态，y方向的应变为
$${\varepsilon _y} = \frac{{2{\Delta _h}}}{{{l_c}}}$$ (25) 沿着心层板面的倾斜方向的应变为
$${\varepsilon _l} = \frac{{{F_h}\cos \theta }}{{E{t_c}}}$$ (26) x方向的应变为
$${\varepsilon _x} = - \mu {\varepsilon _l} = - \frac{{\mu {F_h}\cos \theta }}{{E{t_c}}}$$ (27) 根据式（24）的定义，泊松比
$$\mu _{xy}^c = \frac{{\mu {F_h}{l_c}\cos \theta }}{{2E{t_c}{\Delta _h}}} = \frac{{\mu \kappa t_c^2l_c^2}}{{\kappa l_c^2t_c^2 + 4h_c^2\left[ {\kappa {l^2} + 2\left( {1 + \mu } \right)t_c^2} \right]}}$$ (28) 再考虑仅在x方向上给心层施加外力
${F_x}$ （2.3节的状态），y方向的应变可以表示为$${\varepsilon _y} = \frac{{{\varepsilon _l}l\cos \theta }}{{{l_c}/2}} = {\varepsilon _l} = - \mu {\varepsilon _x}$$ (29) 所以
$$\mu _{yx}^c = - \frac{{{\varepsilon _y}}}{{{\varepsilon _x}}} = \mu $$ (30) 通过上面的式（17）（19）和式（28）（30），可以看出泊松比满足正交异性体的关系式
$$E_x^c\mu _{xy}^c = E_y^c\mu _{yx}^c$$ (31) 这也验证了前面的推导的正确性。
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上下面板是均质各向同性弹性体，心层则通过第2节的推导，当作正交异性体。这样就可以按照层合板理论来计算夹层板的整体刚度，这个过程实质上就是将各层的离轴折减刚度乘以惯性矩（面积）按各层的贡献累加[18]。
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根据前面的推导，波纹夹层板上下三层相当于三层层合板，上下两层是各向同性体，中间层是正交异形体。当上下面板厚度不相等时，即tb≠tt时，夹层板的中性层一般并非夹层板的厚度中心层，并且xz面内弯曲与yz面内弯曲中性层不重合。以下计算惯性矩，都是相对于对应的弯曲中性层而言的。
定义面板中心间距h
$$h = {h_c} + \left( {{t_t} + {t_b}} \right)/2$$ (32) 单位宽度夹层梁（杆）的x向拉压刚度
${\overline {EA} _x}$ $${\overline {EA} _x} = E\left( {{t_t} + {t_b}} \right) + E_x^c{h_c}$$ (33) xz面内弯曲时，中性层与下面板中心层的间距hx
$${h_x} = \frac{{E{t_t}h + E_x^c{h_c}\left( {{h_c} + {t_b}} \right)/2}}{{{{\overline {EA} }_x}}}$$ (34) xz面内弯曲，上下面板的惯性矩Ixf
$${I_{xf}} = {t_b}h_x^2 + {t_t}{\left( {h - {h_x}} \right)^2}$$ (35) xz面内弯曲，心层的等效惯性矩Ixc
$${I_{xc}} = h_c^3/12 + {h_c}{\left( {{h_c}/2 + {t_b}/2 - {h_x}} \right)^2}$$ (36) 类似地可以定义单位宽度夹层梁（杆）的y向拉压刚度
${\overline {EA} _y}$ 等上述对应的4个参数，仅需将式（32）-（36）中的下标x换成y即可。 -
根据层合板理论[18]，可以将各层的刚度累加计算夹层板的总体刚度。
xz面内弯曲刚度D1
$${D_1} = \frac{{E{I_{xf}}}}{{1 - {\mu ^2}}} + \frac{{E_x^c{I_{xc}}}}{{1 - \mu _{xy}^c\mu _{yx}^c}}$$ (37) yz面内弯曲刚度D2
$${D_2} = \frac{{E{I_{yf}}}}{{1 - {\mu ^2}}} + + \frac{{E_y^c{I_{yc}}}}{{1 - \mu _{xy}^c\mu _{yx}^c}}$$ (38) xz面内弯曲与yz面内弯曲耦合刚度D12
$${D_{12}} = \frac{{\mu E{I_{xf}}}}{{1 - {\mu ^2}}} + \frac{{\mu _{xy}^cE_x^c{I_{xc}}}}{{1 - \mu _{xy}^c\mu _{yx}^c}}$$ (39) yz（xz）面内的扭转刚度Dk
$${D_k} = G{I_{xf}} + G_{xy}^c{I_{xc}}$$ (40) xz面内弯曲的剪切刚度C1
$${C_1} = G_{x{\textit{z}}}^c{h_c} + G\left( {{t_t} + {t_b}} \right)$$ (41) yz面内弯曲的剪切刚度C2。
$${C_2} = G_{y{\textit{z}}}^c{h_c} + G\left( {{t_t} + {t_b}} \right)$$ (42) 式（37）-（42）中的
$E_x^c$ 、$\mu _{xy}^c$ 、$\mu _{yx}^c$ 和$E_y^c$ 等参数在第2节中已经列出其计算方法。 -
对于对称的波纹夹层板，其弯曲微分方程可以直接采用一阶剪切变形理论为基础的对称层合板弯曲微分方程[19]，表示如下，
