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基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制

吴文涛 彭周华 王丹 刘陆 姜继洲 任帅

吴文涛, 彭周华, 王丹, 等. 基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 15(X): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
引用本文: 吴文涛, 彭周华, 王丹, 等. 基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 15(X): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
WU W T, PENG Z H, WANG D, et al. USV-driven twin-propeller based ESO anti-disturbance target tracking control[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 15(0): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
Citation: WU W T, PENG Z H, WANG D, et al. USV-driven twin-propeller based ESO anti-disturbance target tracking control[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 15(0): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665

基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01665
详细信息
    作者简介:

    吴文涛,男,1995年生,硕士生。研究方向:无人船集群运动控制。E-mail:921954000@qq.com

    彭周华,男,1982年生,博士,教授,博士生导师。研究方向:海洋航行器制导与控制,无人船集群控制。E-mail:zhpeng@dlmu.edu.cn

    王丹,男,1960年生,博士,教授,博士生导师。研究方向:无人船编队控制,电力电子技术。E-mail:dwang@dlmu.edu.cn

    通讯作者:

    彭周华

  • 中图分类号: U676.8+3

USV-driven twin-propeller based ESO anti-disturbance target tracking control

图(14)
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-07-04
  • 修回日期:  2019-09-02
  • 网络出版日期:  2020-12-10

基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制

doi: 10.19693/j.issn.1673-3185.01665
    作者简介:

    吴文涛,男,1995年生,硕士生。研究方向:无人船集群运动控制。E-mail:921954000@qq.com

    彭周华,男,1982年生,博士,教授,博士生导师。研究方向:海洋航行器制导与控制,无人船集群控制。E-mail:zhpeng@dlmu.edu.cn

    王丹,男,1960年生,博士,教授,博士生导师。研究方向:无人船编队控制,电力电子技术。E-mail:dwang@dlmu.edu.cn

    通讯作者: 彭周华
  • 中图分类号: U676.8+3

摘要:   目的  针对无人船的模型不确定和未知海洋环境扰动,提出一种基于扩张状态观测器(ESO)的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制算法。  方法  在运动学层级,设计了基于平行接近制导原理的目标跟踪制导律;在动力学层级,针对模型不确定性和未知环境扰动,设计基于ESO的前向速度和艏摇角速度自抗扰控制律,以减小模型不确定性和环境扰动的影响;最后,通过输入状态稳定性定理和级联定理分析所提控制器的稳定性。  结果  实验结果表明,基于所提的自抗扰目标跟踪控方法能使跟踪船有效地跟踪虚拟目标点。  结论  研究成果可为无人船在环境扰动下的目标跟踪提供参考。

English Abstract

吴文涛, 彭周华, 王丹, 等. 基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 15(X): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
引用本文: 吴文涛, 彭周华, 王丹, 等. 基于扩张状态观测器的双桨推进无人船抗干扰目标跟踪控制[J]. 中国舰船研究, 2021, 15(X): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
WU W T, PENG Z H, WANG D, et al. USV-driven twin-propeller based ESO anti-disturbance target tracking control[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 15(0): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
Citation: WU W T, PENG Z H, WANG D, et al. USV-driven twin-propeller based ESO anti-disturbance target tracking control[J]. Chinese Journal of Ship Research, 2021, 15(0): 1–8 doi:  10.19693/j.issn.1673-3185.01665
    • 近年来,随着无人驾驶技术的兴起和发展,无人船(unmanned surface vehicle, USV)作为一种小型化、智能化、多用途无人海洋运载平台,已经获得学者的广泛关注。从运动场景上来看,无人船可用于轨迹跟踪、路径跟踪和目标跟踪,目标跟踪技术在军事和民用领域具有重要应用价值[1]

      无人船运动控制面临着非线性、模型不确定性、欠驱动和强外部扰动等研究难点,给无人船有效可靠的目标跟踪控制带来了挑战。目前,研究人员已经提出众多方法用于无人船控制,如滑模控制[2]、鲁棒控制[3]、模糊控制[4]、参数自适应控制[5]、神经网络控制[6]、扰动观测器[7]、扩张状态观测器[8]等。传统的无人船运动是通过调节螺旋桨和舵机实现姿态控制,该方法较适用于大型船舶。由于舵机需要频繁调整舵角来控制船舶的航向姿态,因此难以满足对灵敏性要求较高的小型无人船。相较之下,双桨推进无人船由于通过2个螺旋桨推力相同或不同来进行速度或航向控制,能在很大程度上提高无人船的灵敏性和机动能力,使无人船更好地适应工作场景的需要[9]

