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任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析

鲍四元 曹津瑞

鲍四元, 曹津瑞. 任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析[J]. 中国舰船研究, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
引用本文: 鲍四元, 曹津瑞. 任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析[J]. 中国舰船研究, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
BAO S Y, CAO J R. Elastic buckling analysis of rectangular plates with arbitrary elastic boundary conditions[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
Citation: BAO S Y, CAO J R. Elastic buckling analysis of rectangular plates with arbitrary elastic boundary conditions[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808

任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01808
基金项目: 国家自然科学基金资助项目(11202146)
详细信息
    作者简介:

    鲍四元,男,1980年生,博士,副教授。研究方向:结构振动,谱几何法,辛方法。E-mail:bsiyuan@126.com

    通讯作者:

    鲍四元 

  • 中图分类号: U661.43

Elastic buckling analysis of rectangular plates with arbitrary elastic boundary conditions

  • 摘要:   目的  矩形薄板的屈曲研究具有重要的理论和实际意义。针对工程中常见的矩形薄板结构,为了研究其在任意弹性边界条件下受轴向压力的屈曲特性,给出一种基于系统最小势能原理计算弹性失稳时屈曲载荷的方法。  方法  首先,在板结构模型的四条边界上分别设置旋转约束弹簧和横向约束弹簧,并设定两类弹性弹簧的刚度值大小以模拟任意弹性边界条件。由于经典傅里叶级数形式的位移函数在边界上的导数可能存在不连续问题,因此引入辅助函数,并以三角级数形式建立位移函数的几何表达式。然后,建立矩形板系统的势能表达式,结合最小势能原理,对未知傅里叶系数求偏导建立线性方程组。最后,求解得到矩形板临界屈曲载荷等参数,给出不同边界条件下弹簧刚度的合理取值,并将本研究所提方法得到的屈曲载荷与文献中的计算结果进行对比。  结果  结果显示,采用本研究方法所得屈曲载荷与文献中的计算结果吻合良好,验证了本文研究方法的正确性和收敛性。  结论  研究成果可为船舶相关结构的分析提供参考。
  • 图  1  弹性边界条件矩形薄板受压示意图

    Figure  1.  Illustration of thin rectangular plate with elastic boundary conditions

    图  2  CSCS边界方形板的前3阶屈曲模态

    Figure  2.  The first three modes of a square plate with CSCS boundary

    表  1  不同弹性边界条件中横向弹簧和旋转弹簧的约束刚度系数取值

    Table  1.   The values chosen for the constrained stiffness coefficients of translational springs and rotational springs with different elastic boundary conditions

    边界条件kTx0 /DkTxa /DkTy0 /DkTyb /DkRx0 /DkRxa /DkRy0 /DkRyb /D
    CCCC 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010
    CCCS 1010 1010 1010 1010 0 1010 1010 1010
    CCSS 1010 1010 1010 1010 1010 0 0 1010
    CCCF 1010 1010 0 1010 1010 1010 0 1010
    CCFF 1010 0 0 1010 1010 0 0 1010
    FFFF 0 0 0 0 0 0 0 0
    E1E1E1E1 10 10 10 10 10 10 10 10
    E2E2E2E2 102 102 102 102 102 102 102 102
    E3E3E3E3 103 103 103 103 103 103 103 103
    E4E4E4E4 104 104 104 104 104 104 104 104
    SSSS 1010 1010 1010 1010 0 0 0 0
    CSCS 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 0
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    表  2  CCCC边界矩形板前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  2.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

    b/a方法屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.5本文31.46932.34841.12546.20360.82069.88690.33090.69291.21492.178
    文献[7]31.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33090.69291.21392.178
    1.5本文5.8279.42613.32913.76617.20521.83222.83424.86325.26528.648
    文献[7]5.8259.42313.31913.75417.19821.81222.79724.81425.25628.617
    2.5本文4.4756.1988.5719.8069.94912.11415.82316.29116.38417.649
    文献[7]4.4746.1948.5689.7979.93512.08815.78616.25216.37917.639
    3.5本文4.2144.9286.3608.3718.8218.9519.98411.54612.75913.761
    文献[7]4.2134.9256.3518.3688.8058.9439.96211.51612.59613.728
    4.5本文4.1214.5095.2426.4428.2658.2938.6289.20910.06610.867
    文献[7]4.1214.5085.2406.4388.2588.2928.6259.20210.05510.858
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    表  3  CCCC边界矩形板收敛性分析

    Table  3.   Convergence analysis for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

    b/atm=tn屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.51031.47132.34841.12546.20460.82269.91690.33790.69691.22093.609
    2031.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33090.69291.21492.178
    3031.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33190.69291.21492.178
    4.5104.1214.5095.2426.4428.2658.2938.6289.20910.06610.867
    204.1204.5085.2406.4388.2578.2928.6259.20210.05610.859
    304.1204.5085.2406.4388.2578.2928.6259.20210.05610.859
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    表  4  CCCS边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  4.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCS boundary conditions