$$\left\{ { \begin{aligned} & {{D_1}\frac{{{\partial ^2}{\varphi _x}}}{{\partial {x^2}}} \!+\! {D_k}\frac{{{\partial ^2}{\varphi _x}}}{{\partial {y^2}}} \!+\! \left( {{D_{12}} \!+\! {D_k}} \right)\frac{{{\partial ^2}{\varphi _y}}}{{\partial x\partial y}}\! - \!{C_1}{\varphi _x} \!+\! {C_1}\frac{{\partial w}}{{\partial x}} \!= \!0} \\ & {\left( {{D_{12}} \!+\! {D_k}} \right)\frac{{{\partial ^2}{\varphi _x}}}{{\partial x\partial y}}\! +\! {D_2}\frac{{{\partial ^2}{\varphi _y}}}{{\partial {y^2}}} \!+ \!{D_k}\frac{{{\partial ^2}{\varphi _y}}}{{\partial {x^2}}} \!- \!{C_2}{\varphi _y} \!+\! {C_2}\frac{{\partial w}}{{\partial y}}\! =\! 0} \\ & {{C_1}\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}} + {C_2}\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}} - {C_1}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}} - {C_2}\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}} - p = 0} \end{aligned}} \right.$$ (43) 式（43）中的
${\varphi _x}$ 、${\varphi _y}$ 和w是待求的基本未知量，代表夹层板xz平面、yz平面内的转角和横向位移，坐标系统如图1；p为横向载荷。对于非对称的波纹夹层板弯曲方程比式（43）要多两个未知函数，即弯曲方程为5个联立方程组，并且前述刚度中的惯性矩一般统一定义为相对于厚度中间层。非对称夹层板弯曲方程的推导可以采用最小势能原理。若波纹夹层板为对称结构，则中性层就是中间层，因此刚度定义可以直接采用式（37）-（42）。
对于x向长为a，y向长为b的四边简支的夹层板，边界条件为
$$\left. { \begin{aligned} & {x = 0,a;w = 0,{\varphi _y} = 0,\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}} = 0} \\ & {y = 0,b;w = 0,{\varphi _x} = 0,\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}} = 0} \end{aligned}} \right\}$$ (44) 可以设方程（43）的解为双傅立叶级数形式
$$w = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {{w_{mn}}\sin \frac{{m\pi x}}{a}} } \sin \frac{{n\pi y}}{b}$$ (45) $${\varphi _x} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\varphi {x_{mn}}\cos \frac{{m\pi x}}{a}} } \sin \frac{{n\pi y}}{b}$$ (46) $${\varphi _y} = \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {\varphi {y_{mn}}\sin \frac{{m\pi x}}{a}} } \cos \frac{{n\pi y}}{b}$$ (47) wmn，φxmn和φymn分别是对应的傅里叶系数，m，n则是傅里叶级数的项序数。
其实，式（45）-（47）已经满足了式（44）的边界条件。
横向载荷p若为集中力，作用点的坐标为（x0，y0），可以把集中力展开成双傅立叶级数。
$$\begin{split} & \qquad\qquad\qquad p = p\delta \left( {x - {x_0},y - {y_0}} \right) =\\& \sum\limits_{m = 1}^\infty {\sum\limits_{n = 1}^\infty {4p\sin \frac{{m\pi {x_0}}}{a}\cos \frac{{n\pi {y_0}}}{b}\sin \frac{{m\pi x}}{a}} } \cos \frac{{n\pi y}}{b}/ab \end{split}$$ (48) 式（48）中的
$\delta \left( {x - {x_0},y - {y_0}} \right)$ 是二维狄拉克函数。将式（45）-（48）代入式（43），然后比较两边的系数，即每项合并后的傅里叶系数为零，可以分别求出上述式（45）-（47）中双傅立叶级数的系数。
其它的载荷情况都可以通过集中载荷累加（积分）得到。如多个集中载荷可以表示为