      本文将研究含模型不确定性与未知海洋环境扰动的双桨推进欠驱动无人船抗干扰目标跟踪控制问题。首先,建立双桨推进欠驱动无人船的运动数学模型,包括运动学方程和动力学方程。在运动学层级,提出基于平行接近制导(constant bearing, CB)的目标跟踪制导律;在动力学层级,设计基于扩张状态观测器(extended state observer, ESO)的前向速度控制律和艏摇角速度控制律,以消除模型不确定性与未知海洋环境扰动问题,实现无人船的抗干扰目标跟踪控制。最后,通过输入状态稳定性定理和级联定理,分析所提出的基于ESO的前向速度和艏摇角速度控制器的稳定性,并用实验证明了采用CB制导的抗干扰目标跟踪控制方法的有效性。

    • 在地球坐标系XE-YE和船体坐标系XB-YB下,双桨推进的欠驱动无人船运动的数学模型[10]图1所示。

      图  1  无人船平面运动示意图

      Figure 1.  Schematic diagram of ship plane motion

      图中:$u,v,r$分别为无人船在XB-YB下的前向速度、横向速度和艏摇角速度;$x,y,\psi $分别为无人船在地球坐标系下的XE坐标、YE坐标和偏航角;${f_1}$${f_2}$分别为左右螺旋桨产生的推力;$B$为左右螺旋桨之间的横向轴距。

      无人船的运动学模型可由一个三自由度非线性数学模型描述[11]

      $${\dot {{\eta}}} {\rm{ = }}{{R}}(\psi ){{\upsilon}} $$ (1)

      式中:${{\upsilon}} = {\left[ {u,v,r} \right]^{\rm{T}}}$为无人船的速度状态向量;${{\eta}} = {\left[ {x,y,\psi } \right]^{\rm{T}}}$为无人船的位置状态向量;${{R}}(\psi )$为无人船在地球坐标系和船体坐标系下转换矩阵。

      在动力学建模中,无人船在水面航行时的水动力阻尼项通常采用线性形式,即无人船所受阻力与速度成线性关系。因此,无人船的动力学方程可由如下方程描述[11]

      $${{M}}{\dot{{\upsilon }}} + {{C\upsilon }} + {{D\upsilon }} = {{\tau }} + {{{\tau }}_{\rm{d}}}$$ (2)

      式中:M为无人船的惯性质量矩阵;C为向心力和科氏力系数矩阵;D为水动力阻尼矩阵;${{\tau}} $为无人船的推力及其力矩向量;${{{\tau}} _{\rm{d}}}$为推力和力矩扰动项向量。

      采用双桨推进的无人船属于典型的欠驱动系统,船舶横向不受力,所以其动力学控制输入为${{\tau}} {\rm{ = }}{\left[ {{f_1} + {f_2}{\rm{ , 0 , }}B \cdot {\rm{(}}{f_1} - {f_2})/2} \right]^{\rm{T}}}$。在静水中对无人船进行匀速拖拽试验,根据线性回归方程,双桨推进无人船的螺旋桨产生的推力与控制电压呈近似线性关系[12],即$f{\rm{ = }}kV$。因此,控制无人船两侧直流电机的输入电压就可以控制无人船的前向速度和艏摇角速度。设左右两侧电机的控制电压分别为${V_{\rm{L}}}{\rm{ = }}{\sigma _u} + {\sigma _r}$${V_{\rm{R}}}{\rm{ = }}{\sigma _u} - {\sigma _r}$。其中,${\sigma _u}$为前向速度控制电压,${\sigma _r}$为艏摇角速度控制电压。当${\sigma _u} > 0,\; {\sigma _r} = 0$${\sigma _u} < 0,{\sigma _r} = 0$时,无人船只进行前进或者后退动作;当${\sigma _r} > 0,{\sigma _u} = 0$${\sigma _r} < 0,{\sigma _u} = 0$时,无人船只进行右转或左转动作。因此,式(2)所示的无人船动力学方程可改写为如下形式:

      $$\left\{ \begin{aligned} & \dot u = - \frac{{{d_{11}}}}{{{m_{11}}}}u + \frac{1}{{{m_{11}}}}{\tau _{{\rm{d}}1}} + \frac{{2k}}{{{m_{11}}}} \cdot {\sigma _u} \\& \dot r = - \frac{{{d_{33}}}}{{{m_{33}}}}r + \frac{1}{{{m_{33}}}}{\tau _{{\rm{d}}3}} + \frac{{kB}}{{{m_{33}}}} \cdot {\sigma _r} \end{aligned} \right.$$ (3)

      式中:${d_{11}},{d_{33}}$为阻尼系数且${d_{11}},{d_{33}} \in {{D}}$${m_{11}},{m_{33}}$为惯性质量常数且${m_{11}},{m_{33}} \in {{M}}$k为直流电机输入电压与产生的推力关系参数;${\tau _{{\rm{d}}1}} \in {{\tau}} $,为前向速度方向扰动分量,${\tau _{{\rm{d3}}}} \in {{\tau}} $,为艏摇角速度方向扰动分量。由式(3)可知,仅通过调节控制电压${\sigma _u}$或者${\sigma _r}$就可控制无人船的动作状态,实现其前向速度和艏摇角速度的解耦控制,简化了双桨推进无人船动力学控制器设计,也解决了运动控制过程中回转运动和推进运动耦合的问题。