    b/a 方法屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    1 本文 8.087 10.281 15.206 22.689 22.806 25.207 30.921 32.629 39.278 45.611
    FEM 8.087 10.281 15.207 22.676 22.811 25.191 30.898 32.619 39.239 44.509
    2 本文 2.903 6.227 6.709 9.031 12.237 12.646 14.613 15.158 18.788 19.658
    FEM 2.903 6.223 6.709 9.023 12.234 12.645 14.598 15.153 18.777 19.622
    3 本文 2.356 3.442 5.702 6.315 7.162 8.760 9.466 11.667 12.299 13.090
    FEM 2.356 3.439 5.700 6.314 7.155 8.754 9.448 11.641 12.299 13.079
    4 本文 2.205 2.723 3.750 5.476 6.189 6.637 7.416 8.059 8.659 10.499
    FEM 2.204 2.727 3.748 5.465 6.189 6.632 7.409 8.059 8.636 10.491
    5 本文 2.143 2.452 3.028 3.956 5.362 6.137 6.412 6.895 7.334 7.616
    FEM 2.142 2.449 3.022 3.947 5.331 6.136 6.406 6.879 7.262 7.594
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    表  5  CCSS边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  5.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCSS boundary conditions

    b/a 方法屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.5 本文 22.673 25.188 30.892 39.234 47.535 54.739 68.540 75.990 78.765 84.538
    文献[7] 22.673 25.187 30.891 39.225 47.525 54.515 66.528 75.982 78.758 81.849
    FEM 22.674 25.189 30.895 39.233 47.536 54.532 66.560 75.996 78.776 81.904
    1.5 本文 3.439 7.155 9.447 11.642 13.079 16.611 18.687 21.035 22.116 24.230
    文献[7] 3.439 7.154 9.446 11.639 13.077 16.606 18.680 21.032 22.105 24.220
    FEM 3.439 7.155 9.446 11.640 13.080 16.608 18.682 21.040 22.108 24.228
    2.5 本文 2.450 3.947 6.406 7.262 7.596 9.939 12.313 12.394 13.478 14.934
    文献[7] 2.449 3.946 6.406 7.259 7.594 9.933 12.304 12.393 13.473 14.925
    FEM 2.449 3.947 6.407 7.259 7.595 9.935 12.306 12.399 13.479 14.928
    3.5 本文 2.236 2.880 4.190 6.224 6.466 6.783 7.792 9.399 9.921 12.102
    文献[7] 2.236 2.879 4.186 6.223 6.458 6.779 7.784 9.382 9.842 12.029
    FEM 2.236 2.879 4.187 6.224 6.458 6.781 7.785 9.384 9.843 12.031
    4.5 本文 2.156 2.515 3.198 4.329 6.055 6.153 6.477 7.046 7.905 8.540
    文献[7] 2.156 2.514 3.196 4.326 6.050 6.152 6.475 7.042 7.897 8.473
    FEM 2.157 5.514 3.196 4.326 6.051 6.155 6.477 7.044 7.899 8.474
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    表  6  CCCF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  6.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCF boundary conditions

    b/a 屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.5 7.704 10.615 18.251 25.991 37.678 41.656 42.542 49.531 51.259 55.903
    1 4.579 8.605 12.629 14.062 16.362 21.777 24.244 28.721 29.545 30.610
    1.5 4.205 6.942 8.316 10.449 15.169 15.590 16.104 18.270 23.498 24.209
    2 4.096 5.440 8.239 9.132 9.372 11.917 16.023 16.451 16.583 17.170
    2.5 4.052 4.849 6.865 8.204 8.911 10.430 10.893 13.007 15.997 16.693
    3 4.030 4.558 5.819 8.189 8.221 8.673 9.685 11.347 12.281 13.839
    3.5 4.018 4.395 5.257 6.832 8.180 8.534 9.259 9.438 10.422 12.125
    4 4.011 4.293 4.921 6.029 7.813 8.176 8.447 8.992 9.853 10.501
    4.5 4.007 4.228 4.704 5.530 6.815 8.176 8.392 8.735 8.813 9.487
    5 4.004 4.182 4.556 5.193 6.163 7.588 8.175 8.350 8.688 9.226
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    表  7  CCFF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  7.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCFF boundary conditions

    b/a 屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.5 3.616 7.895 10.749 14.866 22.144 24.157 31.961 40.993 42.966 43.756
    1 0.976 2.879 5.982 6.739 12.032 12.545 15.671 16.247 20.487 23.471
    1.5 0.506 2.353 2.865 6.314 6.564 7.348 8.787 12.289 13.166 14.276
    1 0.372 1.556 2.359 3.797 4.391 6.279 7.420 7.515 9.746 12.044
    2.5 0.320 1.019 2.291 2.563 3.354 4.816 6.239 6.854 7.007 8.698
    3 0.295 0.742 1.810 2.270 2.927 3.397 4.917 5.466 6.253 6.721
    3.5 0.281 0.588 1.341 2.247 2.542 2.708 3.954 4.062 5.943 6.237
    4 0.272 0.495 1.040 1.946 2.258 2.576 3.153 3.430 4.593 5.301
    4.5 0.267 0.435 0.842 1.547 2.244 2.442 2.573 3.111 3.677 4.395
    5 0.263 0.394 0.707 1.259 2.029 2.246 2.457 2.869 3.044 3.818
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    表  8  CSCF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