$\sum {{p_i}\delta} {\left( {x - {x_{0i}},y - {y_{0i}}} \right)}$ ，线性分布（均布）载荷可以表示为$\iint\limits_D {p\left( {x,y} \right)\delta \left( {x - {x_0},y - {y_0}} \right)d{x_0}d{y_0}}$ 。在线弹性范围内可以直接将单个集中载荷产生的变形或应力累加（积分），即求出不同载荷形式的变形和应力解答。 -
求出夹层板的变形之后，还需要继续求解夹层板的应力，即确定夹层板的应力。
根据层合板理论[18]，夹层板面板的应变可以按式（49）-（51）计算。
面板x向应变εx
$${\varepsilon _x} = - {\textit{z}}\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}}$$ (49) 面板y向应变εy
$${\varepsilon _y} = - {\textit{z}}\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}}$$ (50) 面板剪切应变γxy
$${\gamma _{xy}} = - {\textit{z}}\left( {\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial y}}} \right)$$ (51) 应力最大的位置应当出现在上下面板上，所以我们更关心这些位置的应力。
面板x向应力σx
$${\sigma _x} = - E{\textit{z}}\left( {\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}} + \mu \frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}}} \right)\Big/\left( {1 - {\mu ^2}} \right)$$ (52) 面板y向应力σy
$${\sigma _y} = - E{\textit{z}}\left( {\frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial y}} + \mu \frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial x}}} \right)\Big/\left( {1 - {\mu ^2}} \right)$$ (53) 面板剪切应力τxy
$$ {\tau _{xy}} = G\left( {\frac{{\partial {\varphi _x}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial {\varphi _y}}}{{\partial x}}} \right) $$ (54) 将第4节求出的变形分别代入式（52）-（54），则可以计算出上下面板的应力分布。心层的x向应力σx，可以根据上下面板的σx插值求得；心层的y向应力σy和剪应力τxy一般很小，可以忽略。
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计算下列两组规格波纹夹层板的等效刚度；规格1：夹层板上下面板厚度tt=2 mm，tb=4 mm，心层板厚度tc=2 mm，心层静高度hc=40 mm，心层周期间距lc=50 mm，弹性模量E=2.1×105 MPa，泊松比μ=0.3；规格2：tt=tb=3 mm，其余参数与规格1相同。为比较本文所提出的等效计算方法的精度，分别采用Libove C提供的计算方法（以下简称方法A）和本文的方法（以下简称方法B）计算上述夹层板的等效刚度。
表 1 规格1夹层板刚度计算结果
Table 1. The evaluation results of type No.1 sandwich panel stiffness
D1/N·m D2/N·m D12/N·m Dk/N·m C1/N·m C2/N·m 方法A 704563 570308 171092 203854 2.533e8 1.878e8 方法B 705663 570414 174758 217166 2.356e8 1.729e8 误差（%） 0.15 0.01 2.14 6.53 −6.98 −7.95 表 2 规格2夹层板刚度计算结果
Table 2. The evaluation results of type No.2 sandwich panel stiffness
D1/N·m D2/N·m D12/N·m Dk/N·m C1/N·m C2/N·m 方法A 746738 641077 192323 224377 2.533e8 1.732e8 方法B 746744 641151 192345 235792 2.356e8 1.729e8 误差（%） 0.00 0.01 0.01 5.09 −6.98 −0.21 表1和表2显示本文提出的刚度计算方法在计算对称波纹夹层板时，误差小于−6.98%。这个计算误差对波纹夹层板弯曲变形和弯曲应力的影响如何，通过下面的计算算例来说明。对比表1和表2发现，夹层板非对称性越明显，则误差也会增大。
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夹层板四边简支，长边a=2 000 mm，短边b=1500 mm，规格采用6.1节中的规格2，即上下面板厚度tt=tb=3 mm，心层板厚度tc=2 mm，心层静高度hc=40 mm，心层周期间距lc=50 mm，弹性模量E=2.1×105 MPa，泊松比μ=0.3。集中力作用于上面板的中心点，作用点的坐标为（1000,750），集中力的大小为p=2×104 N。