    • CB制导的基本原理是通过将视距旋转率降低到零,从而使跟踪船以恒定的方位感知并跟踪目标。目标跟踪是将跟踪船与目标的视距降低到一个期望值并保持。

      定义某时刻跟踪船和目标的位置矢量分别为${{p}}(t) = {[x(t),y(t)]^{\rm{T}}}$${{{p}}_{\rm{t}}}(t) = {[{x_{\rm{t}}}(t),{y_{\rm{t}}}(t)]^{\rm{T}}}$,则跟踪船和目标的速度矢量分别为${{\vartheta}} (t) = {\rm{d}}{{p}}(t)/{\rm{d}}t \triangleq \dot {{p}}(t)$${{{\vartheta}} _{\rm{t}}}\left( t \right) = \dot {{p}}{}_{\rm{t}}(t)$。令$\tilde {{p}}(t) = {{{p}}_{\rm{t}}}(t) - {{p}}(t)$为目标和跟踪船的视距矢量,则CB制导的控制目标可以表述为:

      $$\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \tilde {{p}}(t) = 0$$ (4)

      CB制导律的速度分解关系如图2所示。

      图  2  CB制导律速度分解图

      Figure 2.  The velocity assignment associated with CB guidance

      根据图2[13]

      $${{\vartheta}} (t) = {{{\vartheta}} _{\rm{t}}}(t) + {u_{\max }}\frac{{\tilde {{p}}{\rm{(}}t{\rm{)}}}}{{\sqrt {\tilde {{p}}{{{\rm{(}}t{\rm{)}}}^{\rm{T}}}\tilde {{p}}{\rm{(}}t{\rm{)}} + \delta _{\tilde {{p}}}^2} }}$$ (5)

      式中:${u_{\max }}$为跟踪者沿视距方向的最大靠近速度,${u_{\max }} > 0$${\delta _{\tilde {{p}}}}$为防碰撞常数,${\delta _{\tilde {{p}}}} > 0$。因此,基于CB原理的运动学制导律如下:

      $$\left\{ \begin{aligned} & {u_{\rm{r}}}{\rm{ = }}\left| {{{\vartheta}} (t)} \right|{\rm{ = }}\sqrt {\dot x{{(t)}^2} + \dot y{{(t)}^2}} \\ & {\psi _{\rm{r}}}{\rm{ = atan2(}}\dot y(t),\dot x(t){\rm{)}} \end{aligned} \right.$$ (6)

      式中:${u_{\rm{r}}}$为无人船的期望速度;${\psi _{\rm{r}}}$为无人船的期望航向且满足${\psi _{\rm{r}}} \in \left( { - \pi ,\pi } \right]$。由于动力学无法直接对航向进行控制,设计如下虚拟控制律:

      $${r_{\rm{r}}} = {K_{\rm{r}}}{\psi _{\rm{e}}}$$ (7)

      式中:${r_{\rm{r}}}$为无人船的期望角速度;${\psi _{\rm{e}}} = {\psi _{\rm{r}}} - \psi$为航向跟踪误差;${K_{\rm{r}}}$为增益常数。

    • 不考虑电机特性的情况下,双桨推进无人船前向速度的响应模型为:

      $$\dot u = {f_u} + {b_u}{\sigma _u}$$ (8)

      式中:${f_u}$为前向速度方向的不确定项;${b_u}$为控制增益。为ESO子系统的设计和稳定性分析做出如下假设。

      假设 1:${f_u}$的导数有界且满足$\left| {{{\dot f}_u}} \right| < f_u^*$,其中$f_u^* > 0$为常数。

      受模型不确定性和未知环境扰动的影响,式(8)中的${f_u}$是未知项。为估计未知项,设计如下一阶线性ESO:

      $$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\hat u}} = - {\beta _{u1}}(\hat u - u) + {{\hat f}_u} + {b_u}{\sigma _u} \\ {{\dot{ \hat f}}_u} = - {\beta _{u2}}(\hat u - u) \\ \end{array} \right.$$ (9)

      式中:$\hat u$${\hat f_u}$分别为$u$${f_u}$的估计值;${\beta _{u{\rm{1}}}}$${\beta _{u{\rm{2}}}}$为观测器的增益。

      定义估计误差$\tilde u = \hat u - u$${\tilde f_u} = {\hat f_u} - {f_u}$,则一阶ESO的误差动态方程为:

      $$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde u}}{\rm{ }} = - {\beta _{u1}}\tilde u + {{\tilde f}_u} \\ {{\dot {\tilde f}}_u} = - {\beta _{u2}}\tilde u - {{\dot f}_u} \\ \end{array} \right.$$ (10)

      ${{{E}}_1} = {[\tilde u,{\tilde f_u}]^{\rm{T}}}$,将式(10)所示的ESO子系统改写成如下矩阵形式:

      $${\dot {{E}}_1} = {{{A}}_1}{{{E}}_1} - {{{B}}_1}{\dot f_u}$$ (11)