    Table  8.   Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CSCF boundary conditions

    b/a 屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
    0.5 5.632 9.745 17.471 25.561 33.472 34.865 37.271 44.49 49.115 49.346
    1 4.375 8.511 10.205 12.989 16.273 20.729 24.396 25.683 27.786 27.544
    1.5 4.148 6.291 8.297 10.158 13.133 14.670 16.070 17.941 22.478 23.425
    2 4.074 5.186 8.228 8.286 9.253 11.552 14.936 15.665 16.016 17.051
    2.5 4.041 4.725 6.462 8.199 8.851 10.001 10.250 12.628 15.992 16.114
    3 4.024 4.488 5.598 7.732 8.186 8.639 9.583 11.136 11.404 13.462
    3.5 4.014 4.351 5.123 6.540 8.179 8.513 8.904 9.195 10.292 11.894
    4 4.009 4.265 4.834 5.841 7.471 8.175 8.432 8.948 9.766 9.953
    4.5 4.005 4.207 4.644 5.398 6.585 8.173 8.358 8.378 8.782 9.417
    5 4.003 4.166 4.513 5.099 6.000 7.322 8.172 8.339 8.665 9.172
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    表  9  边界约束逐渐加强时方形板的无量纲屈曲荷载系数

    Table  9.   Dimensionless buckling parameters for a square thin plate with the boundary condition becoming stiffer

    边界条件屈曲载荷系数
    1st2nd3rd4th5th6th
    FFFF 1.000 4.000 6.250 9.000 11.108 16.000
    E1E1E1E1 1.356 2.954 4.005 4.950 6.608 8.468
    SSSS 4.000 6.250 11.111 16.000 18.063 25.000
    E2E2E2E2 4.773 6.203 7.797 9.891 10.503 13.062
    CSCS 6.743 10.387 18.192 19.389 21.100 26.256
    E3E3E3E3 8.074 10.062 15.759 17.124 17.466 23.085
    E4E4E4E4 9.809 11.380 19.113 23.175 24.640 26.382
    CCCC 10.074 11.610 19.467 24.892 26.375 26.834
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-23
  • 修回日期:  2020-02-18
  • 网络出版日期:  2020-11-09
  • 刊出日期:  2020-12-30

任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01808
    基金项目:  国家自然科学基金资助项目(11202146)
    作者简介:

    鲍四元,男,1980年生,博士,副教授。研究方向:结构振动,谱几何法,辛方法。E-mail:bsiyuan@126.com

    通讯作者: 鲍四元 
  • 中图分类号: U661.43

摘要:   目的  矩形薄板的屈曲研究具有重要的理论和实际意义。针对工程中常见的矩形薄板结构,为了研究其在任意弹性边界条件下受轴向压力的屈曲特性,给出一种基于系统最小势能原理计算弹性失稳时屈曲载荷的方法。  方法  首先,在板结构模型的四条边界上分别设置旋转约束弹簧和横向约束弹簧,并设定两类弹性弹簧的刚度值大小以模拟任意弹性边界条件。由于经典傅里叶级数形式的位移函数在边界上的导数可能存在不连续问题,因此引入辅助函数,并以三角级数形式建立位移函数的几何表达式。然后,建立矩形板系统的势能表达式,结合最小势能原理,对未知傅里叶系数求偏导建立线性方程组。最后,求解得到矩形板临界屈曲载荷等参数,给出不同边界条件下弹簧刚度的合理取值,并将本研究所提方法得到的屈曲载荷与文献中的计算结果进行对比。  结果  结果显示,采用本研究方法所得屈曲载荷与文献中的计算结果吻合良好,验证了本文研究方法的正确性和收敛性。  结论  研究成果可为船舶相关结构的分析提供参考。

English Abstract

鲍四元, 曹津瑞. 任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析[J]. 中国舰船研究, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
引用本文: 鲍四元, 曹津瑞. 任意弹性边界下矩形板弹性屈曲分析[J]. 中国舰船研究, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
BAO S Y, CAO J R. Elastic buckling analysis of rectangular plates with arbitrary elastic boundary conditions[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
Citation: BAO S Y, CAO J R. Elastic buckling analysis of rectangular plates with arbitrary elastic boundary conditions[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2020, 15(6): 162–169 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01808
    • 矩形板是实际工程中的基础性结构,被广泛应用于航空航天、土木工程、船舶结构和车辆工程等领域。矩形板构件受到接近临界载荷的压力后,有可能会发生屈曲破坏,从而造成严重的事故,甚至是极其严重的灾难。因此,人们越来越重视矩形板的屈曲分析。

      自Kirchhoff薄板理论提出以来,研究者们对薄板弯曲问题充满了兴趣,并探索得到了不同的解决方案。其中,Navier重三角级数解理论和Levy单三角级数解[1]理论可以用来解决矩形板的弯曲问题,但这些方法主要适于解决四边简支或对边简支的矩形薄板。我国学者张福范[2]给出了多种边界条件下矩形薄板弯曲的精确解;钱伟长[3]提出了对合变换和薄板弯曲问题的多变量变分原理;胡海昌[4]基于薄板弯曲理论,提出了一个新的广义变分原理;付宝连[5]给出弹性力学混合变量的变分原理,并应用到了板结构中;姚伟岸等[6]基于辛对偶体系,给出了弹性力学的新型求解方法,可应用于薄板结构的力学问题。近年来,Wang等[7]提出采用辛迭代叠加法研究矩形薄板的屈曲问题,推导了屈曲载荷对应于非平凡解的超越方程,该方法可以解决多种非简支边界约束的薄板屈曲问题,但未处理含自由边界的薄板屈曲问题。李楠等[8]基于里兹法和复数的棣莫弗公式,研究了复合材料层合板的动力屈曲问题。汪星明等[9]基于变量分离法,给出了一种正交各向异性矩形薄板稳定问题的高效直接解法。这些文献中的方法均获得了较大成功,但实际工程结构的边界各不相同,甚至需要使用弹性边界模拟,而以上解法往往只适用于特定的边界条件,还未发现一种普适性的通用解法或结论。