为了验证方法的准确性，将本文方法计算结果与ANSYS计算结果对比；为了验证刚度计算误差对弯曲变形和弯曲应力的影响，将本文的计算方法与Libove C的方法[7]对比。。各方法分别命名如下，方法1：不作等效处理，考虑心层实际形状，采用ANSYS有限元计算方法。上下面板和心层板均采用Shell 181单元，网格尺寸12.5*12.5 mm，单元总数76800；方法2：本文计算方法；方法3：刚度计算方法采用Libove C的方法[7]，弯曲变形与应力采用第4，5节的方法，对于夹层板弯曲的计算方法上不能算作一种新的方法，实际上与方法2是相同的，仅其中的刚度计算方法不同而已，为了方便叙述，也称作一种计算方法。因为集中载荷作用点就是变形最大的位置，因此提取通过中心点的两条直线上的变形分布，如图5和图6。拉应力最大出现在下面板下表面，压应力最大出现在上面板上表面，因此将y=b/4，b/3和x=a/4，a/3位置处对应的最大应力分布绘制在图7-图14中。没有关注y=b/2和x=a/2位置的应力分布是因为这些位置通过集中载荷作用点，作用点及附近应力为无穷大。
图 5 y=b/2位置处的位移
Figure 5. Deflection of y=b/2
图 6 x=a/2位置处的位移
Figure 6. Deflection of x=a/2
图 7 y=b/4位置处下面板下表面应力x向应力
Figure 7. Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/4
图 8 y=b/3位置处下面板下表面应力x向应力
Figure 8. Bottom facesheet lowersurface x direction stress at y= b/3
图 9 y= b/4位置处上面板上表面应力x向应力
Figure 9. Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/4
图 10 y=b/3位置处上面板上表面应力x向应力
Figure 10. Top facesheet uppersurface x direction stress at y= b/3
图 11 x=a/4位置处下面板下表面应力y向应力
Figure 11. Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/4
图 12 x=a/3位置处下面板下表面应力y向应力
Figure 12. Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/3
图 13 x=a/4位置处上面板上表面应力y向应力
Figure 13. Top facesheet upper surface y direction stress at x= a/4
图 14 x= a/3位置处上面板上表面应力y向应力
Figure 14. Top facesheet upper surface y direction stress at x=a/3
图5、图6中三种计算方法计算的位移分布几乎相同，与方法1对比，方法2最大误差为−2.01%，以方法3为基准，方法2最大误差为−1.27%。这意味着本文关于夹层板弯曲的计算方法是正确的。
图7-图14可以看到，方法2和方法3计算的应力非常接近，如果以Libove C的计算值为基准，上述图示中应力的最大误差为−1.36%。结合表2的刚度计算结果，可以说明刚度最大误差接近−7%，仅导致应力最大误差−1.36%，说明本文关于计算刚度的方法可以用于夹层板的弯曲计算，不会因为刚度计算误差导致变形和应力计算误差放大。
方法1是目前人们公认计算比较精确的方法。关于x向应力，图8和图9显示，三种方法计算结果是极其接近的；图7和图10则不同，方法1与其余两种方法差别较大，并且方法2和方法3的结果普遍比方法1大（指计算值的绝对值）。这是因为波纹夹层板面板应力沿着波纹方向（y方向）分布是波纹振荡的，在心层与面板结合的位置（上面板为y=k lc，下面板为y=（k+1/2）lc，k为正整数），局部刚度最大，应力达到局部极小值；在结合点中心的位置（上面板为y=（k+1/2）lc，下面板为y=k lc，k为正整数），局部刚度最小，应力达到局部极大值。这种规律可以从图11-图14中看出来，虽然图中所列是y向应力，x向应力波动规律也类似。不仅如此图11-14中还有一个规律，方法2和方法3的计算值是方法1波动峰值的光滑连线。因为x=b/4=7.5 lc正是心层与下面板的结合点，x=b/3=10 lc正是心层与上面板的结合点，应力处于波动的波谷点，所以方法1的计算值普遍偏小。方法2和方法3无法捕捉这种波动规律，本质原因是采用了均匀化处理，将非连续的心层等效成连续介质。不过，这并不影响方法2和方法3的工程应用，因为方法2和方法3是方法1峰值的连线，即方法2和方法3在工程上是偏于安全的。忽略方法1中应力的这种波动分布，仅用峰值光滑连线与方法2比较，方法2（本文方法）的应力最大误差是3.63%。
图5-图14仅展示了少数几个特殊位置的变形分布和应力分布，并非意味着仅这几个位置的数据满足方法2与方法1和方法3吻合较好的结论。通过其他位置的试算对比，都吻合得比较好，误差也没有明显偏离上述结论（应力对比应当剔除载荷作用点位置）。
本文采用了双傅里叶级数解法，必然涉及到级数收敛的检验。本文关于变形和应力都是累加到m=n=15。关于变形的收敛性，跟单层板类似，收敛较快，累加到m=n=5就收敛。应力收敛较慢，为了证明本文的结果是收敛的计算值，图15列出了下面板下表面点（a/2，b/3）位置的x向应力与累加次数（m=n）的函数图。从图上看到，当m=n≥15时，级数项数再增加，应力差别不超过0.5 MPa。对于方法1的收敛性，也通过有限元网格由疏到密做过检验，上述图示中的结果都是处于收敛状态的解。
图 15 应力收敛性检验
Figure 15. Stress convergence survey
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通过将波纹夹层板中间心层等效成正交异性体，应用卡氏定理求解各项等效弹性模量，再采用层合板理论计算夹层板的整体刚度，这种先等效再累加计算整体等效刚度的方法可以避免完全直接采用Libove C方法计算剪切刚度时的复杂繁琐计算，在夹层板弯曲计算中，误差很小。