      式中:${{{A}}_1} = \left[ \begin{array}{l} - {\beta _{u1}}{\rm{ 1}} \\ - {\beta _{u2}}{\rm{ 0}} \\ \end{array} \right]$${{{B}}_1} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]$

      由于${{{A}}_1}$是赫尔维茨矩阵,则存在一个正定矩阵${{{P}}_1}$满足如下不等式:

      $${{{A}}_1}^{\rm{T}}{{{P}}_1} + {{{P}}_1}{{{A}}_1} \leqslant - {\varepsilon _u}{{{I}}_1}$$ (12)

      式中,${\varepsilon _u} \in {\rm{R}}$是一个大于零的常数。

      根据式(8),为抵消前向速度方向扰动,设计如下前向速度自抗扰控制律:

      $${\sigma _u} = \frac{{\rm{1}}}{{{b_u}}}[{\xi _u}({u_r} - \hat u) - {\hat f_u}]$$ (13)

      式中:${\xi _u}$为动力学增益。令${\hat u_{\rm{e}}} = \hat u - {u_{\rm{r}}}$为前向速度的跟踪误差,对${\hat u_{\rm{e}}}$求导并将式(13)代入,则跟踪误差动态方程为:

      $${\rm{ }}{\dot {\hat u}_{\rm{e}}} = - {\xi _u}{\hat u_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u$$ (14)

      1)ESO子系统的稳定性分析。

      ESO子系统式(11)的稳定性由引理1给出。

      引理1:在满足假设1的条件下,式(11)所示系统状态为${{{E}}_1}$,系统输入为${\dot f_u}$的ESO子系统是输入状态稳定的。

      证明:构建如下李雅普诺夫方程[8]

      $${V_1} = \frac{1}{2}{{{E}}_1}^{\rm{T}}{{{P}}_1}{{{E}}_1}$$ (15)

      对方程(15)进行求导得:

      $$ \begin{split} & {{\dot V}_1} = {{E}}_1^{\rm{T}}{{{P}}_1}\left( {{{{A}}_1}{{{E}}_1} - {{{B}}_1}{{\dot f}_u}} \right)= \\& \;\;\;- \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}{{E}}_1^{\rm{T}}{{{E}}_1} - {{E}}_1^{\rm{T}}{{{P}}_1}{{{B}}_1}{{\dot f}_u} \leqslant \\& - \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}{\left\| {{{{E}}_1}} \right\|^2} + \left\| {{{{E}}_1}} \right\|\left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|\left\| {{{\dot f}_u}} \right\| \;\;\; \end{split} $$ (16)

      $$\left\| {{{{E}}_1}} \right\| \geqslant \frac{{2\left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|\left| {{{\dot f}_u}} \right|}}{{{\varepsilon _u}{{\bar \theta }_1}}}$$ (17)

      可得:

      $${\dot V_{11}} \leqslant - \frac{{{\varepsilon _u}}}{2}(1 - {\bar \theta _1}){\left\| {{{{E}}_1}} \right\|^2}$$ (18)

      式中:$0 < {\bar \theta _1} < 1$。由此可知,ESO子系统式(11)是输入状态稳定的,且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\alpha _1}$${{\cal{K}}_\infty }$类函数$\varUpsilon _1^\alpha$使满足:

      $$\left\| {{{{E}}_1}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\alpha _1}\left( {{{{E}}_1}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}} \right) + \varUpsilon _1^\alpha \left( {\left| {{{\dot f}_u}} \right|} \right)$$ (19)

      式中:$\varUpsilon _1^\alpha \left( s \right) = \dfrac{{2\sqrt {\bar \lambda \left( {{{{P}}_1}} \right)} \left\| {{{{P}}_1}{{{B}}_1}} \right\|}}{{\sqrt {{\underline \lambda} \left( {{{{P}}_1}} \right){\varepsilon _u}{{\bar \theta }_1}} }}s$,其中$\bar \lambda \left( {{{{P}}_1}} \right)$${\underline \lambda} \left( {{{{P}}_1}} \right)$分别为矩阵${{{P}}_1}$的最大和最小特征值。

      2)控制子系统的稳定性分析。

      控制子系统式(14)的稳定性由引理2给出。

      引理2:式(14)所示系统状态为${\hat u_{\rm{e}}}$,系统输入为$\tilde u$的控制子系统是输入状态稳定的。

      证明:构建如下李雅普诺夫方程:

      $${V_2} = \frac{1}{2}{\hat u_{\rm{e}}}^2$$ (20)

      ${V_2}$求导得:

      $${{\dot V}_2} = {\hat u_{\rm{e}}}{\dot {\hat u}_{\rm{e}}}$$ (21)