      在研究欧拉梁的自由振动时,Li[10]使用了一种改进傅里叶级数方法,采用该方法可以非常准确地分析出任意边界支撑条件下梁的弯曲振动特性。随后,Li[11]将改进傅里叶级数法进一步用于研究矩形板的模态特征,其每个容许函数由三角函数和任意连续函数组成,将该组函数引入以确保边缘处的残余位移函数足够平滑,并在应用Rayleigh-Ritz法研究板自由振动问题的数值算例中证明其具有良好的收敛性和准确性。鲍四元等[12]针对不同截面形状下弹性支撑多跨梁振动,给出了一种改进傅里叶级数分析。史冬岩等[13]采用改进傅里叶级数法对正交各向异性板的位移函数进行了表达,其将薄板结构的弯曲位移函数表示为改进傅里叶级数形式,用里兹法所得到的固有频率值与有限元结果进行对比,验证了该方法的正确性。此外,王昊昊等[14]应用改进傅里叶级数研究了方形开口矩形板的振动特性;石先杰等[15]针对任意边界条件下环扇形板的静、动态特性进行了分析;薛开等[16]应用改进傅里叶级数法对Mindlin矩形板在任意弹性边界条件下的振动特性进行了分析;Bao等[17]给出了矩形薄板和环扇形薄板弯曲振动特性的一种统一研究方法。以上对薄板或Mindlin板振动的研究中,均使用了位移函数展开的改进傅里叶级数形式。

      针对任意弹性边界下矩形薄板的屈曲问题,本文拟采用改进傅里叶级数法和最小势能原理,得到矩形薄板结构在弹性边界条件下的屈曲特性。任意弹性边界条件[10-1118]通过设定旋转约束弹簧和横向位移约束弹簧的刚度值来模拟,以克服以往只能求解某些特定经典边界条件板屈曲问题的缺陷,并通过算例验证本文方法的收敛性、准确性及其效率。

    • 本文建立的一般弹性边界条件下受压矩形板结构的物理模型如图1所示。矩形板长为a,宽为b,在x方向受均布压力的作用,载荷集度为P

      图  1  弹性边界条件矩形薄板受压示意图

      Figure 1.  Illustration of thin rectangular plate with elastic boundary conditions

      在矩形板的四条边界($x = 0$$x = a$$y = 0$$y = b$)上分别设置横向约束弹簧和旋转约束弹簧。${k_{{\rm{T}}x0}}\left( {{k_{{\rm{T}}xa}}} \right), {k_{{\rm{T}}y0}}\left( {{k_{{\rm{T}}yb}}} \right)$分别代表$x = 0\left(x= a \right)$$y = 0\left( y=b \right)$边所设置的横向弹簧约束刚度系数;${k_{{{\rm{R}}x0}}}\left( {{k_{{{\rm{R}}xa}}}} \right)$${k_{{{\rm{R}}{y0}}}}\left( {{k_{{{\rm{R}}{yb}}}}} \right)$分别代表$x = 0\left(x= a \right)$$y = 0\left(y= b \right)$边所设置的旋转弹簧约束刚度系数。将旋转和横向弹簧的约束刚度系数设定为不同特定值,可模拟任意弹性边界条件下的状态。如模拟四边固支时,设定所有弹簧的约束刚度系数为无穷大(实际运算时一般取107以上,本文取1010),具体设定值如下文所示。

    • 根据改进傅里叶级数[11, 13]建立板结构的计算模型,设薄板弯曲位移的形式为

      $$w\left( {x,y} \right){{ = }}\sum\limits_{i = - 4}^{{t_i}} {\sum\limits_{{{j}} = - 4}^{{t_j}} {A_{ij}\varphi _i\left( x \right)\varphi_ {\rm{j}}\left( y \right)} } $$ (1)
      $$ \varphi _i\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \cos \lambda _{i}x\;\;\;\;\;\;\;0 \leqslant i \leqslant {t_i}\\ \sin \lambda _{i}x\;\;\;\; - 4 \leqslant i < 0 \end{array} \right.,\;\;\lambda _i = \frac{{i\ {\text{π}} }}{a} $$ (2)
      $$ {\varphi _j}\left( y \right) = \left\{ \begin{array}{l} \cos {\lambda _j}y\;\;\;\;\;\;\;\;0 \leqslant j \leqslant {t_j}\\ \sin {\lambda _j}y\;\;\;\;\; - 4 \leqslant j < 0 \end{array} \right.,\;\;\;\lambda _j= \frac{{j\ {\text{π}} }}{b} $$ (3)

      式中:$A_{{ij}}$为描述矩形板弯曲位移的未知傅里叶系数;为便于表示求偏导结果,数字i可表示为mpj可表示为nq(如式(8)和式(9)所示); ti tj为级数截断数,理论上为无穷大。

      经典傅里叶级数法在弹性边界上位移导数可能会出现不连续问题,所以需在经典傅里叶级数的基础上引入辅助函数来予以解决。式(2)和式(3)中的正弦函数项作为辅助函数。若位移展开式(1)中不含正弦函数,则退化为双重余弦函数形式,这种形式的位移求导后会使得边界处的转角均为0。但位移采用式(1)的改进傅里叶形式时,边界位移处的转角一般不为0,能够适合于弹性边界约束。