通过算例验证，本文关于等效刚度的计算方法与Libove C的计算方法相比，当计算对象为对称波纹夹层板时，计算误差最小，误差为−6.98%，当计算对象为非对称波纹夹层板时，误差会有所增加。
刚度计算误差并不会导致夹层板位移和应力计算误差的放大，采用双傅里叶级数求解波纹夹层板弯曲问题时，计算误差将明显缩小。−6.98%的刚度误差仅产生位移误差−1.27%和−1.36%的应力误差。
本文关于波纹夹层板变形的计算方法与有限元法相比，误差为−2.01%；有限元法计算结果显示，夹层板上下面板应力沿波纹方向的分布表现出波动性，在面板与心层结合点的位置，局部刚度达到极大值，应力达到局部极小值；在结合点中心位置，局部刚度达到极小值，应力达到局部极大值。本文方法采用了均匀化处理，应力分布没有波动表现。计算的结果接近于有限元法波动峰值的光滑连线，与其光滑连线相比，最大误差为3.63%。
Calculation bending deflection and stress for corrugated core sandwich panels employing equivalent stiffness method
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摘要:
目的 为了探索波纹夹层板弯曲问题的计算方法，求解波纹夹层板的弯曲变形与应力，提出了一种等效刚度法。 方法 将波纹夹层板中间心层等效成正交异性体，应用卡氏定理求解心层的等效弹性模量，最后应用层合板理论计算夹层板的整体刚度。依据夹层板的整体刚度，求解正交异性板的弯曲平衡方程，可计算出夹层板的弯曲变形分布；通过求出的变形，应用虎克定律，即可推导夹层板的弯曲应力分布。 结果 通过算例验证，与Libove C的方法相比，本文方法计算的刚度误差为-6.98%；与有限元法相比，本文方法计算的夹层板变形最大误差为-2.01%，应力最大误差为3.63%。 结论 这种分层累加计算整体刚度的方法，可以避免完全直接采用Libove C方法计算刚度时的复杂繁琐推导，用于弯曲计算可以获得较好的计算精度。 Abstract:Objective In order to develop computation method of corrugated core panels bending issue, and to solve bending deflection and stress of these structures, Method a method named equivalent stiffness method was proposed. Middle core of these sandwich panels were equivalent to orthotropic elastic materials, then equivalent elastic modulars of the cores were solved by Castigliano’s thorem, and integral stiffnesses of the sandwich panels were calculated by laminated plate theory. According to the solved integral stiffness constants, distribution of bending deflection was achieved by solving orthotropic plate bending equilibrium equations. Stress distribution was derived when Hooke Low adopted. Result It was validated that error of the stiffness evaluated by this proposed method is -6.98% compare with Libove C method, maximum error of deflection is -2.01%, and stress is 3.63%, correspond to FEM results respectively. Conclusion This proposed method for calculating integral stiffness through accumulation layerwise not only avoids complicated derivation applying Libove C method completely, but also calculation precision is satisfied when computing bending issue. -
图 2 计算
$G_{y{\textit{z}}}^c$ 模型与坐标系统Figure 2. Model for calculating
$G_{y{\textit{z}}}^c$ and coordinate system
图 7 y=b/4位置处下面板下表面应力x向应力
Figure 7. Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/4
图 8 y=b/3位置处下面板下表面应力x向应力
Figure 8. Bottom facesheet lowersurface x direction stress at y= b/3
图 9 y= b/4位置处上面板上表面应力x向应力
Figure 9. Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/4