      将式(14)代入式(21)可得:

      $$ \begin{split} & {{\dot V}_2} = {{\hat u}_{\rm{e}}}\left( { - {\xi _u}{{\hat u}_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u} \right)={\xi _u}{{\hat u}^2}_{\rm{e}} - {\beta _{u1}}{{\hat u}_{\rm{e}}}\tilde u \leqslant \\ & \quad \quad\;\;\;\;- {\xi _u}{{\hat u}^2}_{\rm{e}} + {\beta _{u1}}\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right|\left| {\tilde u} \right| \end{split} $$ (22)

      ${\hat u_{\rm{e}}} > {{{\beta _{u1}}\left| {\tilde u} \right|} / {\left( {{\xi _u}{{\bar \theta }_2}} \right)}}$可得:

      $${\dot V_2} \leqslant - {\xi _u}\left( {1 - {{\bar \theta }_2}} \right)\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right|$$ (23)

      式中:$0 < {\bar \theta _2} < 1$。因此,控制子系统式(14)是输入状态稳定的,且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\alpha _2}$${{\cal{K}}_\infty }$类函数${\gamma _2}$使满足:

      $$\left| {{{\hat u}_{\rm{e}}}} \right| \leqslant {\alpha _2}({\hat u_{\rm{e}}}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}) + {\gamma _2}\left( {\left| {\tilde u} \right|} \right)$$ (24)

      式中:${\gamma _2}\left( s \right) = \dfrac{{{\beta _{u1}}}}{{{\xi _u}{{\bar \theta }_2}}}s$

      3)ESO子系统与控制子系统级联稳定性分析。

      将ESO子系统式(11)与控制子系统式(14)看作一个级联系统:

      $$\begin{array}{l} {\varSigma _{u1}}:\;\;\;\;{{\dot {\hat u}}_{\rm{e}}} = - {k_{up}}{{\hat u}_{\rm{e}}} - {\beta _{u1}}\tilde u \\ {\varSigma _{u2}}:\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde u}}{\rm{ }} = - {\beta _{u1}}\tilde u + {{\tilde f}_u} \\ {{\dot {\tilde f}}_u} = - {\beta _{u2}}\tilde u - {{\dot f}_u} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $$ (25)

      ${\varSigma _{u1}}$${\varSigma _{u2}}$组成的基于ESO的前向速度控制器级联系统稳定性由定理1给出。

      定理1:考虑无人船前向速度式(8),在满足假设1的条件下,前向速度ESO式(9)和前向速度控制律式(13)使${\varSigma _{u1}}$${\varSigma _{u2}}$组成的级联系统是输入状态稳定的。

      证明:引理1和引理2已经证明。若子系统${\varSigma _{u1}}$状态为${\hat u_{\rm{e}}}$,输入为$\tilde u$,该系统是输入状态稳定;若子系统${\varSigma _{u2}}$状态为$\tilde u$${\tilde f_u}$,输入为${\dot f_u}$,该系统是输入状态稳定。因此,根据全局一致渐近稳定性定理,整个前向速度闭环系统,若其状态为${\hat u_{\rm{e}}}$$\tilde u$${\tilde f_u}$,外部输入为${\dot f_u}$,则该系统是输入状态稳定的。即存在一个${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\varpi _u}$和一个${\cal{K}}$类函数${\phi _u}$,使${{{E}}_2}\left( t \right)$满足:

      $$\left\| {{{{E}}_2}(t)} \right\| \leqslant {\varpi _u}\left( {\left\| {{{{E}}_2}\left( {\rm{0}} \right)} \right\|,t} \right) + {\phi _u}\left( {\left\| {{{\dot f}_u}} \right\|} \right)$$ (26)

      式中:${{{E}}_2} = {\left[ {{{\hat u}_{\rm{e}}}\tilde u,{{\tilde f}_u}} \right]^{\rm{T}}}$。由于外部输入${\dot f_u}$是有界的,所以误差信号${{{E}}_2}$有界。

    • 不考虑电机特性的情况下,双桨推进无人船艏摇角速度的响应模型为:

      $$\dot r = {f_r} + {b_r}{\sigma _r}$$ (27)

      式中:${f_r}$为艏摇角速度方向的不确定项;$b_r $为控制增益。为ESO子系统的设计和稳定性分析做出如下假设。

      假设 2:${f_r}$的导数有界且满足$\left| {{{\dot f}_r}} \right| < f_r^*$,其中$f_r^* $为常数,$f_r^* > 0$

      受模型不确定性和未知环境扰动的影响,式(27)中${f_r}$是未知项。为估计该未知项,设计如下一阶线性ESO:

      $$\left\{ \begin{array}{l} {\dot{ \hat r}} = - {\beta _{r1}}(\hat r - r) + {{\hat f}_r} + {b_r}{\sigma _r} \\ {{\dot {\hat f}}_r} = - {\beta _{r2}}(\hat r - r) \\ \end{array} \right.$$ (28)

      式中:$\hat r$${\hat f_r}$分别为$r$${f_r}$的估计值。${\beta _{{r1}}}$${\beta _{{r2}}}$为线性状态观测器增益。