      矩形板结构的势能函数可表示为

      $$\varPi = {V_{\rm{P}}} + {V_{\rm{s}}} + U$$ (4)

      其中,

      $$\begin{split} & \qquad V_{\rm{P}} = \frac{D}{2}\int_0^a \int_0^b \left[ {{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right)}^2} + \right.\\& \left. 2\nu \left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}} \right)\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}} \right) + 2\left( {1 - \nu } \right){{\left( {\frac{{{\partial ^2}w}}{{\partial x\partial y}}} \right)}^2} \right] {\rm{d}}x{\rm{d}}y \end{split}$$ (5)
      $$ \begin{split} & V_{\rm{s}} = \frac{1}{2}\int_0^a \left\{ {{\left[ {k_{{\rm{T}}y0}{w^2} + k_{{\rm{R}}y0}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)}^2}} \right]}_{y = 0}} +\right.\\& \qquad\left.{{\left[ {k_{{\rm{T}}yb}{w^2} + k_{{\rm{R}}yb}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial y}}} \right)}^2}} \right]}_{y = b}} \right\}{\rm{d}}x + \\&\quad \frac{1}{2}\int_0^b \left\{ {{\left[ {k_{{\rm{T}}x0}{w^2} + k_{{\rm{R}}x0}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]}_{x = 0}} + \right.\\&\qquad\left.{{\left[ {k_{{\rm{T}}xa}{w^2} + k_{{\rm{R}}xa}{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}} \right]}_{x = a}} \right\}{\rm{d}}y \end{split} $$ (6)

      式中:$\varPi$为板结构的总势能;$V_{\rm{P}}$为板结构的应变能;$V_{\rm{s}}$为板在四周弹性边界处弹簧对应的弹性势能;$U$为载荷势能;D为薄板的弯曲刚度,且D=Et3/12(1−ν2),其中E为材料的弹性模量,t为板的厚度,ν为泊松比。而x方向的受压载荷(图1)对应的势能U

      $$U = - \frac{1}{2}P\int_0^a {\int_0^b {{{\left( {\frac{{\partial w}}{{\partial x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x{\rm{d}}y} } $$ (7)

      式(7)成立的假设条件是采用薄板的小挠度理论。

    • 根据式(5),板结构的应变能对系数Aij求导,可得

      $$ \begin{split} & \frac{{\partial V_P}}{{\partial A_{ij}}} =D \int_0^a {\int_0^b {\sum\limits_{i = - 4}^{{t_i}} {\sum\limits_{j = - 4}^{{t_j}} {} } \left[ {A_{ij} \cdot \varphi _p\varphi _q'' \cdot \varphi _q\varphi _p'' + A_{ij} \cdot \varphi _m\varphi _n'' \cdot } \right.} } \\&\quad \varphi _p\varphi _q''+ \nu \cdot \left( {A_{ij} \cdot \varphi _n\varphi _m'' \cdot \varphi _q\varphi _p'' + A_{ij} \cdot \varphi _m\varphi _n'' \cdot \varphi _p\varphi _q''} \right) + \\ &\qquad\qquad \left. { 2\left( {1 - \nu } \right) \cdot A_{ij} \cdot \varphi _m'\varphi _n' \cdot \varphi _p'\varphi _q'} \right]{\rm{d}}x{\rm{d}}y \\[-12pt] \end{split} $$ (8)

      式中:$\varphi {_m^\prime },\varphi {_p^{\prime }}$分别为${{{\rm{d}}\varphi _m\left( x \right)}}/{{{\rm{d}}x}},{{{\rm{d}}\varphi _p\left( x \right)}}/{{{\rm{d}}x}}$$\varphi {_n^{\prime }},\varphi {_q^{\prime }}$分别为${{{\rm{d}}\varphi _n\left( y \right)}}/{{{\rm{d}}y}}, {{{\rm{d}}\varphi _q\left( y \right)}}/{{{\rm{d}}y}}$。类似地,$\varphi {_m^{\prime \prime }},\varphi {_p^{\prime \prime }}$$\varphi {_n^{\prime \prime }},\varphi {_q^{\prime \prime }}$分别为相应的二阶导数。

      由式(7),板结构的载荷势能对系数Aij求导,得

      $$\frac{{\partial U}}{{\partial A_{ij}}}\!\! =\! \!- \!P\int_0^a \!{\int_0^b \!{\sum\limits_{i \!= \!- 4}^{{t_i}} \!{\sum\limits_{j \!=\! -\! 4}^{{t_j}} {A_{ij} \!\cdot\! \varphi {_m^{\prime }}\left( x \right)} \varphi {_n^{\prime }}\left( y \right) \cdot \varphi {_p^\prime }\left( x \right)\varphi {_q^{\prime }}\left( y \right)} {\rm{d}}x} } {\rm{d}}y$$ (9)

      根据最小势能原理,对式(4)取极值,即设定未知傅里叶级数中系数的偏导数为0:

      $$\frac{{\partial \varPi }}{{\partial A_{ij}}} = \frac{{\partial V_{\rm{P}}}}{{\partial A_{ij}}} + \frac{{\partial V_{\rm{s}}}}{{\partial A_{ij}}} + \frac{{\partial U}}{{\partial A_{ij}}} = 0$$ (10)