图 10 y=b/3位置处上面板上表面应力x向应力
Figure 10. Top facesheet uppersurface x direction stress at y= b/3
图 11 x=a/4位置处下面板下表面应力y向应力
Figure 11. Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/4
图 12 x=a/3位置处下面板下表面应力y向应力
Figure 12. Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/3
图 13 x=a/4位置处上面板上表面应力y向应力
Figure 13. Top facesheet upper surface y direction stress at x= a/4
图 14 x= a/3位置处上面板上表面应力y向应力
Figure 14. Top facesheet upper surface y direction stress at x=a/3
表 1 规格1夹层板刚度计算结果
Table 1. The evaluation results of type No.1 sandwich panel stiffness
D1/N·m D2/N·m D12/N·m Dk/N·m C1/N·m C2/N·m 方法A 704563 570308 171092 203854 2.533e8 1.878e8 方法B 705663 570414 174758 217166 2.356e8 1.729e8 误差（%） 0.15 0.01 2.14 6.53 −6.98 −7.95 
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表 2 规格2夹层板刚度计算结果
Table 2. The evaluation results of type No.2 sandwich panel stiffness
D1/N·m D2/N·m D12/N·m Dk/N·m C1/N·m C2/N·m 方法A 746738 641077 192323 224377 2.533e8 1.732e8 方法B 746744 641151 192345 235792 2.356e8 1.729e8 误差（%） 0.00 0.01 0.01 5.09 −6.98 −0.21
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KUJALA P, ROMANOFF J, TABRI K, et al. All steel sandwich panels – design challenges for practical applications on ships[C]//Proceedings of the 9th Symposium on Practical Design of Ships and Other Floating Structures. Deutschland: Lübeck-Travemünde, 2004: 1-8. (请核对出版信息) KUJALA P, KLANAC A. Steel sandwich panels in marine applications[J]. Brodogradnja, 2005, 56(4): 305–314. YU Y, HOU W B, HU P, et al. Elastic constants for adhesively bonded corrugated core sandwich panels[J]. Composite Structures, 2017, 176: 449–459. doi: 10.1016/j.compstruct.2017.05.057 丁德勇, 王虎, 凌昊, 等. I型金属夹层结构连接构件强度特性研究及灵敏度分析[J]. 中国舰船研究, 2014, 9(2): 22–29. doi: 10.3969/j.issn.1673-3185.2014.02.005 DING D Y, WANG H, LING H, et al. Strength property and sensitivity of I-Core steel sandwich panel joints[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2014, 9(2): 22–29 (in Chinese). doi: 10.3969/j.issn.1673-3185.2014.02.005 CHANG W S, VENTSEL E, KRAUTHAMMER T, et al. Bending behavior of corrugated-core sandwich plates[J]. Composite Structures, 2005, 70(1): 81–89. doi: 10.1016/j.compstruct.2004.08.014 HE L, CHENG Y S, LIU J. Precise bending stress analysis of corrugated-core, honeycomb-core and X-core sandwich panels[J]. Composite Structures, 2012, 94(5): 1656–1668. doi: 10.1016/j.compstruct.2011.12.033 LIBOVE C, HUBKA R E. Elastic constants for corrugated core sandwich plates[J]. Journal of Structural Engineering, 1951, 122(8): 958–966. FUNG T C, TAN K H, LOK T S. Elastic constants for Z-core sandwich panels[J]. Journal of Structural Engineering, 1994, 120(10): 3046–3055. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1994)120:10(3046) FUNG T C, TAN K H. Shear stiffness for Z-core sandwich panels[J]. Journal of Structural Engineering, 1998, 124(7): 809–816. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1998)124:7(809) FUNG T C, TAN K H, LOK T S. Shear stiffness D Qy for C-core sandwich panels[J]. Journal of Structural Engineering, 1996, 122(8): 958–966. doi: 10.1061/(ASCE)0733-9445(1996)122:8(958) ATASHIPOUR S R, AL-EMRANI M. A realistic model for transverse shear stiffness prediction of composite corrugated-core sandwich elements[J]. International Journal of Solids and Structures, 2017, 129: 1–17. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2017.09.020 NILSSON P, AL-EMRANI M, ATASHIPOUR S R. Transverse shear stiffness of corrugated core steel sandwich panels with dual weld lines[J]. Thin-Walled Structures, 2017, 117: 98–112. doi: 10.1016/j.tws.2017.04.008 SHABAN M, ALIBEIGLOO A. Three-dimensional elasticity solution for sandwich panels with corrugated cores by using energy method[J]. Thin-Walled Structures, 2017, 119: 404–411. doi: 10.1016/j.tws.2017.06.035 BARTOLOZZI G, PIERINI M, ORRENIUS U, et al. An equivalent material formulation for sinusoidal corrugated cores of structural sandwich panels[J]. Composite Structures, 2013, 100: 173–185. doi: 10.1016/j.compstruct.2012.12.042 BARTOLOZZI G, BALDANZINI N, PIERINI M. Equivalent properties for corrugated cores of sandwich structures: a general analytical method[J]. Composite Structures, 2014, 108: 736–746. doi: 10.1016/j.compstruct.2013.10.012 PARK K J, JUNG K, KIM Y W. Evaluation of homogenized effective properties for corrugated composite panels[J]. Composite Structures, 2016, 140: 644–654. doi: 10.1016/j.compstruct.2016.01.002 WANG H X, CHUNG S W. Equivalent elastic constants of truss core sandwich plates[J]. Journal of Pressure Vessel Technology, 2011, 133(4): 041203. doi: 10.1115/1.4003473 吕恩琳. 复合材料力学[M]. 重庆: 重庆大学出版社, 1992. LV E L. Mechanics of Composite Materials[M]. Chongqing: Chongqing University Press, 1992 (in Chinese).(未找到本条文献英文信息, 请核对) 中国科学院北京力学研究所, 固体力学研究室板壳组. 夹层板壳的弯曲稳定和振动[M]. 北京: 科学出版社, 1977. Beijing Institute of Mechanics, Chinese Academy of Sciences, Plate and Shell Group of Solid Mechanics Research Lab. Bending Stability and Vibration of Sandwich Shell[M]. Beijing: Sciences Press, 1977 (in Chinese).(未找到本条文献英文信息, 请核对) -
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