      定义估计误差$\tilde r = \hat r - r$${\tilde f_r} = {\hat f_r} - {f_r}$,联立式(27)和式(28)可得ESO的误差动态方程为:

      $$\left\{ \begin{array}{l} { \dot {\tilde r}}{\rm{ }} = - {\beta _{r1}}\tilde r + {{\tilde f}_r} \\ {{\dot{ \tilde f}}_r} = - {\beta _{r2}}\tilde r - {{\dot f}_r} \\ \end{array} \right.$$ (29)

      ${{{E}}_3} = {[\tilde r,{\tilde f_r}]^{\rm{T}}}$,将式(29)改写成矩阵形式:

      $${\dot {{E}}_3} = {{{A}}_2}{{{E}}_3} - {{{B}}_2}{\dot f_r}$$ (30)

      式中:${{{A}}_2} = \left[ \begin{array}{l} - {\beta _{r1}}{\rm{ 1}} \\ - {\beta _{r2}}{\rm{ 0}} \\ \end{array} \right]$${{{B}}_2} = \left[ \begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ \end{array} \right]$

      由于${{{A}}_2}$是赫尔维茨矩阵,则存在一个正定矩阵${{{P}}_2}$满足如下方程:

      $${{{A}}_2}^{\rm{T}}{{{P}}_2} + {{{P}}_2}{{{A}}_2} \leqslant - {\varepsilon _r}{{{I}}_2}$$ (31)

      式中:${\varepsilon _r} \in {\rm{R}}$是一个大于零的常数。

      根据式(27),为抵消艏摇角速度方向扰动,设计如下艏摇角速度自抗扰控制律:

      $${\sigma _r} = \frac{{\rm{1}}}{{{b_r}}}[{\xi _r}({r_r} - \hat r) - {\hat f_r}]$$ (32)

      式中:${\xi _r}$为动力学增益。令${\hat r_{\rm{e}}} = \hat r - {r_r}$为艏摇角速度的跟踪误差,对${\hat r_{\rm{e}}}$求导并将式(32)代入,则跟踪误差动态方程为:

      $${\dot{ \hat r}_{\rm{e}}} = - {\xi _r}{\hat r_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r$$ (33)

      至此,整个闭环系统控制器设计完毕,控制器结构如图3所示。

      图  3  控制器结构

      Figure 3.  Controller structure

      1)ESO子系统的稳定性分析。

      ESO子系统式(30)的稳定性由引理3给出。

      引理3:在满足假设2的条件下,式(30)所示系统状态为${{{E}}_3}$,系统输入为${\dot f_r}$的ESO子系统是输入状态稳定的。

      证明:构建如下李雅普诺夫方程:

      $${V_3} = \frac{1}{2}{{{E}}_3}^{\rm{T}}{{{P}}_2}{{{E}}_3}$$ (34)

      ${V_3}$求导,联立式(30)可得:

      $$ \begin{split} & {{\dot V}_3} = {{{E}}_{21}}^T{{{P}}_2}\left( {{{{A}}_2}{{{E}}_3} - {{{B}}_2}{{\dot f}_r}} \right) \leqslant \\ & - \frac{{{\varepsilon _r}}}{2}{\left\| {{{{E}}_3}} \right\|^2} + \left\| {{{{E}}_3}} \right\|\left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|\left\| {{{\dot f}_r}} \right\| \end{split} $$ (35)

      $$\left\| {{{{E}}_3}} \right\| \geqslant \frac{{2\left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|\left\| {{{\dot f}_r}} \right\|}}{{{\varepsilon _r}{{\bar \theta }_3}}}$$ (36)

      可得:

      $${\dot V_3} \leqslant - \frac{{{\varepsilon _r}}}{2}(1 - {\bar \theta _3}){\left\| {{{{E}}_3}} \right\|^2}$$ (37)

      式中:$0 < {\bar \theta _3} < 1$。因此,ESO子系统式(30)是输入状态稳定的,且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\alpha _3}$${{\cal{K}}_\infty }$类函数$\varUpsilon _3^\alpha$使满足:

      $$\left\| {{{{E}}_3}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\alpha _3}\left( {{{{E}}_3}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}} \right) + \varUpsilon _3^\alpha \left( {\left\| {{f_r}} \right\|} \right)$$ (38)

      式中:$\varUpsilon _3^\alpha \left( s \right) = \dfrac{{2\sqrt {\bar \lambda \left( {{{{P}}_2}} \right)} \left\| {{{{P}}_2}{{{B}}_2}} \right\|}}{{\sqrt {{\underline \lambda} \left( {{{{P}}_2}} \right){\varepsilon _r}{{\bar \theta }_3}} }}s$

      2)控制子系统的稳定性分析。

      控制子系统式(33)的稳定性由引理4给出。

      引理4:式(33)所示系统状态为${\hat r_{\rm{e}}}$,系统输入为$\tilde r$的控制子系统是输入状态稳定的。

      证明:构建如下李雅普诺夫函数:

      $${V_4} = \frac{1}{2}{\hat r_{\rm{e}}}^2$$ (39)