      可得到板结构的标准特征值方程如下:

      $$\left( {{{{K}}_V} - P{{{K}}_{g,U}}} \right){{A}} = {{0}}$$ (11)

      式中:A为由位移表达式(1)中的傅里叶系数组成的列向量;KVKg,U分别为系统的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵,其中KV的取值与系统的结构特征和边界条件有关,而Kg,U的值只与系统的结构特征有关。

      式(11)有非零解的条件是系数行列式等于0,即

      $$\left| {{{{K}}_V} - P{{{K}}_{g,U}}} \right| = 0$$ (12)

      对应矩阵特征值问题,所得特征值P对应于板结构的临界载荷值 。基于式(12),求解矩阵特征向量,即式(11)中傅里叶系数组成的列向量A,将其代回式(1),从而可得各阶屈曲模态。

    • 以下叙述中,简支边界记为S,自由边界记为F,固定边界记为C,弹性边界记为E。分别计算经典边界和含弹性边界矩形薄板的屈曲特性,其中经典边界包括CCCC,CCCS,CCSS,CCCF,CCFF和CSCF 6种。此记法中,4个字母代表边界条件所在边的对应次序是x=0, y=0, x=ay=b。还考察了4种弹性边界条件ENENENENN=1, 2, 3, 4),其无量纲弹簧约束刚度系数(包括横向弹簧刚度系数和旋转约束弹簧刚度系数)均设置为10i。不同边界条件下,各种刚度系数所采用的具体值如表1所示。表中,kT/D的单位为1/m2kR/D的单位为1/m。

      表 1  不同弹性边界条件中横向弹簧和旋转弹簧的约束刚度系数取值

      Table 1.  The values chosen for the constrained stiffness coefficients of translational springs and rotational springs with different elastic boundary conditions

      边界条件kTx0 /DkTxa /DkTy0 /DkTyb /DkRx0 /DkRxa /DkRy0 /DkRyb /D
      CCCC 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010 1010
      CCCS 1010 1010 1010 1010 0 1010 1010 1010
      CCSS 1010 1010 1010 1010 1010 0 0 1010
      CCCF 1010 1010 0 1010 1010 1010 0 1010
      CCFF 1010 0 0 1010 1010 0 0 1010
      FFFF 0 0 0 0 0 0 0 0
      E1E1E1E1 10 10 10 10 10 10 10 10
      E2E2E2E2 102 102 102 102 102 102 102 102
      E3E3E3E3 103 103 103 103 103 103 103 103
      E4E4E4E4 104 104 104 104 104 104 104 104
      SSSS 1010 1010 1010 1010 0 0 0 0
      CSCS 1010 1010 1010 1010 1010 1010 0 0
    • 表2所示为矩形板在四边固支(CCCC)边界条件下的前10阶无量纲屈曲载荷系数。设定矩形板4条边上的横向位移约束和旋转约束弹簧刚度系数均为1010表2示出了矩形板四边固支条件下,b/a取值分别为4.5,3.5,2.5,1.5和0.5时,矩形板前10阶屈曲载荷系数$\bar{P}={P_{{\rm{cr}}}{{a}^{2}}}/ {D{{{\text{π}} }^{2}}}\;$(其中Pcr为临界屈曲载荷)与文献[7]中计算结果的比较。

      表 2  CCCC边界矩形板前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 2.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

      b/a方法屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.5本文31.46932.34841.12546.20360.82069.88690.33090.69291.21492.178
      文献[7]31.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33090.69291.21392.178
      1.5本文5.8279.42613.32913.76617.20521.83222.83424.86325.26528.648
      文献[7]5.8259.42313.31913.75417.19821.81222.79724.81425.25628.617
      2.5本文4.4756.1988.5719.8069.94912.11415.82316.29116.38417.649
      文献[7]4.4746.1948.5689.7979.93512.08815.78616.25216.37917.639
      3.5本文4.2144.9286.3608.3718.8218.9519.98411.54612.75913.761
      文献[7]4.2134.9256.3518.3688.8058.9439.96211.51612.59613.728
      4.5本文4.1214.5095.2426.4428.2658.2938.6289.20910.06610.867
      文献[7]4.1214.5085.2406.4388.2588.2928.6259.20210.05510.858

      表2可知,采用本文计算方法得到的矩形板前10阶无量纲屈曲载荷系数与文献[7]中辛迭代叠加法的计算结果一致,可以说明,在四边固支边界条件下,利用本文方法计算所得的前10阶无量纲屈曲载荷系数是正确的,并且具有良好的计算精度。

      表3所示为CCCC边界条件下,在矩形板长宽比b/a=0.5和4.5这2种情况下,当级数截断数tm(或tn)分别取10,20,30时的计算结果。从中可以看出,计算结果非常接近,说明本文方法具有良好的收敛性。

      表 3  CCCC边界矩形板收敛性分析

      Table 3.  Convergence analysis for thin rectangular plate with CCCC boundary conditions

      b/atm=tn屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.51031.47132.34841.12546.20460.82269.91690.33790.69691.22093.609
      2031.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33090.69291.21492.178
      3031.46832.34841.12346.20160.81869.88690.33190.69291.21492.178
      4.5104.1214.5095.2426.4428.2658.2938.6289.20910.06610.867
      204.1204.5085.2406.4388.2578.2928.6259.20210.05610.859
      304.1204.5085.2406.4388.2578.2928.6259.20210.05610.859
    • 表4所示为矩形板在三边固支、一边简支(CCCS) 边界条件下的前10阶无量纲屈曲载荷系数。由表4可知,采用本文方法计算得到的矩形板前10阶无量纲屈曲载荷系数与文献[7]中的有限元计算(FEM)结果一致。所以,在CCCS边界条件下,同样验证了本文方法的正确性及其良好精度。

      表 4  CCCS边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 4.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCS boundary conditions

      b/a 方法屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      1 本文 8.087 10.281 15.206 22.689 22.806 25.207 30.921 32.629 39.278 45.611
      FEM 8.087 10.281 15.207 22.676 22.811 25.191 30.898 32.619 39.239 44.509
      2 本文 2.903 6.227 6.709 9.031 12.237 12.646 14.613 15.158 18.788 19.658
      FEM 2.903 6.223 6.709 9.023 12.234 12.645 14.598 15.153 18.777 19.622
      3 本文 2.356 3.442 5.702 6.315 7.162 8.760 9.466 11.667 12.299 13.090
      FEM 2.356 3.439 5.700 6.314 7.155 8.754 9.448 11.641 12.299 13.079
      4 本文 2.205 2.723 3.750 5.476 6.189 6.637 7.416 8.059 8.659 10.499
      FEM 2.204 2.727 3.748 5.465 6.189 6.632 7.409 8.059 8.636 10.491
      5 本文 2.143 2.452 3.028 3.956 5.362 6.137 6.412 6.895 7.334 7.616
      FEM 2.142 2.449 3.022 3.947 5.331 6.136 6.406 6.879 7.262 7.594
    • 表5所示为两邻边固支、两邻边简支(CCSS)边界条件下,矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数。由表5可知,采用本文计算方法得到的矩形板前10阶无量纲屈曲载荷系数与文献[7]中精确解结果一致,说明在该边界条件下,本文方法具有良好的计算精度。

      表 5  CCSS边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 5.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCSS boundary conditions

      b/a 方法屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.5 本文 22.673 25.188 30.892 39.234 47.535 54.739 68.540 75.990 78.765 84.538
      文献[7] 22.673 25.187 30.891 39.225 47.525 54.515 66.528 75.982 78.758 81.849
      FEM 22.674 25.189 30.895 39.233 47.536 54.532 66.560 75.996 78.776 81.904
      1.5 本文 3.439 7.155 9.447 11.642 13.079 16.611 18.687 21.035 22.116 24.230
      文献[7] 3.439 7.154 9.446 11.639 13.077 16.606 18.680 21.032 22.105 24.220
      FEM 3.439 7.155 9.446 11.640 13.080 16.608 18.682 21.040 22.108 24.228
      2.5 本文 2.450 3.947 6.406 7.262 7.596 9.939 12.313 12.394 13.478 14.934
      文献[7] 2.449 3.946 6.406 7.259 7.594 9.933 12.304 12.393 13.473 14.925
      FEM 2.449 3.947 6.407 7.259 7.595 9.935 12.306 12.399 13.479 14.928
      3.5 本文 2.236 2.880 4.190 6.224 6.466 6.783 7.792 9.399 9.921 12.102
      文献[7] 2.236 2.879 4.186 6.223 6.458 6.779 7.784 9.382 9.842 12.029
      FEM 2.236 2.879 4.187 6.224 6.458 6.781 7.785 9.384 9.843 12.031
      4.5 本文 2.156 2.515 3.198 4.329 6.055 6.153 6.477 7.046 7.905 8.540
      文献[7] 2.156 2.514 3.196 4.326 6.050 6.152 6.475 7.042 7.897 8.473
      FEM 2.157 5.514 3.196 4.326 6.051 6.155 6.477 7.044 7.899 8.474
    • 本节考虑3种含自由边界薄板的屈曲问题:三边固支、一边自由(CCCF);两邻边固支、另两边自由(CCFF)和x =0边简支、 y =0边自由、 x = ay = b 边均固支(CSCF)。对于CCCF,CCFF及CSCF边界矩形板,采用本文方法计算所得到的前10阶无量纲屈曲载荷系数分别如表6~表8所示。

      表 6  CCCF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 6.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCCF boundary conditions

      b/a 屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.5 7.704 10.615 18.251 25.991 37.678 41.656 42.542 49.531 51.259 55.903
      1 4.579 8.605 12.629 14.062 16.362 21.777 24.244 28.721 29.545 30.610
      1.5 4.205 6.942 8.316 10.449 15.169 15.590 16.104 18.270 23.498 24.209
      2 4.096 5.440 8.239 9.132 9.372 11.917 16.023 16.451 16.583 17.170
      2.5 4.052 4.849 6.865 8.204 8.911 10.430 10.893 13.007 15.997 16.693
      3 4.030 4.558 5.819 8.189 8.221 8.673 9.685 11.347 12.281 13.839
      3.5 4.018 4.395 5.257 6.832 8.180 8.534 9.259 9.438 10.422 12.125
      4 4.011 4.293 4.921 6.029 7.813 8.176 8.447 8.992 9.853 10.501
      4.5 4.007 4.228 4.704 5.530 6.815 8.176 8.392 8.735 8.813 9.487
      5 4.004 4.182 4.556 5.193 6.163 7.588 8.175 8.350 8.688 9.226