      ${V_4}$求导,联立式(33)可得:

      $$ \begin{split} & {{\dot V}_4} = {{\hat r}_{\rm{e}}}\left( { - {\xi _r}{{\hat r}_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r} \right) = \\ & \;\;\;\;\;\; - {\xi _r}\hat r_{\rm{e}}^2 - {\beta _{r1}}{{\hat r}_{\rm{e}}}\tilde r \leqslant \\ & \;\;\;\;\;\;- {\xi _r}\hat r_{\rm{e}}^2 + {\beta _{r1}}\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right|\left| {\tilde r} \right| \end{split} $$ (40)

      ${\hat r_{\rm{e}}} > {{{\beta _{r1}}\left| {\tilde r} \right|} / {\left( {{\xi _r}{{\bar \theta }_4}} \right)}}$可得:

      $${\dot V_4} \leqslant - {\xi _r}(1 - {\bar \theta _4})\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right|$$ (41)

      式中:$0 < {\bar \theta _4} < 1$。因此,控制子系统式(33)是输入状态稳定的,且存在${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\alpha _4}$${{\cal{K}}_\infty }$类函数${\gamma _4}$使满足:

      $$\left| {{{\hat r}_{\rm{e}}}} \right| \leqslant {\alpha _4}({\hat r_{\rm{e}}}\left( {{t_0}} \right),t - {t_0}) + {\gamma _4}\left( {\left| {\tilde r} \right|} \right)$$ (42)

      式中:${\gamma _4}\left( s \right) = \dfrac{{{\beta _{r1}}}}{{{\xi _r}{{\bar \theta }_4}}}s$

      3)ESO子系统与控制子系统级联稳定性分析。

      将ESO子系统式(30)与控制子系统式(33)看作一个级联系统:

      $$\begin{array}{l} {\varSigma _{r1}}:\;\;\;\;{{\dot {\hat r}}_{\rm{e}}} = - {\xi _r}{{\hat r}_{\rm{e}}} - {\beta _{r1}}\tilde r \\ {\varSigma _{r2}}:\left\{ \begin{array}{l} {\dot{ \tilde r}}\; = - {\beta _{r1}}{\tilde r} + {{\tilde f}_r} \\ {{\dot{ \tilde f}}_r} = - {\beta _{r2}}\tilde r - {{\dot f}_r} \\ \end{array} \right. \\ \end{array} $$ (43)

      ${\varSigma _{r1}}$${\varSigma _{r2}}$组成的基于ESO的艏摇角速度控制器级联系统稳定性由定理2给出。

      定理2:考虑无人船艏摇角速度式(27),在满足假设1的条件下,艏摇角速度ESO式(28)和艏摇角速度控制律式(32)使${\varSigma _{r1}}$${\varSigma _{r2}}$组成的级联系统是输入状态稳定的。

      证明:引理3和引理4已经给出证明。对于控制子系统${\varSigma _{r1}}$,若系统状态为${\hat r_{\rm{e}}}$,输入为$\tilde r$,则系统输入状态稳定;对于ESO子系统${\varSigma _{r2}}$,若系统状态为$\tilde r$${\tilde f_r}$,输入为${\dot f_r}$,则系统输入状态稳定。根据全局一致渐进稳定性定理,对整个艏摇角速度控制闭环系统,若系统状态为${\hat r_{\rm{e}}}$$\tilde r$${\tilde f_r}$,外部输入为${\dot f_r}$,则该系统是输入状态稳定的,且存在一个${\cal{K}}{\cal{L}}$类函数${\varpi _r}$和一个${\cal{K}}$类函数${\phi _r}$,使${{{E}}_4}\left( t \right)$满足:

      $$\left\| {{{{E}}_4}\left( t \right)} \right\| \leqslant {\varpi _r}\left( {\left\| {{{{E}}_4}\left( {\rm{0}} \right)} \right\|,t} \right) + {\phi _r}\left( {\left| {{{\dot f}_r}} \right|} \right)$$ (44)

      式中:${{{E}}_4} = {\left[ {{{\hat r}_{\rm{e}}},\tilde r,{{\tilde f}_r}} \right]^{\rm{T}}}$。由于外部输入${\dot f_r}$是有界的,所以误差信号${{{E}}_4}$有界。

    • 为了验证本文所提出的基于ESO的平行接近制导抗干扰目标跟踪控制方法的有效性,本文采用图4中的2艘CSICST-DH01号无人船进行试验。该无人船装配有全球定位模块、电子罗盘、运动处理单元、飞思卡尔单片机、无刷直流电机、电子调速器、无线通信模块和电源等设备。