      表 7  CCFF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 7.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CCFF boundary conditions

      b/a 屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.5 3.616 7.895 10.749 14.866 22.144 24.157 31.961 40.993 42.966 43.756
      1 0.976 2.879 5.982 6.739 12.032 12.545 15.671 16.247 20.487 23.471
      1.5 0.506 2.353 2.865 6.314 6.564 7.348 8.787 12.289 13.166 14.276
      1 0.372 1.556 2.359 3.797 4.391 6.279 7.420 7.515 9.746 12.044
      2.5 0.320 1.019 2.291 2.563 3.354 4.816 6.239 6.854 7.007 8.698
      3 0.295 0.742 1.810 2.270 2.927 3.397 4.917 5.466 6.253 6.721
      3.5 0.281 0.588 1.341 2.247 2.542 2.708 3.954 4.062 5.943 6.237
      4 0.272 0.495 1.040 1.946 2.258 2.576 3.153 3.430 4.593 5.301
      4.5 0.267 0.435 0.842 1.547 2.244 2.442 2.573 3.111 3.677 4.395
      5 0.263 0.394 0.707 1.259 2.029 2.246 2.457 2.869 3.044 3.818

      表 8  CSCF边界矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数

      Table 8.  Dimensionless buckling parameters for thin rectangular plate with CSCF boundary conditions

      b/a 屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th7th8th9th10th
      0.5 5.632 9.745 17.471 25.561 33.472 34.865 37.271 44.49 49.115 49.346
      1 4.375 8.511 10.205 12.989 16.273 20.729 24.396 25.683 27.786 27.544
      1.5 4.148 6.291 8.297 10.158 13.133 14.670 16.070 17.941 22.478 23.425
      2 4.074 5.186 8.228 8.286 9.253 11.552 14.936 15.665 16.016 17.051
      2.5 4.041 4.725 6.462 8.199 8.851 10.001 10.250 12.628 15.992 16.114
      3 4.024 4.488 5.598 7.732 8.186 8.639 9.583 11.136 11.404 13.462
      3.5 4.014 4.351 5.123 6.540 8.179 8.513 8.904 9.195 10.292 11.894
      4 4.009 4.265 4.834 5.841 7.471 8.175 8.432 8.948 9.766 9.953
      4.5 4.005 4.207 4.644 5.398 6.585 8.173 8.358 8.378 8.782 9.417
      5 4.003 4.166 4.513 5.099 6.000 7.322 8.172 8.339 8.665 9.172

      自由边界属于弱约束,相关薄板屈曲的结果较少。文献[719]虽然含有多种经典边界,但未包括自由边界的情况。因此,以上算例可作为标准算例,所提供的结果可为工程应用提供参考。

    • 为研究含弹性边界薄板的屈曲问题,令某方形薄板的边界条件从四边自由(FFFF)逐步过渡到四边固支(CCCC),其中含有经典边界条件SSSS,CSCS和多种弹性边界条件(EiEiEiEii=1, 2, 3, 4)。

      表9所得各阶屈曲系数的结果可知,随着边界约束的加强(按照表9第1列由上到下的次序),板的第1阶屈曲载荷系数值也在逐渐增加。

      表 9  边界约束逐渐加强时方形板的无量纲屈曲荷载系数

      Table 9.  Dimensionless buckling parameters for a square thin plate with the boundary condition becoming stiffer

      边界条件屈曲载荷系数
      1st2nd3rd4th5th6th
      FFFF 1.000 4.000 6.250 9.000 11.108 16.000
      E1E1E1E1 1.356 2.954 4.005 4.950 6.608 8.468
      SSSS 4.000 6.250 11.111 16.000 18.063 25.000
      E2E2E2E2 4.773 6.203 7.797 9.891 10.503 13.062
      CSCS 6.743 10.387 18.192 19.389 21.100 26.256
      E3E3E3E3 8.074 10.062 15.759 17.124 17.466 23.085
      E4E4E4E4 9.809 11.380 19.113 23.175 24.640 26.382
      CCCC 10.074 11.610 19.467 24.892 26.375 26.834

      另外,以长度和宽度均为1 m的方形板,以及表9中CSCS边界板为例,给出该约束情况下,长、宽均为1 m方形板前3阶屈曲模态的等值曲面,如图2所示(图中横、纵坐标均为方形板长、宽坐标值,单位:m)。其中,图2(b)为反对称情形,图2(c)为对称情形。

      图  2  CSCS边界方形板的前3阶屈曲模态

      Figure 2.  The first three modes of a square plate with CSCS boundary

    • 本文对任意弹性边界矩形薄板结构的屈曲特性进行了分析研究,得到以下主要结论:

      1) 用结构的几何参数建立描述结构位移的函数关系式,即用改进傅里叶级数法表达;基于最小势能原理,得到关于位移级数展开系数的标准特征值问题,从而求得矩形板结构的临界载荷。

      2) 得到矩形板的前10阶无量纲屈曲载荷系数,与已有精确解结果或有限元结果吻合较好,充分证明了所提方法的正确性,并且具有良好的收敛性。

      3) 通过改变结构四边的弹簧刚度值,有效模拟了结构在任意弹性边界条件下的屈曲问题,并给出了典型边界条件下弹簧刚度的合理取值,可为实际工程应用提供可靠依据。

参考文献 (19)

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