      图  4  目标跟踪无人船试验平台

      Figure 4.  Experimental platform for target tracking of USV

      本次试验的控制器参数为:${u_{\max }}{\rm{ = 0.7}}\;{\rm{m}}/{\rm{s}}$${\delta _{\tilde p}}{\rm{ = 4}}$${\beta _{u1}}{\rm{ = }}1$${\beta _{u2}}{\rm{ = 0}}{\rm{.25}}$${\beta _{r1}}{\rm{ = }}1$${\beta _{r2}}{\rm{ = 0}}{\rm{.25}}$${\xi _u} = 2$${\xi _r} = 0.5$${b_u}{\rm{ = }}1$${b_r}{\rm{ = }}1$。为避免跟踪船和目标船发生碰撞,根据坐标平移原理,使跟踪船跟踪目标船附近的虚拟目标点,虚拟目标点在XE-YE中的位置如下[14]

      $${{p}}{}_{\rm{v}}(t){\rm{ = }}{{p}}{}_{\rm{t}}(t){\rm{ + }}{{{R}}'}^{\rm{T}}\left( \psi \right){{q}}$$ (45)

      式中:${{p}}{}_{\rm{v}}(t)$为虚拟目标点的位置;${{q}}$为位置偏移向量,本试验中选取${{q}} = {\left[ { - 2, - 2} \right]^{\rm{T}}}$${{{R}}'}\left( \psi \right)$为旋转矩阵且满足:

      $${{{R}}'}\left( \psi \right){\rm{ = }}\left[ \begin{array}{c} \cos \psi {\rm{ - sin}}\psi \\ \sin \psi {\rm{ cos}}\psi \\ \end{array} \right]$$ (46)

      图5~图7展示了前向速度控制试验的结果。图5表明对于给定的期望速度信号,基于ESO的估计值和无人船的实际速度均能在较短的时间内稳定到期望值。图6展示了在前向速度控制律式(13)的作用下,在稳态时无人船的速度跟踪误差稳定在0左右。图7展示了无人船在暂态和稳态时的扰动变化情况,在稳态时扰动基本为恒定值,与实际情况相符,说明前向速度ESO式(9)的有效性。

      图  5  USV前向速度

      Figure 5.  Surge velocity of the USV

      图  6  前向速度跟踪误差

      Figure 6.  Tracking error of the surge velocity

      图  7  前向速度ESO的扰动估计

      Figure 7.  Estimated disturbance based on the surge velocity ESO

      图8~图10展示了艏摇角速度控制试验的结果。图8表明对于给定的期望速度信号,基于ESO的估计角速度和实际艏摇角速度均能在较短时间内稳定到期望值。图9展示了在前向速度控制律式(33)的作用下,在稳态时无人船的角速度跟踪误差稳定在0°左右。图10展示了无人船在稳态时扰动基本为恒定值,与实际情况相符,说明艏摇角速度ESO式(28)的有效性。

      图  8  USV艏摇角速度

      Figure 8.  Yaw angular velocity of the USV

      图  9  艏摇角速度跟踪误差

      Figure 9.  Tracking error of the yaw angular velocity

      图  10  艏摇角速度ESO的扰动估计

      Figure 10.  Estimated disturbance based on the yaw angular velocity ESO

      图11~图14展示了艏摇角速度控制试验的结果。图11表明了跟踪船(红线)、目标船(蓝线)的实际轨迹信息,可以看出,跟踪船已稳定到式(45)设定的虚拟目标点位置。图12展示了跟踪船与虚拟跟踪点的跟踪误差,可以发现,在所提出的CB制导律式(6)的作用下,无人船的位置逐渐收敛到虚拟目标点附近,跟踪误差稳定在0 m左右。由图1314可知,随着跟踪误差的减小,跟踪船与虚拟目标点的航向和速度渐趋一致。本次试验场地的湖泊中存在水草并随机分布于水中,在75 s时经过水草密集区,由于跟踪船推进器被水草缠绕,导致误差增大,根据制导律式(6)和控制律式(13)可知,前向速度开始增加,前向速度控制输入${\sigma _u}$也增加,螺旋桨转速增加,摆脱水草后继续追赶目标,使跟踪状态重新回到稳态。

      图  11  无人船的目标跟踪轨迹

      Figure 11.  Target tracking trajectory of the USV

      图  12  基于CB制导的跟踪误差

      Figure 12.  Tracking error based the CB guidance law

      图  13  跟踪船和目标船的速度

      Figure 13.  Actual Speed of the target and follower

      图  14  跟踪船和目标船的航向

      Figure 14.  Actual yaw of the target and follower

    • 本文研究了双桨推进无人船的目标跟踪问题,提出了基于ESO的CB制导抗干扰目标跟踪控制方法。首先,在XE-YEXB-YB下建立双桨推进无人船运动模型。接着,在运动学层级,提出了基于CB制导的目标跟踪控制律;在动力学层级,提出了基于ESO的前向速度控制律和艏摇角速度控制律,克服了无人船模型的不确定性和未知环境扰动带来的问题。通过输入状态稳定性定理和级联定理证明了所提控制器的稳定性。最后,通过试验证明了所提抗干扰目标跟踪控制方法的有效性。

参考文献 (14)

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